一道函數(shù)含參恒成立問題的解法

摘 要：分離參數(shù)法是解決函數(shù)恒成立問題常用的方法，通過等價(jià)的分離參數(shù)，把求參數(shù)范圍問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題中的最值問題，避免了對參數(shù)的討論，可達(dá)到化繁為簡的目的.

關(guān)鍵詞：含參不等式;分離參數(shù);恒成立;導(dǎo)函數(shù)

問題：若對于總有成立，求的取值范圍.

解法一

分析：（1）要使在上恒成立，只需函數(shù)在上的最小值大于等于零即可;（2）對于函數(shù)的最值問題，常見的方法有：配方法、均值不等式法、反函數(shù)法、換元法、數(shù)形結(jié)合、單調(diào)性法等;（3）要注意對參數(shù)進(jìn)行分類討論.

解：函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

1.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，不成立，舍去。

2.當(dāng)時(shí)，.

（1）若，則在上，單調(diào)遞減，此時(shí)，不成立。

（2）若，令得或.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上的最小值為，不成立;②時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上的最小值為。要使在上恒成立，則，解得。

綜上所述，的取值范圍為。

從解法一的整個(gè)解題過程中可以看出，學(xué)生主要會(huì)遇到以下一些困難：

（1）準(zhǔn)確、不重不漏的對參數(shù)進(jìn)行分類.這里除了要對參數(shù)是否為零進(jìn)行討論，還要對參數(shù)值的正負(fù)進(jìn)行分別探究.最容易被忽略同時(shí)也是最難的是當(dāng)參數(shù)大于零時(shí)還要結(jié)合定義域討論方程兩根的情況，整個(gè)過程需要有較強(qiáng)的邏輯思維能力。（2）需要對二次函數(shù)有深刻的認(rèn)識(shí)和把握才能順利完成以上過程.對于很大一部分學(xué)生來說函數(shù)問題本來就是無法逾越的一道鴻溝，更不用說是含參二次函數(shù)了。（3）帶參數(shù)的計(jì)算問題對于計(jì)算能力稍弱的學(xué)生來說只能是望而卻步，況且這其中還有二次根式.

基于以上三點(diǎn)分析，尋求更為簡便解法的想法就油然而生了.跟據(jù)分離參數(shù)法的特點(diǎn)與優(yōu)勢，對本題中的參數(shù)與自變量進(jìn)行分離成為了解決這個(gè)問題的最佳選擇。

分離參數(shù)后的實(shí)施途徑也不唯一，可以用配方法、均值不等式等.對不等式進(jìn)行參數(shù)分離，然后選擇利用導(dǎo)數(shù)研究被分離出來的解析式的單調(diào)性并取到最值，整個(gè)過程思路清晰、模式簡單，能夠更好的突破傳統(tǒng)解法所面臨的障礙.

下面介紹分離參數(shù)法與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解決這個(gè)例題.

解法二（分離參數(shù)法）

分析：要使在上恒成立，只需（分離參數(shù)a）在上恒成立，即大于或等于的最大值即可。

解：令（），則，令解得.

當(dāng)時(shí)，時(shí)，所以時(shí)有極大值（也是最大值），又，所以的取值范圍為。

可以看出，分離參數(shù)后解決本題就沒有太大問題了.相比于解法一，解法二是多么干凈簡潔的方法啊！

含參不等式的恒成立問題，綜合性比較強(qiáng)，涉及的知識(shí)面也比較廣，如何從題干中找到突破口，往往讓學(xué)生苦惱，從以上兩種解法來看，可以說分離參數(shù)法為我們打開解決此類問題的了“另一扇門”.其次也可以看出，在分離參數(shù)后的解題途徑相比于配方法、基本不等式的性質(zhì)等方法，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用更能使分離參數(shù)法令人信賴和接受，更有效地獲取最終的題解.

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作者簡介：王家見（1991.08-），男，漢族，云南省芒市人，本科學(xué)歷，中央民族大學(xué)附屬中學(xué)芒市實(shí)驗(yàn)學(xué)校教師，主要研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)。

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