順勢(shì)而為 順學(xué)而教

盛媛媛

《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》在新課標(biāo)中是列為選學(xué)內(nèi)容的，雖然明確指出不作為考試要求，但是任課老師們都沒(méi)有忽略該內(nèi)容，而是不約而同的進(jìn)行教學(xué)。因?yàn)檫@一內(nèi)容在數(shù)學(xué)中有著相當(dāng)重要的作用。一元二次方程的求根公式和根與系數(shù)的關(guān)系（即：韋達(dá)定理）分別從兩個(gè)不同的角度揭示了一元二次方程根與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，并且掌握好韋達(dá)定理能有效深化學(xué)生對(duì)一元二次方程的理解，提高學(xué)生運(yùn)用一元二次方程分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，為學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供有利的條件[1]。

但是在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)上，筆者參考了很多，發(fā)現(xiàn)多數(shù)以解方程填表作為引入，讓學(xué)生填完表后思考一元二次方程的根與系數(shù)的有什么關(guān)系，這樣的方式對(duì)學(xué)生來(lái)講是很困難的，學(xué)生會(huì)很困惑，找不到思考的方向，不知道哪種關(guān)系是自己需要關(guān)注的;甚至有些設(shè)計(jì)里在表格中就直接給出了，這樣設(shè)計(jì)對(duì)學(xué)生來(lái)講這節(jié)課的知識(shí)更是顯得突兀，學(xué)生根本不清楚為什么要研究根與系數(shù)的這種關(guān)系，從心理上難以接受，很不利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和運(yùn)用。不僅如此，在韋達(dá)定理的證明上一般都是基于求根公式的，這種證明并不是一種好的證明，這一點(diǎn)在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》（2011年版）中已經(jīng)明確指出了：“這種基于求根公式的證明不是一個(gè)好的證明。”鑒于課堂教學(xué)要講究自然而然，講究知識(shí)點(diǎn)之間的銜接流暢，在學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律教學(xué)，能激發(fā)和調(diào)動(dòng)他們的學(xué)習(xí)興趣和積極性，能引發(fā)他們的數(shù)學(xué)思考，使之掌握有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法[2]。筆者基于理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)的認(rèn)識(shí)，順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展進(jìn)程，順勢(shì)而為、順學(xué)而教為宗旨，以突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)為目的，重新構(gòu)思了本內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計(jì)。

問(wèn)題1：解方程：（1）（2）（3） .

追問(wèn)1：對(duì)比（1）、（2）、（3）三個(gè)方程的根，你有什么發(fā)現(xiàn)？

追問(wèn)2：一元二次方程的根由什么決定？根與系數(shù)的關(guān)系是什么？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)解三個(gè)具體的一元二次方程幫助學(xué)生復(fù)習(xí)回顧一元二次方程的解法，通過(guò)追問(wèn)1，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)變了，根也隨之而發(fā)生了變化，而且兩根僅僅是符號(hào)發(fā)生了變化;常數(shù)項(xiàng)變了，根也隨之發(fā)生了變化。讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)中的“變與不變”的思想，也讓學(xué)生體會(huì)到方程的根和一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)有關(guān)系.通過(guò)追問(wèn)2，引起學(xué)生的回憶，一元二次方程的求根公式反映的就是根與系數(shù)的一種關(guān)系，并幫助學(xué)生復(fù)習(xí)了這種關(guān)系.

問(wèn)題2 ?解方程：

追問(wèn)1：你能不能再寫出一個(gè)根為1、-4的一元二次方程？這樣的方程有幾個(gè)？應(yīng)該怎么表示？

追問(wèn)2：你能不能寫出所有根為的一元二次方程？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)解方程，發(fā)現(xiàn)它的根與問(wèn)題1中的方程（3）的根完全相同，引發(fā)學(xué)生思考和它們同根的方程有多少個(gè)？該怎樣表示？經(jīng)過(guò)思考學(xué)生會(huì)聯(lián)想到一元二次方程解法之一——因式分解法.通過(guò)因式分解法的啟發(fā)學(xué)生能自己寫出同根方程的一般形式：。問(wèn)題2也進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)一元二次方程中的第二個(gè)“變與不變”——根發(fā)生變化，一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)也隨之而發(fā)生變化.通過(guò)追問(wèn)2，把問(wèn)題一般化，采用從特殊到一般的研究方法，易于學(xué)生理解，也為學(xué)生提供了一種研究問(wèn)題的思想方法。

問(wèn)題3 ?把方程化成一般形式，對(duì)比一元二次方程方程的一般形式你有什么發(fā)現(xiàn)？（知道方程的兩根，是怎樣把一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)確定下來(lái)的？）

追問(wèn)1：如何證明你的發(fā)現(xiàn)？你有哪些方法？（學(xué)生分組討論）

追問(wèn)2：根據(jù)方程根的意義，得到和，能否進(jìn)一步得到根與系數(shù)之間的關(guān)系？

追問(wèn)3：能否用文字?jǐn)⑹鰞蓚€(gè)根、的和、積與一元二次方程系數(shù)之間的關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題3，讓學(xué)生思考一元二次方程的兩根是如何反過(guò)來(lái)確定各項(xiàng)系數(shù)的，從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系之二：這里對(duì)于一元二次方程根與系數(shù)的這種關(guān)系并不是像以往那樣讓學(xué)生提出猜想，那樣是很困難的，而且在內(nèi)容的理解上也很牽強(qiáng)，學(xué)生不知道為什么只研究和與積而不研究其它的關(guān)系。在這里是讓學(xué)生通過(guò)合情推理，利用多項(xiàng)式的相等的知識(shí)，發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)可以由兩根確定，進(jìn)而順其自然的發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的這種內(nèi)在聯(lián)系。這種發(fā)現(xiàn)過(guò)程也為后續(xù)韋達(dá)定理的證明提供了一種思路.通過(guò)追問(wèn)1，在教師的指導(dǎo)下學(xué)生易得到如下的證明：設(shè)一元二次方程有兩個(gè)根，則該方程就一定可以寫成如下形式：.因此，將上式左、右兩邊變形得[3] ，再由“多項(xiàng)式相等”的概念容易得到韋達(dá)定理。這種證明方法便于學(xué)生從本質(zhì)層面去理解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，而且為學(xué)生今后探討一元高次方程的根與系數(shù)的關(guān)系提供了一種可行的科學(xué)研究思路，真正挖掘了這種證明方法背后所蘊(yùn)含的豐富的科學(xué)方法，與“理解數(shù)學(xué)”的要求相呼應(yīng)[2]。通過(guò)追問(wèn)1、追問(wèn)2引導(dǎo)學(xué)生利用不同方法推理根與系數(shù)的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生代數(shù)推理的能力，培養(yǎng)思維的靈活性與多樣性。通過(guò)追問(wèn)3，讓學(xué)生嘗試用語(yǔ)言敘述一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力，加深學(xué)生對(duì)韋達(dá)定理的理解。

例1 求下列方程兩根的和與積：

設(shè)計(jì)意圖：不解方程，求兩根的和與積，讓學(xué)生深刻體會(huì)到韋達(dá)定理的簡(jiǎn)便性，讓學(xué)生學(xué)有所用，學(xué)有所思.在應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)要特別注意方程有實(shí)數(shù)根的條件，即，再直接利用結(jié)論解決問(wèn)題。

例2 若方程的一根為1，求它的另一個(gè)根和m的值.

設(shè)計(jì)意圖：韋達(dá)定理的應(yīng)用比較靈活，學(xué)生在解這道題時(shí)可能有不同方法，通過(guò)不同方法的對(duì)比討論，讓學(xué)生在解題中進(jìn)一步體會(huì)韋達(dá)定理的靈活之處，加深對(duì)理解根與系數(shù)內(nèi)在聯(lián)系的理解[4]。

小結(jié)

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是什么？應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)要注意什么問(wèn)題？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)思考讓學(xué)生回顧本節(jié)課的內(nèi)容，把握本節(jié)課的核心，體會(huì)數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的探索性，發(fā)展學(xué)生的歸納和概況能力。

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師的教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，基于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，給予學(xué)生探究韋達(dá)定理合適的梯子，讓學(xué)生經(jīng)歷深層次的思考，真正理解韋達(dá)定理的生成過(guò)程.蘇霍姆林斯基曾說(shuō)過(guò)，在人的心靈深處，都有一種根深蒂固額需要，這就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者，而這種需要在學(xué)生的精神世界中尤為重要.這就要求教師在課堂教學(xué)中尊重學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，在各個(gè)環(huán)節(jié)上力求知識(shí)問(wèn)題化，問(wèn)題情景化，調(diào)動(dòng)起學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，讓學(xué)生在自我探索中發(fā)現(xiàn)真理，提高學(xué)生精神世界的自我滿足感.好的課堂應(yīng)該是春風(fēng)化雨、潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲的，教師通過(guò)設(shè)置好的問(wèn)題引導(dǎo)，引領(lǐng)學(xué)生一步一步的向目標(biāo)靠近，讓學(xué)生通過(guò)自主、合作探究獲得知識(shí)，獲得優(yōu)秀的思維習(xí)慣和能力。

“授人以魚不如授人以漁”，我們今天的教育并不是要教給學(xué)生多少知識(shí)，而是要培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題的能力.這就要求教師的教育教學(xué)要遵循自然規(guī)律，遵循學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和發(fā)展規(guī)律，不能刻意而為，要順勢(shì)而為、順學(xué)而教，回歸教育本質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì).義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀（2011版）【M】.北京師范大學(xué)出版社，2012：167.

[2]鄒楚林 甘哲.基于三個(gè)理解 創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)【J】.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（6）：63-65.

[3]嚴(yán)士健.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)【M】.長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，2014：46-47.

[4]南京市教研成果叢書編委會(huì).課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)解析和實(shí)施建議【M】.江蘇鳳凰教育出版社，2017：16.

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