線段中點與角平分線的類比學習

陳 妹

(江蘇省南京師范大學附屬中學江寧分校 211102)

在數學學習和研究中，類比是一種重要的思想方法，也是合情推理得一種重要形式.類比是根據兩個對象或兩類事物的一些屬性相同或相似,猜測另一些屬性也可能相同或相似的思維方法，亦是由特殊到一般的過程.

一、線段中點與角平分線的概念

1.線段中點：把一條線段分成相等的兩部分的點，叫這條線段的中點.

2.角平分線:從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成相等的兩個角的，則這條射線叫這個角的角平分線.

二、單中點與單角平分線問題的類比

例1如圖1，已知線段AB=10cm,在直線AB上有一點C，且BC=2cm,若點M是線段AC的中點，則線段AM=____.

圖1

分析①如圖1，當點C在線段AB的延長線上時，此時AC=AB+BC=12，

圖2

類比1已知∠AOB=60，∠BOC=20°，若OM平分∠AOC,則∠AOM=____.

分析①如圖1，當∠BOC在∠A0B外部時，此時∠AOC=∠A0B+∠BOC=80°，

②如圖2，當∠BOC在∠A0B內部時，此時∠AOC=∠A0B-∠BOC=40°，

做此題時要引導學生應考慮到A、B、C三點之間的位置關系的多種可能，即點C在線段AB的延長線上或點C在線段AB上.類比到角中，∠BOC也可以在角的內部，也可以在角的外部，對于不同的情況，要進行分類討論.

三、雙中點與雙角平分線問題的類比

例2如圖3，已知線段AB=10cm，C為線段AB上一點，M、N分別為AC、BC的中點，

圖3

(1)若BC=4cm，求MN的長；

(2)若BC=7cm，求MN的長；

(3)若C為線段AB上任一點，你能求MN的長嗎？請寫出結論，并說明理由.

圖4

類比2如圖，已知∠AOB=90°，∠AOC在∠AOB的內部，OM、ON分別平分∠AOC和∠BOC，

(1)若∠AOC=20°，求∠MON的度數；

(2)若∠BOC=50°，求∠MON的度數，

(3)由(1)(2)的結果你發現了什么規律，請寫出結論，并說明理由.

分析在(1)(2)兩問中，由ON平分∠AOC的中點，則得

考查了兩點間的距離，利用線段的中點的性質轉化線段之間的和差關系是解題的關鍵，類比2綜合考查了角平分線的定義，角的和差等相關知識，重點掌握角平分線的定義.這兩題從本質上來講，都是根據已知條件求解線段的長度或者角的度數，都是求解定值的過程，也都是由特殊到一般的過程，注重引導學生運用整體思想說理，同時要注意在不同的情況下靈活選用線段中點或角平分線的不同表示方法，有利于解題的簡潔性.

例3如圖5，已知線段AB=10cm，C為線段AB延長線上一點，M、N分別為AC、BC的中點，

圖5

(1)若BC=4cm，求MN的長；

(2)若BC=7cm，求MN的長；

(3)若C為線段AB延長線上任一點，你能求MN的長嗎？若能，請求出MN的長，并說明理由.

圖6

類比3如圖，已知∠AOB=90°，∠AOC在∠AOB的外部，OM、ON分別平分∠AOC和∠BOC，

(1)若∠AOC=20°，求∠MON的度數；

(2)若∠AOC=50°，求∠MON的度數；

(3)由(1)(2)的結果，你發現了什么規律，請寫出結論，并說明理由.

同樣的，類比“例2”與“類比2”，也很容易求出這兩題的一般結論.此時不妨引導學生去總結一下求雙中點和雙角平分線問題的一般規律.在雙中點問題中的一般性結論：在同一條直線上，有公共端點兩條線段中點之間的距離就等于，不重合的那兩端點距離的一半.通過類比，我們可以得到在雙角平分線問題中的一般性結論：當兩個角的頂點及邊重合時，兩個角的平分線所組成的角，就應該等于不重合的兩邊所構成角的一半.緊扣線段的公共端點或角的公共邊，從中點定義或角平分線出發，得出一般性的結論.

練習1.已知C為直線AB上任一點，M、N分別為AC、BC的中點，試探究MN與AB之間的關系，并說明理由.

2.已知∠AOB，過點O一射線OC，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，試探究∠MON與∠AOB的關系，并說明理由.

誠如數學家G·波利亞說:“類比是一個偉大的引路人.”在數學問題的解決中，很多數學家就是利用類比法猜想某些結論的成立，并對之進行證明，推進了數學的發展.在本文中通過對中點定義、角平分線定義在解題中應用的類比，不僅可以讓學生自己得到類似知識點的概念，引導學生體會應用由特殊到一般的思想方法，探索圖形中的一般規律，而且有利于在學習過程中培養勤于思考、樂于探究的學習習慣，提高學生在數學學習中的自信心和積極性.在數學學習研究中，用到的往往不是單一的思想方法，比如本文中還涉及到數形結合思想、分類討論思想，甚至對于題目的處理也可以運用方程思想來解決.這也再次要求我們教師在平時的教學中不斷滲透數學思想方法，重視培養學生的核心素養，教會學生去思考，做好學生數學學習的引路人.