橫向交流電場(chǎng)下液膜參數(shù)不穩(wěn)定性分析1)

王鐵晗 富慶飛,?,2) 楊立軍,?

?(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院,北京 100191)

?(北京航空航天大學(xué)大數(shù)據(jù)精準(zhǔn)醫(yī)療高精尖創(chuàng)新中心,北京 100191)

引言

由于液體霧化在滅火系統(tǒng)、噴涂工藝、噴墨印刷、渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)和液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用,氣體介質(zhì)中的液膜不穩(wěn)定性分析的理論研究受到了持續(xù)的關(guān)注[1-3].在此方向上,眾多學(xué)者從不同角度進(jìn)行了大量的研究.Squire[1]對(duì)液體薄層在靜止空氣中的流動(dòng)進(jìn)行了分析,認(rèn)為液體薄層在特定情況下可以達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài),這一結(jié)論由Hagerty[4]通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明,并提出了兩種不穩(wěn)定模式,即以反對(duì)稱(chēng)波為特征的彎曲模式和以對(duì)稱(chēng)波為特征的曲張模式,并得出了更高的韋伯?dāng)?shù)和氣液密度比使液膜更加不穩(wěn)定的結(jié)論.Lin[5]和Li[6]對(duì)此進(jìn)行了拓展,對(duì)液膜周?chē)鷼怏w賦以不同于液膜的速度進(jìn)行了理論研究.Li 和Kelly[7]對(duì)無(wú)黏液膜的不穩(wěn)定性進(jìn)行了研究,Cao 和Li[8]以及Zhang[9]進(jìn)行了黏性液膜的不穩(wěn)定性分析.

隨著對(duì)液膜的不穩(wěn)定性分析理論趨于成熟,學(xué)者們對(duì)液膜在電動(dòng)力下的行為開(kāi)始感興趣.在衡量液體的電學(xué)特性時(shí),起初大多數(shù)學(xué)者將液膜視為完全的電介質(zhì),建立了完全導(dǎo)體模型來(lái)進(jìn)行研究.ELSayed[10]對(duì)水平電場(chǎng)下無(wú)黏氣體電介質(zhì)中的液膜進(jìn)行了不穩(wěn)定性分析,得到了韋伯?dāng)?shù)、氣液密度比和電場(chǎng)對(duì)不穩(wěn)定性的影響.此外,李廣濱等[11]對(duì)無(wú)黏帶電射流進(jìn)行了時(shí)間穩(wěn)定性分析,李帥兵等[12]對(duì)同軸帶電射流進(jìn)行了穩(wěn)定性分析,Yang 等[13]對(duì)電場(chǎng)下靜止氣體電介質(zhì)內(nèi)的帶電黏彈性液膜進(jìn)行了研究,證明電歐拉數(shù)會(huì)加速液膜的破裂.Taylor 等[14]研究表明將液膜視為完全導(dǎo)體是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?因?yàn)橐耗ぶ泻猩倭康淖杂呻姾?Melcher 等[15]和Taylor[16]在對(duì)液滴和液體薄層在交變電場(chǎng)和直流電場(chǎng)下的流動(dòng)分析中總結(jié)得到了漏電介質(zhì)模型,隨后,Fish[17]及Saville[18]對(duì)此模型進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.Montanero 等[19]也總結(jié)得到了漏電介質(zhì)模型在非完全導(dǎo)體情況下的適用性,且為錐射流模式下的電噴霧行為提供了準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)[20-21].漏電介質(zhì)模型也被應(yīng)用在電紡絲領(lǐng)域[22-23]以及交流電場(chǎng)下的電噴霧現(xiàn)象[24-25]的研究中.電動(dòng)力下的不穩(wěn)定性問(wèn)題是十分經(jīng)典的科學(xué)問(wèn)題,而且由電場(chǎng)驅(qū)動(dòng)的流動(dòng)在微流體流動(dòng)中應(yīng)用廣泛,許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究.在液體射流中,施加交流電場(chǎng)被發(fā)現(xiàn)可以用于對(duì)液體行為進(jìn)行控制[26-27].而由于交流電場(chǎng)的引入,交流電場(chǎng)的頻率同系統(tǒng)的固有頻率相互作用,將產(chǎn)生參數(shù)振蕩[28].但對(duì)平面液膜在交流電場(chǎng)下的不穩(wěn)定性分析研究較少,而且隨著電場(chǎng)的引入,在液膜中勢(shì)必會(huì)存在著自由電荷和電場(chǎng)切應(yīng)力并與液膜的黏性力相平衡.因此,對(duì)交流電場(chǎng)作用下的液膜不穩(wěn)定性分析進(jìn)行研究意義重大.

因此本文基于漏電介質(zhì)模型對(duì)平面液膜在交流電場(chǎng)下的線性不穩(wěn)定性分析進(jìn)行了研究,在第一節(jié)通過(guò)控制方程和邊界條件描述了理論模型,并通過(guò)線性分析[29]及Floquet 理論[30-35]建立了直流電場(chǎng)及交流電場(chǎng)下的色散方程,在第二節(jié)基于色散方程討論了電歐拉數(shù)、交流電場(chǎng)占比及頻率等參數(shù)對(duì)液膜不穩(wěn)定性的影響,并在第三節(jié)對(duì)文中發(fā)現(xiàn)進(jìn)行了總結(jié).本工作采用線性分析和Floquet 理論,推導(dǎo)了平面液膜在交流電場(chǎng)下的色散方程并研究了各參數(shù)對(duì)液膜不穩(wěn)定性的影響,以期為交流電場(chǎng)下的平面液膜不穩(wěn)定性分析和實(shí)驗(yàn)提供理論基礎(chǔ)和參考數(shù)據(jù).

1 理論推導(dǎo)

1.1 模型建立

圖1 為本文采用的物理模型,在橫向的交流電場(chǎng)中,黏性液膜在無(wú)黏不可壓氣體中流動(dòng).液體密度為ρl,氣體密度為ρg,液體表面張力為γ,液膜厚度為2a,主流速度為U.在對(duì)液膜的電學(xué)特性分析時(shí)采用漏電介質(zhì)模型,液膜電導(dǎo)率為σ,液體介電常數(shù)為ε1,氣體介電常數(shù)為ε2.電極板至液膜表面距離為d,施加電壓為交流電壓Vt=V0{1+Pr[cos(?t)?1]},其中V0為電壓幅值,Pr為衡量交流電場(chǎng)部分在整個(gè)電場(chǎng)中所占比例的參數(shù),且在0～1 范圍內(nèi)變動(dòng),? 為交流電場(chǎng)的振蕩頻率.在本文的不穩(wěn)定性分析中忽略重力、磁場(chǎng)力以及溫度的影響.

圖1 交流電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)液膜Fig.1 Schematic diagram of moving liquid sheet in an AC electric field

1.2 直流電場(chǎng)作用下不穩(wěn)定性分析

1.2.1 液相

液相的控制方程為

1.2.2 氣相

氣體無(wú)黏無(wú)旋,存在勢(shì)函數(shù)φg.與液相相似,有控制方程

氣相邊界條件為

1.2.3 電場(chǎng)相

引入電場(chǎng)勢(shì)函數(shù)V,存在

電場(chǎng)強(qiáng)度為

電場(chǎng)的邊界條件為

綜合電場(chǎng)力、壓力、表面張力、黏性的作用,有邊界條件

其中

1.2.4 線性分析

將變量表示為波動(dòng)形式

其中,k為波數(shù),ω 為表現(xiàn)不穩(wěn)定增長(zhǎng)的頻率,η 為擾動(dòng)的幅值.

將式(18)代入式(2)和式(3)有

其中A1,A2為常數(shù),同理電勢(shì)函數(shù)可表示為

圖2 給出了對(duì)平面液膜所施加的電場(chǎng)力坐標(biāo)圖,電場(chǎng)強(qiáng)度可表示為

圖2 電場(chǎng)力坐標(biāo)圖Fig.2 Schematic diagram of electric force vector

其中

將式(20)～式(24)結(jié)合式(12)、式(17),代入麥克斯韋電學(xué)公式可算得電場(chǎng)力

將式(25)、式(26)結(jié)合式(19),代入液相邊界條件(4)～(6)可得

其中

求解氣相方程(7)～(9),可得

最后,結(jié)合氣相液相的運(yùn)動(dòng)邊界條件和電場(chǎng)界面應(yīng)力平衡邊界條件,由式(15)、式(25)、式(27),彎曲模式下的色散方程可由3×3 矩陣表示

1.3 交流電場(chǎng)作用下不穩(wěn)定性分析

2 結(jié)果與分析

在進(jìn)行分析前還需確定色散矩陣的階數(shù),階數(shù)由計(jì)算的節(jié)點(diǎn)數(shù)n產(chǎn)生,從理論上分析,當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)計(jì)算結(jié)果最為準(zhǔn)確,但從計(jì)算上的速度考慮階數(shù)不能取到無(wú)窮,因此需要選取合適的節(jié)點(diǎn)數(shù)n,使其兼顧計(jì)算精度與快速性.

圖3 做出了彎曲模式下不同節(jié)點(diǎn)數(shù)n作用時(shí)的最大不穩(wěn)定增長(zhǎng)率.

從圖3 可以看出,選取節(jié)點(diǎn)數(shù)n=5 是合適的,在保障計(jì)算精度的同時(shí)提供了計(jì)算的快速性,此時(shí)色散矩陣階數(shù)N=2n+1=11.

圖3 最大不穩(wěn)定增長(zhǎng)率隨節(jié)點(diǎn)數(shù)n 的變化(ε=0.012 5,D=10.45,Re=1000,We=400,Eu=5,=0.001 2,Pr=2/3,?=1)Fig.3 ωmaxversus increasing the node number(ε=0.012 5,D=10.45,Re=1000,We=400,Eu=5,=0.001 2,Pr=2/3,?=1)

圖4 做出了彎曲模式和曲張模式下的色散曲線.如圖4 所示,本文發(fā)現(xiàn)了在交流電場(chǎng)作用下的曲張模式中,液膜的色散曲線同彎曲模式下近乎相同,這與直流電場(chǎng)及無(wú)電場(chǎng)作用時(shí)有很大區(qū)別.

圖4 彎曲模式和曲張模式下的色散曲線(ε=0.012 5,D=10.45,Re=1000,We=400,Eu=5,=0.001 2,Pr=2/3,?=1)Fig.4 Dispersion relation in sinuous and varicose mode(ε=0.012 5,D=10.45,Re=1000,We=400,Eu=5,=0.001 2,Pr=2/3,?=1)

為驗(yàn)證本文的準(zhǔn)確性,取Pr=0,即退化為直流電場(chǎng)作用情況,同Cui[29]的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,圖5 為對(duì)比結(jié)果,從圖中可以看出色散曲線擬合良好,可認(rèn)為本文的理論推導(dǎo)沒(méi)有錯(cuò)誤.

圖6 做出了對(duì)交流電場(chǎng)下液膜彎曲模式下的色散曲線.由圖6 可見(jiàn),此時(shí)在交流電場(chǎng)作用下,發(fā)生了參數(shù)振蕩并出現(xiàn)了多個(gè)不穩(wěn)定區(qū)域,其中小波數(shù)下的不穩(wěn)定區(qū)域?yàn)槊?xì)不穩(wěn)定區(qū)域,而隨其后出現(xiàn)的不穩(wěn)定區(qū)域?yàn)閰?shù)不穩(wěn)定區(qū)域,是由交流電場(chǎng)的振蕩所引起的.

圖5 直流情況下色散方程的對(duì)比驗(yàn)證(ε=0.012 5,D=40,Re=1000,We=400,Eu=2,=0.001 2,Pr=0,?=1)Fig.5 Comparison of dispersion relation in DC case(ε=0.012 5,D=40,Re=1000,We=400,Eu=2,=0.001 2,Pr=0,?=1)

圖6 色散曲線(ε=0.012 5,D=40,Re=1000,We=400,Eu=2,=0.001 2,Pr=0.4,?=1)Fig.6 Dispersion relation(ε=0.012 5,D=40,Re=1000,We=400,Eu=2,=0.001 2,Pr=0.4,?=1)

在探究各參數(shù)對(duì)橫向電場(chǎng)下平面液膜的線性不穩(wěn)定影響的過(guò)程中,常規(guī)的氣液密度比(ρ),韋伯?dāng)?shù)(We),雷諾數(shù)(Re)與松弛時(shí)間(τ)等參數(shù)對(duì)不穩(wěn)定性影響已在Cui 等[29]對(duì)平面液膜的研究中考慮過(guò).因此,本文主要考慮電學(xué)參數(shù)對(duì)不穩(wěn)定性的影響.

圖7 表示了彎曲模式下交流電場(chǎng)占比Pr對(duì)液膜不穩(wěn)定性的影響.由圖7 可以看出交流電場(chǎng)占比Pr逐漸增大時(shí),彎曲模式下毛細(xì)不穩(wěn)定區(qū)域和參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)主導(dǎo)波數(shù)和其對(duì)應(yīng)的最大不穩(wěn)定增長(zhǎng)率的變化情況.隨著Pr的增大,兩個(gè)不穩(wěn)區(qū)域的主導(dǎo)波數(shù)和最大不穩(wěn)定增長(zhǎng)率總體上都是一個(gè)先下降后上升的過(guò)程.其中當(dāng)Pr較小時(shí)難以觀測(cè)到明顯的參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域,從Pr=1/3 開(kāi)始可以觀測(cè)到較為明顯的參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域.

圖7 彎曲模式下交流電場(chǎng)占比Pr 的影響(ε=0.012 5,D=40,Re=1000,We=400,Eu=2,=0.001 2,?=1)Fig.7 Effects of Pr in sinuous mode(ε=0.012 5,D=40,Re=1000,We=400,Eu=2,=0.001 2,?=1)

圖8 為隨著交流電場(chǎng)占比Pr增大時(shí),電場(chǎng)作用力中恒定電場(chǎng)力部分占比的變化趨勢(shì).結(jié)合圖7 和圖8 可得,交流電場(chǎng)作用下的毛細(xì)不穩(wěn)定性主導(dǎo)波數(shù)和最大不穩(wěn)定增長(zhǎng)率的變化趨勢(shì)同恒定電場(chǎng)項(xiàng)變化趨勢(shì)基本一致,而在Pr=2/3 時(shí),參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域的主導(dǎo)波數(shù)相較Pr=1/2 時(shí)有顯著的提升,甚至超過(guò)了Pr=5/6 時(shí)的主導(dǎo)波數(shù),此時(shí)是因?yàn)閰?shù)不穩(wěn)定區(qū)域的最大增長(zhǎng)率發(fā)生在參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域的位置出現(xiàn)了變化,此前最大不穩(wěn)定增長(zhǎng)率出現(xiàn)在參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域的第一個(gè)峰,而從Pr=2/3 之后最大不穩(wěn)定增長(zhǎng)率出現(xiàn)在參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域的第二個(gè)峰.實(shí)際上,同一個(gè)不穩(wěn)定區(qū)域主導(dǎo)波數(shù)和最大不穩(wěn)定增長(zhǎng)率的變化趨勢(shì)同恒定電場(chǎng)項(xiàng)的變化趨勢(shì)是一致的.此時(shí),不穩(wěn)定主要是由恒定電場(chǎng)力和表面張力的對(duì)抗所導(dǎo)致的.

圖8 恒定電場(chǎng)項(xiàng)(1 ?Pr)2+Pr2/2 作用趨勢(shì)Fig.8 Behavior of the DC term(1 ?Pr)2+Pr2/2

圖9 表示了在彎曲模式下交流電場(chǎng)頻率? 對(duì)液膜不穩(wěn)定性的影響.從圖9 可以看出,參數(shù)? 的增大略微增大了毛細(xì)不穩(wěn)定區(qū)域的主導(dǎo)波數(shù)和最大不穩(wěn)定增長(zhǎng)率,但會(huì)造成參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域的最大不穩(wěn)定增長(zhǎng)率急劇下降,在?=3 之后難以觀測(cè)到參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域.可見(jiàn)參數(shù)? 的增大略微增大毛細(xì)不穩(wěn)定性,但急劇地減小了參數(shù)不穩(wěn)定性,其對(duì)參數(shù)不穩(wěn)定的影響要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于毛細(xì)不穩(wěn)定.在實(shí)驗(yàn)中,為了更容易產(chǎn)生參數(shù)不穩(wěn)定,因盡量將交流電場(chǎng)頻率維持在較低水平.

圖9 彎曲模式下交流電場(chǎng)頻率? 的影響(ε=0.012 5,D=40,Re=1000,We=400,Eu=2,=0.001 2,Pr=2/3)Fig.9 Effects of ? in sinuous mode(ε=0.012 5,D=40,Re=1000,We=400,Eu=2,=0.001 2,Pr=2/3)

圖10 表示了在彎曲模式下電歐拉數(shù)Eu對(duì)液膜不穩(wěn)定性的影響.由圖10 可見(jiàn)無(wú)論是在毛細(xì)不穩(wěn)定區(qū)域還是參數(shù)不穩(wěn)定區(qū)域,Eu的增大都會(huì)增大液膜的不穩(wěn)定性.在實(shí)驗(yàn)中,為了更容易產(chǎn)生參數(shù)不穩(wěn)定現(xiàn)象,因盡量加大電場(chǎng)強(qiáng)度.

3 結(jié)論

本文通過(guò)分析不同電學(xué)參數(shù)對(duì)橫向交流電場(chǎng)作用下的平面液膜的參數(shù)不穩(wěn)定性的影響,得出了以下幾點(diǎn)結(jié)論:

(1)當(dāng)交流電場(chǎng)占比Pr改變時(shí),對(duì)液膜不穩(wěn)定性的影響是由于恒定電場(chǎng)比例發(fā)生變化所引起的,此時(shí)毛細(xì)不穩(wěn)定性的主導(dǎo)波數(shù)和最大不穩(wěn)定增長(zhǎng)率同恒定電場(chǎng)項(xiàng)比例變化趨勢(shì)相一致,此時(shí)不穩(wěn)定體現(xiàn)為恒定電場(chǎng)力和表面張力的對(duì)抗.

圖10 彎曲模式下歐拉數(shù)Eu 的影響(ε=0.012 5,D=40,Re=1000,We=400,=0.001 2,Pr=0.4,?=1)Fig.10 Effects of Eu in sinuous mode(ε=0.012 5,D=40,Re=1000,We=400,=0.001 2,Pr=0.4,?=1)

(2)當(dāng)交流電場(chǎng)頻率? 改變時(shí),交流電場(chǎng)頻率的增大急劇地減小液膜的參數(shù)不穩(wěn)定性而略微增大毛細(xì)不穩(wěn)定性.

(3)當(dāng)電歐拉數(shù)Eu發(fā)生改變時(shí),歐拉數(shù)的增大同時(shí)增大液膜的毛細(xì)不穩(wěn)定性以及參數(shù)不穩(wěn)定性.

(4)為了在實(shí)驗(yàn)中尋求參數(shù)振蕩現(xiàn)象,增大電歐拉數(shù)Eu及減小交流電場(chǎng)頻率? 是有效的方法.