借力基本圖形 實現思維破冰

季黎明

(江蘇省無錫市河埒中學 214063)

G·波利亞說：“掌握數學就意味著善于解題”.在平時的教學中，我們通過實踐總結出了諸多的基本圖形，初一平面幾何中針對復雜的角度問題提煉出的“鋸齒型”、“八字型”，初二全等問題中出現的“大手拉小手”、“倍角包半角”模型，初三相似圖形中總結出的“A型相似”、“母子相似”等，這些幾何模型以基本圖形為立足點，為數學問題的解決提供了有規律可循的策略.學生在解題過程中，借力基本圖形，不斷突破思維的壁壘，從而實現了數學問題的解決.本文以一道中考模擬題為例，從解法探究的角度來窺探基本圖形在解決問題中的重要運用.

一、試題呈現

如圖1，二次函數y=ax2+2ax-3a圖像與x軸交于A、B兩點(點A在點B的右邊)，與y軸交于點C.

圖1

(1)請直接寫出A、B兩點的坐標：A____，B____.

(2)若以AB為直徑的圓恰好經過這個二次函數圖像的頂點.

①求這個二次函數的表達式；

②若P為二次函數圖像位于第二象限部分上的一點，過點P作PQ平行于y軸，交直線BC于點Q.連接OQ、

二、試題分析

圖2 圖3

三、解法賞析

1.尋等角，構相似

2.尋圓周角，構造圓

圖4 圖5

3.作垂直，構相似

四、解題感悟

在對這道題解法的探索中，我們發現解法1借助母子相似來建立等式確定參數m的值確實是最便捷的方案.在解法3中出現了雙參數，我們試圖建立參數m和n之間的關系以達到消元的目的.在教學當中，我們應當引導學生在求解綜合題時，要從不同的角度來思考解決方法，不斷地優化解題策略.在追求最優化解題策略的過程中，注重對基本圖形與結構的把握.