基于神經網絡方法的對稱矩陣特征值的求解

張 麗 麗

(隴東學院 數學與統計學院，甘肅 慶陽 745000)

矩陣的特征值問題作為矩陣理論中的一個重要內容，已被廣泛應用于物理、化學、生物等多個研究領域。目前，矩陣特征值的計算方法主要有定義法[1]、冪法[2]、反冪法[3]和Jacobi方法[4]等。定義法對于較為復雜的矩陣其計算過程較為繁瑣；冪法因迭代的局限性，其收斂性差較差；反冪法的計算精度雖然優于冪法，但要求特征值必須充分隔離；Jacobi方法需要借助MATLAB軟件實現。1985年，Oja[5]等根據基礎神經元網絡模型提出了一種計算對稱矩陣特征值的循環神經網絡模型，基于此模型，1992年羅發龍[6]提出了一種用于最大似然(ML)方向估計的神經網絡模型，但上述2種模型均只能計算矩陣的最大特征值及其對應的特征向量。2005年，劉怡光[7]等提出了一種求解矩陣一般特征值和特征向量的神經網絡方法，但該方法計算量較大。此后，學者們相繼提出了一些模型[8-10]，如時滯標準神經網絡模型(DSNNM)等，但這些模型收斂性均較差。為了進一步優化矩陣特征值的計算，本文在文獻[5-10]的研究基礎上提出了一種更為容易實現的計算一般對稱矩陣特征值的神經網絡模型。

1 求對稱矩陣特征值的神經網絡方法

人工神經網絡(神經網絡)是通過模仿生物大腦神經網絡而建立的一種神經元模型，如圖1所示，神經元處理信息的過程分為輸入層、處理層、輸出層3個層次。其中輸入層相當于神經元的樹突，處理層相當于神經元的細胞核，輸出層相當于神經元的軸突。不同神經元之間的鏈接程度不同，其鏈接強度可用“權值”表示，記為Wi(i=1,2,…,n)。神經元對細胞核處理過程可看作是一個函數f(x)的計算過程，其中輸入過程可看作自變量xi(i=1,2,…,n)，輸出過程可看作因變量yi(i=1,2,…,n)。

圖1 神經元模型

根據圖1，基礎神經元模型可用下式表示

y1=f(W1x1)+f(W2x2)+…+f(Wnxn)

y2=f(f(W1x1)+f(W2x2)+…+f(Wnxn))+…+

f(f(W1x1)+f(W2x2)+…+f(Wnxn))

(1)

文獻[5]根據上述基礎神經元網絡模型提出了如下循環神經網絡模型

(2)

其中A為任意對稱矩陣。基于此模型，文獻[6]提出以下神經網絡模型

(3)

將模型(1)代入模型(3)得

(4)

將(4)中的函數f(x)寫成向量形式可得

(5)

但模型(2)-(5)只能計算矩陣的最大特征值及其特征向量。為此，本文引用一種連續型全反饋神經網絡模型

(6)

其中X(0)為非零初始向量。

因上述模型均只能計算對稱矩陣，因此本文只研究對稱矩陣特征值的計算。設n階實對稱矩陣A，其特征值為λ1，λ2，…，λn,對應的特征向量為e1,e2,…，en。由于實矩陣的特征值均為實數，所以矩陣A至多有n個實特征值。由對稱矩陣A可得如下定理：

定理1對稱矩陣每個特征值重數等同于與其無關的特征向量數。

由定理1知n階實對稱矩陣A存在n個線性無關的特征向量，即對稱矩陣一定可以對角化。再由矩陣對角化相關理論可知，存在可逆矩陣P，使得矩陣A可以對角化為矩陣V，即V=P-1AP(V=diag(λ1，λ2，…，λn))。設λi,λj是實對稱矩陣A的兩個特征值，其對應的特征向量為ei,ej，則存在如下關系

Aei=λiei

Aej=λjej

(7)

(8)

將(7)代入(8)得

由以上可得

(9)

因實對稱矩陣A的任意兩個特征向量兩兩正交，因此對于實對稱矩陣A有

結合(9)式及模型(6)即可得到計算特征向量和特征值的如下關系

(10)

其中e0為非零初始向量。對于n階實對稱矩陣A

將矩陣A代入模型(6)得

(11)

對X(t)取非零初始向量X(0)=[a1na2n…ain0]T,i∈(1,n)則有

(12)

由(12)可得

(13)

將(13)代入(11)得

(14)

取垂直于初始向量X1(0)的初始向量X2(0)=「-a1n-a2n… -ainanm?T，然后將其重新代入模型(6)可得

(15)

重復式(12)—(14)的計算過程可得

(16)

取垂直于初始向量X1(0)、X2(0)的初始向量X3(0)，并重復式(12)—(14)的計算過程即可得到特征向量e3和特征值λ3。繼而取與之前初始向量垂直的初始向量按式(12)—(14)的計算過程反復計算，即得到給定對稱矩陣的特征向量e1,e2,…,en和特征值λ1,λ2,…，λn。

2 斐波那契數列

斐波那契(Fibonacci)數列又稱為“兔子數列”，是由數學家斐波那契在兔子繁殖過程中以兔子數量的變化提出的數學問題[11]，即：設一對兔子每個月都能繁殖出一對兔子，假定所有兔子都沒有死亡的情況，問第F個月后可以繁殖多少對兔子。

根據斐波那契數列有

{Fk}=0，1，2，3，5，…，Fk，…

(17)

其約束條件為

(18)

通過數列，可以推得幼崽對數、成兔對數與月份的關系，如表1所示。

表1 幼崽對數、成兔對數與月份關系表

將表1的遞進關系寫成矩陣的形式，設矩陣A

即前后月的遞進關系矩陣形式有

那么，?k+1可表示為矩陣形式

(19)

其中k=1，2，3，…

為了計算?k，將(19)式進行迭代

(20)

由此，將Fk與?k聯系起來，只需計算Ak即可。

將第k+1月初時的兔子總數設為X(k+1)，則通過(20)式可知第k+1月初與第k月初時的兔子總數有著以下關系

X(k+1)=AX(k)=A2X(k-1)=A3X(k-2)

(21)

遞推得到

X(k+1)=……=AkX(1)

(22)

前后月份寫成矩陣形式的關系式有

(23)

由矩陣對角化的理論，只需要將A化成

A=PAP-1

(24)

的形式即可求出FK。

為了方便計算，由于矩陣A有n個線性無關的特征向量，所以假定存在一對角矩陣P，若P-1AP=A，則有P-1AKP=AK，從而

AK=PAP-1，K∈N

(25)

故矩陣A與矩陣P相似，即矩陣A可對角化。

設矩陣A的特征值為λ，E為單位矩陣，通過矩陣特征值定義可知

(26)

通過計算可得矩陣A的特征值

(27)

顯然，對于矩陣A的兩個特征值分別存在對應的特征向量X1，X2

X1=(λ11)T

X2=(λ21)T

(28)

假設

(29)

通過計算可得

(30)

通過計算可知矩陣A的特征值有兩個，為了將矩陣A構造為對角矩陣，以兩個特征值λ1,λ2為對角元素進行構造

(31)

由于(25)式，那么

由此可以得出

(32)

第k+1個月初兔子的對數為

(33)

又由(22)式通過矩陣特征值求出的斐波那契數列通項為

(34)