高考中“比較大小”常見解題策略

戴璐 關禮杰

摘 要：比較幾個數的大小是高中數學選擇填空中常見題型，近幾年高考全國卷中考察較多，并且難度有逐年上升趨勢。2021年全國一卷的“比較大小”有一定難度，也有新意。客觀題遇到比較大小的問題，一般可以按順序用基本初等函數性質法、中間值法、基本不等式法、構造函數法這四類方法進行探究。

關鍵詞：比較大小;基本初等函數性質法;中間值法;基本不等式法;同構法;變量替換構造函數法

比較幾個數的大小是高中數學中常見題型，近幾年高考全國卷中考察較多。2021年全國一卷中再此出現，并且難度有上升趨勢，本文想對此類題型進行一個梳理。（近三年分別出現在2019全國卷Ⅰ（文/理3），卷Ⅱ（文/理6），2020全國卷Ⅰ（理12），卷Ⅱ（理11），卷Ⅲ（文10/理12），2021全國卷Ⅰ（理12）中。）

一、基本初等函數性質法

這類題型一般比較簡單，主要考察基本初等函數的單調性。是我們的首選思路。

例1、（2016全國卷Ⅲ理6）已知，，，則（ ）

（A） （B）（C）（D）

二、中間值法

如果無法利用基本初等函數單調性判斷兩個數的大小，一般會考慮能否找到兩個數的中間值。

例2、（2019全國卷Ⅰ理/文3）

已知，則（? ?）

A. B. C. D.

本題任意兩個數都不是同一個函數中的數值。所以立刻考慮找中間值判斷大小，這個題目比較簡單，中間值是常見的0和1。

例3、（2020全國卷Ⅲ理12）已知55<84，134<85.設a=log53，b=log85，c=log138，則（? ?）

A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b

例3不像例2的中間值那么明顯，但只要想到中間值法，此題的中間值是比較容易看出來的，可以解決本題中b和c的大小。

三、基本不等式法

在上面的例3中，可以用基本不等式法解決剩余問題。

綜上，答案：A

四、構造函數法

以上各種方法都不奏效時，就應該想到構造函數法，這種題型往往有一定難度，2020和2021高考均對其進行考察。

1.同構法

地位同等要同構，主要針對多變量.地位同等的幾個變量構成的等式或不等式整理后具有結構一致性時，我們要考慮構造函數，利用其單調性解決問題。

例4、（2020年全國卷Ⅰ理12）若，則

（? ）

A. B. C. D.

答案：B

例5、（2020年全國卷Ⅱ理11）若2x-2y<3?x-3?y，則

（? ?）

A.ln（y-x+1）>0 B.ln（y-x+1）<0

C.ln∣x-y∣>0 D.ln∣x-y∣<0

答案：A

2、變量替換構造函數法

比較大小的幾個數值中如果有共同的量，可以考慮通過變量替換的方式來構造函數，再通過函數單調性比較大小。

例6、（2021年全國券Ⅰ理12）

答案：B

客觀題遇到比較大小的問題，一般可以按順序用以上四類方法一一探究。其中構造函數法題型多樣復雜，近兩年高考中多次出現，還需深入學習方能掌握。

參考文獻：

[1]2016高考數學全國Ⅲ卷[Z].

[2]2019高考數學全國Ⅰ卷[Z].

[3]2020高考數學全國Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷[Z].

[4]2021高考數學全國Ⅰ卷[Z].

課題名稱：基于學科核心素養的高中數學深度學習的教學策略研究，課題號：JK20036

3828500338210