橢圓還“圓”——例談仿射變換

王莎

摘 要：筆者通過(guò)仿射變換，將橢圓仿射為圓，再研究圓中的情形得到了更為一般和簡(jiǎn)潔的結(jié)論，而根據(jù)仿射變換的性質(zhì)，這些結(jié)論在橢圓之中，同樣是成立的，這就具有了一般性的意義。本文闡述仿射變換在解決橢圓問(wèn)題中的靈活性、巧妙性。

關(guān)鍵詞：橢圓;圓;仿射變換

一、什么是仿射變換

仿射變換是幾何學(xué)中的一個(gè)重要變換，圖形在變換中保持許多不變性質(zhì)和不變量，這些不變性質(zhì)與不變量為人們解決復(fù)雜幾何問(wèn)題提供了理論依據(jù)。根據(jù)仿射變換的性質(zhì)，可以把特殊圖形的重要結(jié)論直接推廣到一般圖形，達(dá)到復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)單化求解。

比如橢圓與圓是仿射對(duì)應(yīng)圖形，在仿射意義下二者等價(jià)。它保持交點(diǎn)個(gè)數(shù)不變，線段比不變，面積、斜率的線性性等。在解決關(guān)于橢圓的命題時(shí)，可以將此命題放到對(duì)應(yīng)圓中去解決，只要命題在圓中成立，那么在橢圓中也必定成立。在高中階段，圓錐曲線問(wèn)題是普遍困擾學(xué)生的一部分內(nèi)容，掌握仿射變換會(huì)使一部分題目變得明朗許多。

二、仿射變換基本性質(zhì)——“五變四不變”

設(shè)橢圓的直角坐標(biāo)方程為，作仿射變換，從而得到圓的方程。

對(duì)于只在y軸上進(jìn)行伸縮變換的如上仿射變換T來(lái)講，有如下性質(zhì)：

①橢圓方程變?yōu)閳A的方程;

②點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)?

③直線的斜率k變?yōu)?

④平面圖形面積S變?yōu)?

⑤弦長(zhǎng)變?yōu)?

同時(shí)，仿射變換前后有下列對(duì)應(yīng)關(guān)系：①點(diǎn)位置不變（橢圓C上的點(diǎn)變換后都在C'上）;②平行關(guān)系保持不變;③共線段比例關(guān)系保持不變;④點(diǎn)分線段的比值保持不變。

三、仿射變換的妙用

圓有很多重要的的幾何性質(zhì)，很多時(shí)候，我們可以通過(guò)仿射變換將橢圓變成圓，再利用圓冪定理、相交弦定理、切割線定理等結(jié)論，就可以很好地處理與斜率、面積、弦長(zhǎng)有關(guān)的一類問(wèn)題。

例1：已知橢圓的離心率，一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)在直線y=x+2上，若直線l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP的斜率為k1，直線OQ的斜率為k2.

①求該橢圓的方程;

②若，試問(wèn)△OPQ的面積是否為定值？若是，求出這個(gè)定值;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：第一問(wèn)答案為，則a=2，b=1.

如圖，將橢圓仿射成圓，

，可得，

則，轉(zhuǎn)化回橢圓，即.

例2：（2018浙江，17）已知點(diǎn)P（0，1），

橢圓上兩點(diǎn)A，B滿足，則當(dāng)m=? ? ? ? ?時(shí)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大.

解析：令則橢圓仿射為圓，點(diǎn)A、B變?yōu)椤｜c(diǎn)P坐標(biāo)通過(guò)仿射變?yōu)镻（0，2），求點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值的最大值等價(jià)于求仿射變換后的橫坐標(biāo)的最大值。

如圖，作，根據(jù)垂徑定理可得點(diǎn)D為弦的中點(diǎn)，可知由，又結(jié)合，即（點(diǎn)分線段的比值不變）可得，過(guò)點(diǎn)作y軸的垂線交于點(diǎn)E，由，得，

當(dāng)時(shí)，取到最大值，此時(shí)，則根據(jù)OP=2，得：，再由勾股定理得.

例3：（2016北京理，19）已知橢圓的離心率，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面積為1.

①求橢圓C的方程;

②設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：為定值.

解析：第一問(wèn)答案為，則a=2，b=1.

如圖，將橢圓仿射為圓，

設(shè)點(diǎn)A，B，P，M，N變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為.

如圖連接，其中為等腰直角三角形，

故，

根據(jù)同弧所對(duì)圓周角等于圓心角的一半可知.

則由，

故，故，

即，

而，，

故.

縱觀近幾年高考，和橢圓相關(guān)的定點(diǎn)、定值、最值問(wèn)題一直是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，這類題目通常以壓軸題的形式出現(xiàn)， 并且由于計(jì)算量很大而具有很強(qiáng)的區(qū)分度。利用仿射變換可將橢圓轉(zhuǎn)換為圓，而圓具有橢圓不具備的許多特殊性質(zhì)，并且和圓有關(guān)的問(wèn)題還可以借助初中平面幾何知識(shí)解答，從而可以回避繁雜的計(jì)算，降低解題難度。

四、總結(jié)歸納

變換思想是一類主要的數(shù)學(xué)思想。應(yīng)用變換的方法去解題可使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，從而在解題中取得較好的效果。仿射變換就是幾何變換中的一類重要變換。 這種方法雖然不能直接進(jìn)入中學(xué)課堂，但它能幫助高中教師思考問(wèn)題，了解試題背景，挖掘試題本質(zhì)，從而居高臨下地教學(xué)。

從上述討論中可以得出應(yīng)用仿射變換解題的步驟可概括如下： ①判斷求解的問(wèn)題是否能利用仿射不變性質(zhì)，仿射不變量求解，一般涉及點(diǎn)共直線、直線共點(diǎn)、線段比、面積比等一類問(wèn)題皆可應(yīng)用仿射變換解題;②選擇合適的仿射變換，找出所給圖形的合適的仿射圖形;③在仿射圖形中求證，寫出具體的仿射變換及解題過(guò)程。

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