從一個博弈論問題看資優生培養

孫曉麗

博弈論又稱為對策論，往往用于研究具有斗爭或競爭性質現象的理論和方法，它不光是現代數學的一個新分支，也是運籌學的一個重要學科。博弈論思想古代就有，最初主要用于究象棋、橋牌、賭博中的勝負問題，但是當時人們對博弈局勢的把握只停留在經驗上，沒有向理論化發展，正式發展成一門學科則是在20世紀初。我國古代的《孫子兵法》就不僅是一部軍事著作，而且算是最早的一部博弈論專著。現在博弈論在在很多領域都有研究應用，在教學方面也已經有了廣泛的研究。類比博弈論在其它學科領域的應用，在教學中則是貼近學生最近發展區，讓問題與學生的思維產生博弈，從而研究相關的問題。

幾年以前看博弈論的時候，發現一個有趣的問題：如果讓每位同學寫一個介于1與100之間的正整數（包括1和100） ? ?，然后求出所有這些數字的平均數，如果你所寫的數字最接近該平均數的二分之一，那么你就在游戲中勝出。

在這個問題（后面稱為二分之一問題）中，如果每個同學寫的都是隨機產生的數字（沒有考慮別人寫出的數字的話）結果應該在25這里穩定。但是提出了這樣的問題，必然有同學考慮別人會如何思考。

假設參與的同學是理性的話，應該不會寫50以上的數。因為即使所有的人都寫了100，那么平均值也只有100，那么平均數的二分之一當然也不可能大于50。

進一步，如果所有參與的同學都是理性且認真思考的話，那么當意識到沒有人會寫50以上的數之后，平均值的二分之一就不可能大于25了。

再進一步，如果所有的同學都是理性且進一步思考的話，那么當意識到沒有人會寫25以上的數之后，平均值的二分之一就不可能大于12了。

……

如果所有參與的同學都是足夠理性并且完整思考的話，那么必然會明白，且所有人都會寫1。然而現實中，前面這些假設是否成立呢？當然不會完全成立。事實上甚至會有一部分學生寫大于50的數。

現在選取本人任教的某中學初二實驗班的數據進行該問題的分析。

該中學實驗班只有兩個班級，甲班和乙班，兩班分班時按照成績隨機分配。在拓展課教學過程中，按照分數分班，分成A班和B班，成績在前面一半的分為A班，成績為后面一半的分為B班，每學期流動一到兩次，流動人數為三到四名學生。在某次測驗中，記錄學生的成績和二分之一問題的結果，考察二者的相關性。

本次測驗滿分為120分，其中最高分105分，最低分0分，平均分為52.08分。

A班和B班共75位同學，在二分之一問題中記錄得到的平均值為30.8。這其中共有7名同學寫了50以上（含100）的數;5名同學寫了50;34名同學寫了25-49之間（含49）的數;22名同學寫了13-24之間（含24）的數;7名同學寫了12及以下（含1）的數。

二分之一問題和成績兩者相關系數為-0.363，具有較顯著的負相關。其負相關性具有相當的合理性。事實上理性而善于思考的學生，成績是應該更好一些。

那7名寫了50以上的數的同學，成績的平均分為38.3分，而7名寫了12以下的數的同學，成績的平均分為67.3分。這里兩名最高分105分的同學中，其中一位寫了4，另一位寫了18。事后我詢問兩位同學，其中寫4的那位同學說應該寫1，但是覺得同學們不會那么聰明，所以寫了4;而寫18的那位同學在旁邊還嘲笑他，“你還是把同學們想的太聰明了。”

由如上數據得到如下相關結論：

結論1：學生填寫二分之一問題的結果大小和該學生的成績有一定的負相關性。

整理數據時，不小心將填寫最大和最小的數的各7名同學從樣本中去除，二分之一問題平均值降為28.4，相關系數也降為-0.316。這里平均值降低是可以預期的，但相關系數的絕對值下降卻是出乎意料的。于是進行了進一步的如下分析。

如果將學生按照甲、乙班和A、B班分開統計，得到下表：

但是這里A班的相關系數降至-0.112，這個數據也就是說A班中二分之一問題的值和學生的成績不具有明顯的相關性。

結論2：對于成績較差的學生，其成績和其智力和思考能力具有一定的負相關性;成績較好的學生，其成績和其智力和思考能力的相關性很弱。

為了進一步驗證結論，若現在將A班人數縮小5人，相關系數會降至-0.032，這樣就幾乎沒有相關性了。考慮到學校還是需要在提高學生能力的同時提高學生成績的。那么什么因素對提高學生成績有幫助還是需要進一步分析一下的。

最容易量化分析的就是孩子的作業質量，如果在A班學生的數據中加入作業分。作業分和成績分的相關系數為0.376，具有較強的正相關性。那么作業分明顯的體現了學生的認真程度。

結論3：對于成績較好的學生，其成績和認真程度具有較強的正相關性。

綜上所述。對于普通的學生，智力水平基本上決定了其所能取得的成績。但是對于相對優秀的學生，智力水平和能取得的成績相關性較弱，而非智力因素和能取得的成績具有較強的正相關性。

因此對于資優生的培養，不應該僅僅從智力方面進行培養，對于非智力因素，比如認真、努力、堅持不懈等，也是需要著力培養的方面。

由于以上結論來自于單次的實驗，必然有其局限性。在未來教學工作中，還將繼續這方面的實驗。對同一批學生的不同類型的測試，以及不同批次的學生對同一類型的測試。并且研究更多的因素對學生的能力的影響。爭取能得到更詳盡的數據，以對學生的成長做出更好的指導。交流日期：2019.12

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