線段中點(diǎn)與角平分線的類比學(xué)習(xí)

陳 妹

(江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校 211102)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，類比是一種重要的思想方法，也是合情推理得一種重要形式.類比是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象或兩類事物的一些屬性相同或相似,猜測另一些屬性也可能相同或相似的思維方法，亦是由特殊到一般的過程.

一、線段中點(diǎn)與角平分線的概念

1.線段中點(diǎn)：把一條線段分成相等的兩部分的點(diǎn)，叫這條線段的中點(diǎn).

2.角平分線:從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的，則這條射線叫這個(gè)角的角平分線.

二、單中點(diǎn)與單角平分線問題的類比

例1如圖1，已知線段AB=10cm,在直線AB上有一點(diǎn)C，且BC=2cm,若點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，則線段AM=____.

圖1

分析①如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線上時(shí)，此時(shí)AC=AB+BC=12，

圖2

類比1已知∠AOB=60，∠BOC=20°，若OM平分∠AOC,則∠AOM=____.

分析①如圖1，當(dāng)∠BOC在∠A0B外部時(shí)，此時(shí)∠AOC=∠A0B+∠BOC=80°，

②如圖2，當(dāng)∠BOC在∠A0B內(nèi)部時(shí)，此時(shí)∠AOC=∠A0B-∠BOC=40°，

做此題時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)考慮到A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系的多種可能，即點(diǎn)C在線段AB的延長線上或點(diǎn)C在線段AB上.類比到角中，∠BOC也可以在角的內(nèi)部，也可以在角的外部，對(duì)于不同的情況，要進(jìn)行分類討論.

三、雙中點(diǎn)與雙角平分線問題的類比

例2如圖3，已知線段AB=10cm，C為線段AB上一點(diǎn)，M、N分別為AC、BC的中點(diǎn)，

圖3

(1)若BC=4cm，求MN的長；

(2)若BC=7cm，求MN的長；

(3)若C為線段AB上任一點(diǎn)，你能求MN的長嗎？請寫出結(jié)論，并說明理由.

圖4

類比2如圖，已知∠AOB=90°，∠AOC在∠AOB的內(nèi)部，OM、ON分別平分∠AOC和∠BOC，

(1)若∠AOC=20°，求∠MON的度數(shù)；

(2)若∠BOC=50°，求∠MON的度數(shù)，

(3)由(1)(2)的結(jié)果你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，請寫出結(jié)論，并說明理由.

分析在(1)(2)兩問中，由ON平分∠AOC的中點(diǎn)，則得

考查了兩點(diǎn)間的距離，利用線段的中點(diǎn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵，類比2綜合考查了角平分線的定義，角的和差等相關(guān)知識(shí)，重點(diǎn)掌握角平分線的定義.這兩題從本質(zhì)上來講，都是根據(jù)已知條件求解線段的長度或者角的度數(shù)，都是求解定值的過程，也都是由特殊到一般的過程，注重引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用整體思想說理，同時(shí)要注意在不同的情況下靈活選用線段中點(diǎn)或角平分線的不同表示方法，有利于解題的簡潔性.

例3如圖5，已知線段AB=10cm，C為線段AB延長線上一點(diǎn)，M、N分別為AC、BC的中點(diǎn)，

圖5

(1)若BC=4cm，求MN的長；

(2)若BC=7cm，求MN的長；

(3)若C為線段AB延長線上任一點(diǎn)，你能求MN的長嗎？若能，請求出MN的長，并說明理由.

圖6

類比3如圖，已知∠AOB=90°，∠AOC在∠AOB的外部，OM、ON分別平分∠AOC和∠BOC，

(1)若∠AOC=20°，求∠MON的度數(shù)；

(2)若∠AOC=50°，求∠MON的度數(shù)；

(3)由(1)(2)的結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，請寫出結(jié)論，并說明理由.

同樣的，類比“例2”與“類比2”，也很容易求出這兩題的一般結(jié)論.此時(shí)不妨引導(dǎo)學(xué)生去總結(jié)一下求雙中點(diǎn)和雙角平分線問題的一般規(guī)律.在雙中點(diǎn)問題中的一般性結(jié)論：在同一條直線上，有公共端點(diǎn)兩條線段中點(diǎn)之間的距離就等于，不重合的那兩端點(diǎn)距離的一半.通過類比，我們可以得到在雙角平分線問題中的一般性結(jié)論：當(dāng)兩個(gè)角的頂點(diǎn)及邊重合時(shí)，兩個(gè)角的平分線所組成的角，就應(yīng)該等于不重合的兩邊所構(gòu)成角的一半.緊扣線段的公共端點(diǎn)或角的公共邊，從中點(diǎn)定義或角平分線出發(fā)，得出一般性的結(jié)論.

練習(xí)1.已知C為直線AB上任一點(diǎn)，M、N分別為AC、BC的中點(diǎn)，試探究MN與AB之間的關(guān)系，并說明理由.

2.已知∠AOB，過點(diǎn)O一射線OC，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，試探究∠MON與∠AOB的關(guān)系，并說明理由.

誠如數(shù)學(xué)家G·波利亞說:“類比是一個(gè)偉大的引路人.”在數(shù)學(xué)問題的解決中，很多數(shù)學(xué)家就是利用類比法猜想某些結(jié)論的成立，并對(duì)之進(jìn)行證明，推進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展.在本文中通過對(duì)中點(diǎn)定義、角平分線定義在解題中應(yīng)用的類比，不僅可以讓學(xué)生自己得到類似知識(shí)點(diǎn)的概念，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)應(yīng)用由特殊到一般的思想方法，探索圖形中的一般規(guī)律，而且有利于在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)勤于思考、樂于探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的自信心和積極性.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究中，用到的往往不是單一的思想方法，比如本文中還涉及到數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，甚至對(duì)于題目的處理也可以運(yùn)用方程思想來解決.這也再次要求我們教師在平時(shí)的教學(xué)中不斷滲透數(shù)學(xué)思想方法，重視培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，教會(huì)學(xué)生去思考，做好學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的引路人.