一類與雙變量有關的恒成立（取值范圍）問題的處理策略

劉洋

摘 要： 在高三備考過程中，含有雙變量的恒成立（取值范圍）問題是眾多同學的棘手問題，此類題型變化較大，解法不唯一，學生在面對含有兩個以上變量的問題時，處理策略不明確.本篇論文就是研究如何處理與雙變量有關的恒成立（取值范圍）問題，解決雙變量的恒成立問題常常用以下幾種方法： 代入減元、等量減元、換元減元、構造齊次式，選取主元等方法.

關鍵詞：雙變量; 減元; 恒成立; 取值范圍

高中數學中與雙變量有關的恒成立（取值范圍）問題是高考的一重要知識點，在選擇題、填空題、解答題題型中均有出現，是歷年高考的一個熱點.新高考越來越注重對學生的數學品格和數學關鍵能力等綜合素質的考察，恒成立問題便是一個考察學生綜合素質的很好途徑，滲透著換元、化歸、數形結合、變量轉化方法、函數與方程等思想方法[1].在培養學生思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用，備受高考命題者的青睞，成為高考服務選才，注重科學引導，也體現了高考在人才選拔培養中的核心地位和關鍵作用[2].同時借助與雙變量有關的恒成立（取值范圍）問題這一類知識的考查，也客觀明確了學生分析問題、解決問題、綜合駕馭知識的能力.

本文重點闡述以下幾種常用的解決與雙變量有關的恒成立（取值范圍）問題方法： 代入減元、等量減元、換元減元、構造齊次式，選取主元等方法加以解決.

一、與雙變量有關的取值范圍問題----代入減元

例1 （2021年烏魯木齊地區高三年級第一次質量監測理科16題）已知函數在R上是增函數，且存在垂直于y軸的切線，則的取值范圍為_______.

解析? 法一：（常規減元）因為在R上是增函數，

所以對恒成立，

由題意知必有且，又因為函數存在垂直于y軸的切線，

則必有且，即，變形有，=，分類討論：

（1）當時，;

（2）當時，，因為且，所以，令，則，.

綜上（1）（2）知.

法二：（非常規減元）若符合本題題意，則函數可化為，即展開為，

則.

所以，分類討論：

（1）當時，;

（2）當時，，令，

則，即有.

綜上（1）（2）可知.

點評：本題考查了導數和函數單調性，導數的幾何意義，函數的基本性質----值域，利用不同的減元方式，最終化為僅含一個變量的不等式或函數的取值范圍問題，也考查學生靈活運用已有知識，轉化與化歸能力.

二、與雙變量有關的恒成立問題解析----等量減元

例2 設正實數滿足，則當取得最大值時，的最大值為（? ）

解析 由已知得 （*）

則 ，

當且僅當時，”=”成立，把代入（*）式，得，

所以 ，故選B.

點評 此題是山東高考理科第12題，作為選擇題壓軸題，其難度在于如何尋求多元變量之間的關系，進而達到減元的目的.其實，由變到就已經應用到了代入消元，再由變到仍然用到了整體消元的思想（把當做整體），從而尋求到了取最大值時變量之間的關系.最后由變到應用到了之間的等量關系進行減元，從而達到求出最值的目的.

三、與雙變量有關的恒成立問題----換元減元

例3 已知，不等式恒成立，求實數m的取值范圍.

解析 原問題等價于： 當，不等式恒成立.

令，，即求函數的最小值.令，因為，所以，所以.又因為，

所以，當時，，故

點評：此題中的，若不加處理，難以將變量統一起來.但是，觀察到與的關系，通過換元很巧妙的將變量統一起來，達到減元的目的.

四、與雙變量有關的恒成立問題----構造齊次式、選取主元

理論闡述

函數導數是高考中必考的一個考點，其思維量大，難度高.有一類關于的問題（稱為雙變量問題）廣泛存在于高三試卷中.如果能巧妙處理雙變量問題，對于提高學生的解題信心應該有很大幫助.

例4（新疆維吾爾自治區2021年普通高考第二次適應性檢測年文科12題）若，則的最小值是（? ? ?）

A.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?C.? ? ? ? ? ? ? ? ? D.2

解析? 由條件得，，，變在要求的的最小值中形式的四個變量，本質上只有兩個變量可在同一坐標系中利用函數法選取和圖像如圖1所示.

求的最小值，僅需要平移直線使其與相切即可.對函數求導得，令，化簡得，解得（舍去），，所以切點為點切線為：，則兩條平行線（如圖2所示）間的距離的平方就是的最小值，

即.

規律總結 多變量問題中，由于兩個變量的地位相同，將待求解條件進行變形，可以選取不同函數，構造關于它的一元函數來處理.應用導數研究其單調性，并注意將新穎的問題轉化為學過的數學知識，利用數形結合來尋找靈感，達到求解的目的.

結束語

關于“與雙變量有關的恒成立”問題的策略還有很多，對于某些“恒成立”題目，不一定用一種方法，還可用多種方法去處理.這就要求我們應該鼓勵學生從多角度，全方位做深入探索，訓練學生的發散性思維，培養和提高學生思維能力，養成良好的數學思維，有良好的觀察與分析問題的能力，靈活的轉化問題能力，使所見到的“恒成立”問題更有效地解決.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 教育部考試中心，中國高考評價體系[S].北京：人民教育出版社，2019.

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