借用坐標(biāo)系 巧解壓軸題

喻志江

(浙江省義烏市后宅中學(xué) 322008)

近幾年越來(lái)越多的中考?jí)狠S題,拋棄函數(shù)和幾何相結(jié)合的綜合題,而改為幾何探究題.更加強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.這類(lèi)題目思維量大，特別是最后一小題，除了很少部分尖子生能答出，其他同學(xué)只能放棄.筆者對(duì)部分中考?jí)狠S題進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，利用坐標(biāo)系法可以大大降低題目的思維量，中等同學(xué)都能試著解答.現(xiàn)舉幾例，希望對(duì)讀者有所幫助.

例1(2017廣西貴港26)已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△ABD沿BD所在直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)P處．

(1)如圖1，若點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，連接PC．

①寫(xiě)出BP，BD的長(zhǎng)；

②求證：四邊形BCPD是平行四邊形．

(2)如圖2，若BD=AD，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，求PH的長(zhǎng)．

分析與解答(1)的答案比較簡(jiǎn)單，不再贅述，現(xiàn)比較(2)的兩種解答：

①常規(guī)解答：

如圖3中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延長(zhǎng)BD交PA于M．

設(shè)BD=AD=x，則CD=4-x，在Rt△BDC中，因?yàn)锽D2=CD2+BC2，所以x2=(4-x)2+22

簡(jiǎn)評(píng)方法ⅱ的思維量明顯少很多，計(jì)算也不繁.

例2(2018金華中考24題)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12.點(diǎn)D在直線(xiàn)CB上，以CA,CD為邊作矩形ACDE,直線(xiàn)AB與直線(xiàn)CE,DE的交點(diǎn)分別為F,G.

(1)如圖5，點(diǎn)D在線(xiàn)段CB上，四邊形ACDE是正方形.

①若點(diǎn)G為DE中點(diǎn)，求FG的長(zhǎng).

②若DG=GF，求BC的長(zhǎng).

(2)已知BC=9，是否存在點(diǎn)D,使得△DFG是等腰三角形？若存在，求該三角形的腰長(zhǎng)；若不存在，試說(shuō)明理由.

分析與解答(1)的答案比較簡(jiǎn)單不再贅述，現(xiàn)比較(2)的兩種解答：

如8中，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且直線(xiàn)AB，EC的交點(diǎn)中BD下方時(shí)，

此時(shí)只有DF=DG，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥FG.設(shè)AE=3x，則EG=4x，AG=5x，DG=4x+12，

簡(jiǎn)評(píng)本題利用坐標(biāo)系法優(yōu)勢(shì)非常明顯，既不用把每種情況的圖做出，計(jì)算也不是很復(fù)雜.

限于篇幅要道例題只給出坐標(biāo)系解法.

(1)如圖10，若AD=BD，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，AF與DC相交于點(diǎn)O，求證：BD=2DO.

(2)已知點(diǎn)G為AF的中點(diǎn).

①如圖11，若AD=BD，CE=2，求DG的長(zhǎng).

②如圖12，若AD=6BD，是否存在點(diǎn)E，使得△DEG是直角三角形?若存在，求CE的長(zhǎng)；若不存在，試說(shuō)明理由.

分析與解答這里主要用坐標(biāo)系法解答問(wèn)題(2)

因?yàn)椤螪EF=90°DE=EF，易得△DME≌ENF，

所以DM=7,BM=7,MC=7,因?yàn)镃E=2,所以ME=5,NF=5

所以F(5,-5),A(14,14),D(7,7)因?yàn)辄c(diǎn)G為AF的中點(diǎn).

②以點(diǎn)B為原點(diǎn)BC所在直線(xiàn)為X軸，以過(guò)點(diǎn)B與BC垂直的直線(xiàn)為Y軸，建立直角坐標(biāo)系如圖14。

分別過(guò)點(diǎn)D,F作DM⊥BC,FN⊥BC

又因?yàn)镕(12-a，a-12)A(14，14)因?yàn)辄c(diǎn)G為AF的中點(diǎn)

△DEG是直角三角形時(shí)：

①DE2+DG2=EG2

②DE2+EG2=DG2

③EG2+DG2=DE2

通過(guò)比較我們發(fā)現(xiàn)，利用傳統(tǒng)的幾何法來(lái)解決平面幾何問(wèn)題，需要很高的思維量，要畫(huà)出不同情況的圖形，考慮不同的變化過(guò)程，大部分同學(xué)幾乎是不可能做完整.而利用坐標(biāo)法思路清晰、指向明確，抓住了關(guān)鍵點(diǎn)，達(dá)到事半功倍的效果.