不確定性負虛系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性研究

陳 陣

(中國科學技術大學 信息科學技術學院，安徽 合肥 230026)

Lanzon和Peterson最早提出負虛系統(tǒng)這一概念，并且引起了很多系統(tǒng)理論研究者的關注[1-4]。在實際工程中，通過選取合適的系統(tǒng)狀態(tài)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)將表現(xiàn)出負虛性質，例如大型車隊的編組控制、原子力顯微鏡納米懸梁臂定位系統(tǒng)、機械硬盤驅動器、Sallen-Key低通濾波器等都可以建模成具有負虛性質的模型[5-7]。負虛系統(tǒng)考慮系統(tǒng)頻率響應M(jω)的虛部的性質，要求對于所有的ω∈(0,∞)，j(M(jω)-M(jω)*)≥0。

線性時不變(LTI)多輸入多輸出(MIMO)負虛系統(tǒng)互連的魯棒穩(wěn)定性已經(jīng)被廣泛研究[1-2,8-9]。并且，得到了傳遞函數(shù)為M(s)的負虛的被控對象和傳遞函數(shù)為N(s)的嚴格負虛的控制器的正反饋互連系統(tǒng)(如圖1所示)穩(wěn)定的充分必要條件，即DC增益條件[1]：

λmax(M(0)N(0))<1

(1)

式中，λmax(·)為一個只有實特征值的矩陣的最大的特征值。

圖1 負虛反饋控制系統(tǒng)

近年來，負虛系統(tǒng)理論的研究被拓展到了無損負虛系統(tǒng)[10]、有混合性質的互連系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究[11]、控制器設計和性能分析[12]等各個方面。其中，假設所有狀態(tài)都可用于狀態(tài)反饋，針對具有嚴格負虛不確定性的系統(tǒng)，Song等[12]提出了一種基于狀態(tài)反饋的系統(tǒng)魯棒靜態(tài)反饋綜合方法，這是唯一的關于具有非線性的負虛性質的研究，但由于要求非線性部分具有嚴格負虛性質，具有較高的保守性。

絕對穩(wěn)定性定理保證了反饋路徑包含動態(tài)線性時不變系統(tǒng)和反饋路徑包含無記憶非線性系統(tǒng)的反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，絕對穩(wěn)定性定理為具有給定集合不確定性的系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性的充分條件[13]。對絕對穩(wěn)定條件的進一步研究考慮限制在單調的、基于擴展的Lur’e-Postnikov李雅普諾夫函數(shù)的斜率有界時不變非線性性[14]。在實際工程系統(tǒng)中，普遍存在著斜率有界的無記憶不確定性，這是影響動態(tài)系統(tǒng)性能的一個重要因素[15-22]。因此，具有限斜非線性的系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性受到越來越多的關注[23]。

本文考慮一個負虛的被控對象，一個斜率有界、無記憶的不確定性和一個嚴格負虛的控制器互連的系統(tǒng)。提出的定理表明，對于上述系統(tǒng)，如果一些線性矩陣不等式成立，則閉環(huán)系統(tǒng)是絕對穩(wěn)定的。本文使用環(huán)變換的方法，擴展了無源性定理的效用。利用這些方法，整個閉環(huán)系統(tǒng)采用分解形式。在分解部分的基礎上，建立了連通的全局漸近收斂性，并建立了一個Lur’e-Postnikov李亞普諾夫函數(shù)，進而驗證了系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性。在負虛系統(tǒng)和不確定性已知的情況下，得到了使系統(tǒng)絕對穩(wěn)定的嚴格負虛控制器的DC增益條件。

1 問題描述

1.1 負虛系統(tǒng)

引理1[8]：設(A,B,C,D)是m×m維正則實有理傳遞函數(shù)矩陣R(s)的一個最小狀態(tài)空間實現(xiàn)，其中A∈Rn×n，B∈Rn×m，C∈Rm×n，D∈Rm×m，則R(s)是負虛的，當且僅當：

① det(A)≠0，D=DT；

② 存在Y=YT>0，Y∈Rn×n，使得

AY+YAT≤0且B+AYCT=0

(2)

引理2[8]：設(A,B,C,D)是m×m維正則實有理傳遞函數(shù)矩陣R(s)的一個最小狀態(tài)空間實現(xiàn)，其中A∈Rn×n，B∈Rn×m，C∈Rm×n，D∈Rm×m，則R(s)是負虛的，當且僅當：

①A是Hurwitz，rank(B)=rank(C)=m，D=DT；

② 存在Y=YT>0，Y∈Rn×n，使得

AY+YAT≤0且B+AYCT=0

(3)

1.2 斜率有界不確定性

將多個標量斜率有界的非線性以向量形式考慮在一起，將非線性算子的類[25]定義為

(4)

式中，AC(R+)為絕對連續(xù)函數(shù)f:R+→R構成的空間。由于在變換后的非線性中需要建立一個無源關系，因此提出了扇形變換。

下面的定理給出了斜率有界無記憶的非線性性和無源算子之間的關系。

圖2 多個解耦非線性性，M=diag(μ1,μ2,…,μm)

定義2[26]：對于一個由線性系統(tǒng)部分和非線性部分反饋互連的系統(tǒng)，如果對于任意滿足扇形條件的非線性性，該系統(tǒng)在原點是全局一致漸進穩(wěn)定的，則稱這個系統(tǒng)是絕對穩(wěn)定的。

本文研究的是帶有不確定性的系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，如圖3所示。假設外部輸入為0，其中x∈Rn，xc∈Rnc；u,y∈Rm，uc,yc∈Rmc。

圖3 帶有斜率有界非線性性的反饋系統(tǒng)

圖3系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為

(5)

1.3 環(huán)變換

圖4 環(huán)變換后的系統(tǒng)

G～(s)=ABB1C00C10-M-1 00I0I0I00

(6)

式中，M為一個嚴格正定的對角陣。圖4中環(huán)變換后系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(7)

G～(s)=TA～T-1TB～C～T-1D～

(8)

G～(s)=G0(s)+00I-CA-1B100-C1A-1B1-M-100 (s-1I)

(9)

因此定義：

z(t)=x(t)+A-1B1η(t)

(10)

η(t)=ω(t)

(11)

用z和η替換x和ω，則互聯(lián)系統(tǒng)為

(12)

該互聯(lián)系統(tǒng)如圖5所示。

圖5 環(huán)變換、卡爾曼標準分解后的系統(tǒng)

該系統(tǒng)是系統(tǒng)(7)，即圖4分解后的結果。因此，分析系統(tǒng)(5)的絕對穩(wěn)定性等價于分析系統(tǒng)(7)的絕對穩(wěn)定性，利用卡爾曼標準分解，轉化為分析系統(tǒng)(12)的絕對穩(wěn)定性。

2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

對于由集合Φ的不確定性，負虛的被控對象和嚴格負虛的控制器構成的系統(tǒng)，給出了系統(tǒng)絕對穩(wěn)定性的條件和嚴格負虛控制器的DC增益條件。

定理1：考慮集合Φ的不確定性,令M∈Rm×m，是一個由不確定性構成對角塊的嚴格正定的對角陣，負虛被控對象G(s)的最小狀態(tài)空間實現(xiàn)為(A,B,C,0)，嚴格負虛控制器H(s)的最小狀態(tài)空間實現(xiàn)為(Ac,Bc,Cc,0)。則系統(tǒng)(5)絕對穩(wěn)定的充分條件是：存在對稱矩陣Y1,Y2>0使得

(13)

(14)

M-1+C1A-1B1>0

(15)

證明：為了證明系統(tǒng)(5)絕對穩(wěn)定，只需證系統(tǒng)(12)絕對穩(wěn)定。令ζ=(z,xc,ξ)T，使用如下的Lur’e-Postnikov李亞普諾夫函數(shù)：

(16)

σTξ+ξTσ

=(Az+Byc+A-1B1ξ)TY1z+zTY1(Az+Byc+

ηT(M-1+C1A-1B1)ξ-ηT(C1A-1B1+M-1)Tξ-

ξT(C1A-1B1+M-1)η

其中,

(17)

注1：定理1給出了保證系統(tǒng)(5)絕對穩(wěn)定性的充分條件，這和文獻[25]中使用的方法相同，都是環(huán)變換。但是，文獻[25]研究的是負虛系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性。定理1給出的是負虛的被控對象、不確定性和嚴格負虛的控制器的互連作為系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性。

注2：針對非線性系統(tǒng)絕對穩(wěn)定性的研究，其絕對穩(wěn)定性條件建立于線性系統(tǒng)部分已知，非線性部分滿足一定的扇形條件的基礎上，這也是從實際應用中得到的重要結果。因此，定理1的穩(wěn)定性判據(jù)要求系統(tǒng)滿足負虛性質和斜率有界符合絕對穩(wěn)定性的判定方法。定理1要求已知負虛被控對象、嚴格負虛控制器和不確定性，但是對于任意滿足條件的負虛和嚴格負虛部分，以及斜率有界這一大類常見的不確定性(如中繼、飽和和量化等)，該定理都適用。

接下來，考慮嚴格負虛控制器部分。如果負虛被控對象和不確定性部分是已知并且滿足一些條件的，那么嚴格負虛控制器只需要滿足一個DC增益條件，就可以使得整個系統(tǒng)穩(wěn)定。

H(0)-1+G(0)≤M-1

(18)

(19)

則系統(tǒng)(5)是絕對穩(wěn)定的。

證明：由定理1的證明，如果T≤0，則系統(tǒng)(5)絕對穩(wěn)定。顯然，由于(19)成立，只需證H(0)-1+G(0)≤M-1，那么(13)成立，則系統(tǒng)(5)是絕對穩(wěn)定的。

(20)

(21)

因此，

(22)

?

(23)

因為ATY1+Y1A≤0，所以式(23)成立。又因為

(24)

注4：推論給出了控制器的DC增益條件，滿足這一條件的所有嚴格負虛控制器都可以使得該系統(tǒng)絕對穩(wěn)定。也就是說，推論1要求負虛被控對象和不確定性是已知的，但對于廣泛存在的負虛系統(tǒng)，只要當不確定性是斜率有界無記憶的，就可以得到其控制器條件。

3 例子與仿真驗證

本節(jié)給出兩個數(shù)值例子和仿真結果，用于驗證主要結論的正確性與有效性。

例1：考慮圖3所示的互聯(lián)系統(tǒng)(5)，不確定性為一維的飽和度：

不確定柔性結構運動的常微分方程為

對應的狀態(tài)空間方程為

式中，x為系統(tǒng)狀態(tài)；f為力的輸入；q為位移的輸出;系統(tǒng)矩陣為

不確定柔性結構如圖6所示。

圖6 一個輕阻尼彈簧系統(tǒng)

圖7 例1系統(tǒng)狀態(tài)軌跡仿真結果

例2：為了得到嚴格負虛控制器的條件，負虛被控對象的狀態(tài)空間實現(xiàn)由下面的矩陣給出：

用YALMIP[28]解線性矩陣不等式條件，得到：

考慮Φ1是一個死區(qū)非線性性：

則系統(tǒng)絕對穩(wěn)定，并在仿真結果圖8中得以驗證，對于任意一個非零的軌跡初值，隨著時間的增長，該系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡都會收斂到0。

圖8 例2系統(tǒng)狀態(tài)軌跡仿真結果

4 結束語

針對帶有不確定性負虛系統(tǒng)互連的絕對穩(wěn)定性研究的不足，利用環(huán)變換等方法研究了負虛系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性。考慮的系統(tǒng)互連為負虛部分、嚴格負虛控制器及不確定性，得出了其絕對穩(wěn)定的條件和控制器的DC增益條件。并在控制器設計部分對主要理論的結果進行了拓展，增加了一定的保守性。因此，這樣的嚴格負虛控制器的設計值得進一步的探索。本文不僅解決了系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性分析，還得到了設計嚴格負虛控制器的DC增益條件，具有廣泛的應用價值。