薛定諤、KdV、KdV-Burgers方程的橢圓函數解和孤立子
——非線性偏微分方程的解

肖 婷 婷

(隴東學院 數學與統計學院，甘肅 慶陽 745000)

1 薛定諤方程

定態的薛定諤方程為

其中U是勢函數，?是常量，μ是粒子質量。

1.1 1維薛定諤方程

1維的薛定諤方程為

(1)設Φ=Φ(x,t)=φ(x)e-ilt，其中φ(x)=JacobiSN(x,λ)2+B，這里B和l是待定的系數，λ是參數(0≤λ≤1)。代入上述方程，經過整理和合并同類項，得到一個只關于函數JacobiSN(x,λ)的方程。再令每一項的系數為零，得到關于參數B，l，μ，λ的方程，解這個方程組得到對應參數的值。

解Φ1(x,t)=

解Φ2(x,t)=

為了求出孤子解設φ(x)=tanh(k1x)2+B。得到如下的參數值和解：

設φ(x)=tanh(x)2+B。

(2)設Φ=Φ(x,t)=φ(x,t)e-i(kx+lt)，其中φ(x,t)=JacobiSN(x+lt,λ)2+B。得到

解Φ1,2(x,t)=

解Φ3,4(x,t)=

解Φ1,2(x,t)=

解Φ3,4(x,t)=

解Φ1,2(x,t)=

解Φ3,4(x,t)=

1.2 3維薛定諤方程

(1)設Φ=[Atanh(x+y+z)2-1]e-ilt。

(2)設Φ=[Atanh(x+y+z+wt)2-1]e-i[k(x+y+z)+lt]

2 KdV、KdV-Burgers方程

2.1 標準KdV方程

標準KdV方程

是1895年由荷蘭數學家科特韋格和德弗里斯共同發現的一種偏微分方程，有鐘形、扭形、暗孤波解。

2.2 KdV-Burgers方程

KdV-Burgers方程為

總結：最近的研究也在不斷改進反演散射方法、B?cklund變換、Darboux變換。