借用坐標系 巧解壓軸題

喻志江

(浙江省義烏市后宅中學 322008)

近幾年越來越多的中考壓軸題,拋棄函數和幾何相結合的綜合題,而改為幾何探究題.更加強調對數學核心素養的考查.這類題目思維量大，特別是最后一小題，除了很少部分尖子生能答出，其他同學只能放棄.筆者對部分中考壓軸題進行研究發現，利用坐標系法可以大大降低題目的思維量，中等同學都能試著解答.現舉幾例，希望對讀者有所幫助.

例1(2017廣西貴港26)已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC邊上的一個動點，將△ABD沿BD所在直線折疊，使點A落在點P處．

(1)如圖1，若點D是AC中點，連接PC．

①寫出BP，BD的長；

②求證：四邊形BCPD是平行四邊形．

(2)如圖2，若BD=AD，過點P作PH⊥BC交BC的延長線于點H，求PH的長．

分析與解答(1)的答案比較簡單，不再贅述，現比較(2)的兩種解答：

①常規解答：

如圖3中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延長BD交PA于M．

設BD=AD=x，則CD=4-x，在Rt△BDC中，因為BD2=CD2+BC2，所以x2=(4-x)2+22

簡評方法ⅱ的思維量明顯少很多，計算也不繁.

例2(2018金華中考24題)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12.點D在直線CB上，以CA,CD為邊作矩形ACDE,直線AB與直線CE,DE的交點分別為F,G.

(1)如圖5，點D在線段CB上，四邊形ACDE是正方形.

①若點G為DE中點，求FG的長.

②若DG=GF，求BC的長.

(2)已知BC=9，是否存在點D,使得△DFG是等腰三角形？若存在，求該三角形的腰長；若不存在，試說明理由.

分析與解答(1)的答案比較簡單不再贅述，現比較(2)的兩種解答：

如8中，當點D在線段BC的延長線上，且直線AB，EC的交點中BD下方時，

此時只有DF=DG，過點D作DH⊥FG.設AE=3x，則EG=4x，AG=5x，DG=4x+12，

簡評本題利用坐標系法優勢非常明顯，既不用把每種情況的圖做出，計算也不是很復雜.

限于篇幅要道例題只給出坐標系解法.

(1)如圖10，若AD=BD，點E與點C重合，AF與DC相交于點O，求證：BD=2DO.

(2)已知點G為AF的中點.

①如圖11，若AD=BD，CE=2，求DG的長.

②如圖12，若AD=6BD，是否存在點E，使得△DEG是直角三角形?若存在，求CE的長；若不存在，試說明理由.

分析與解答這里主要用坐標系法解答問題(2)

因為∠DEF=90°DE=EF，易得△DME≌ENF，

所以DM=7,BM=7,MC=7,因為CE=2,所以ME=5,NF=5

所以F(5,-5),A(14,14),D(7,7)因為點G為AF的中點.

②以點B為原點BC所在直線為X軸，以過點B與BC垂直的直線為Y軸，建立直角坐標系如圖14。

分別過點D,F作DM⊥BC,FN⊥BC

又因為F(12-a，a-12)A(14，14)因為點G為AF的中點

△DEG是直角三角形時：

①DE2+DG2=EG2

②DE2+EG2=DG2

③EG2+DG2=DE2

通過比較我們發現，利用傳統的幾何法來解決平面幾何問題，需要很高的思維量，要畫出不同情況的圖形，考慮不同的變化過程，大部分同學幾乎是不可能做完整.而利用坐標法思路清晰、指向明確，抓住了關鍵點，達到事半功倍的效果.