平面幾何可變體系探討

袁良健，王 子，沈天豪

1.中鐵第四勘察設計院集團有限公司，湖北 武漢 430063

2.東南大學土木工程學院，江蘇 南京 211189

平面體系的幾何組成分析是研究平面體系幾何穩定性的內容，故又稱為幾何穩定分析、幾何機動分析或幾何構造分析。其在結構力學課程的學習中具有重要作用，對靜定結構內力計算、力法、位移法、影響線、結構動力學、結構的穩定分析等內容的學習有很大幫助，對實際工程的穩定分析、倒塌分析等具有重要意義。幾何組成分析依據的是射影幾何學原理，對幾何可變體系而言，準確畫出可變體系的機動位移圖是區分幾何瞬變體系和幾何常變體系的關鍵，但機動位移圖概念抽象，通常難以直觀判斷。文章從結構力學教材中對幾何瞬變體系和幾何常變體系的定義出發，采用假想微小位移的方法，通過具體算例分析二者之間的本質區別，并提出幾何瞬變體系優先級的概念，旨在培養學生對抽象概念的直觀思維，加強其對基本概念的理解，提高其分析問題的能力。

1 基本判定規則和體系的分類

平面體系可分為幾何不變體系和幾何可變體系，如圖1所示。

圖1 體系的分類

平面體系幾何組成分析的基本判定規則包括三剛片、兩剛片和二元體規則，如表1所示。對常見的平面體系，可采用表1所示的基本判定規則來判定體系的幾何組成特性，但對較為復雜的體系，運用基本規則可能無法判斷，需另辟蹊徑，如采用零載法[1]、等效替換法[2]、假想微小位移法等。其中，零載法運用的是靜定結構靜力解答的唯一性，僅適用于計算自由度W=0的體系，只能判斷體系是否為可變體系，對可變體系無法進一步區分是幾何瞬變體系還是幾何常變體系[3-5]。等效變換法通常適用于體系中存在復鏈桿或有多處與其他部分相連的桿件。假想微小位移法通常用來區分幾何瞬變體系和幾何常變體系，對存在多種位移模態的可變體系，需一一列舉判斷。

表1 幾何組成分析的基本判定規則

2 微小位移和有限位移的區別

瞬變體系和常變體系如圖2所示。幾何瞬變體系的定義為原體系為幾何可變體系，若發生微小位移之后成為幾何不變體系，則原體系為幾何瞬變體系。如圖2（a）所示的體系ABC，若各桿為剛性桿（即忽略桿件的軸向變形），結點B發生豎向位移Δ，桿AB和BC均產生一定的伸長，則如圖2（b）所示。

幾何常變體系的定義為原體系為幾何可變體系，無論發生何種有限位移仍為幾何可變體系，則原體系為幾何常變體系。如圖2（c）所示的體系ABCD，原體系可發生有限位移而變成體系A'B'C'D'，且該位移仍可持續進行，體系A'B'C'D'仍為幾何可變體系，故原體系為幾何常變體系。

圖2 瞬變體系和常變體系

微小位移和有限位移如圖3所示。圖3（a）所示的體系，假設各桿的長度均為L，且為剛性桿（桿長L保持不變）。如圖3（b）所示，當D點發生水平向左的位移Δ時，由此引起B點的豎向位移為δ。

（2）當Δ不斷增大成為有限位移時，B點的豎向位移δ是有限位移Δ的同階量，各桿產生了與有限位移Δ同階的軸向變形，與剛性桿假定矛盾。易分析得出，圖3（b）所示的體系AB'CD'E為幾何不變體系，故原體系在D點僅能發生微小位移，為幾何瞬變體系。本質上，圖3（b）所示體系中D點發生微小位移Δ時，引起B點的豎向位移雖為Δ的高階小量，但B點偏離原來的位置至B'點，鉸A、B'、C不共線，體系成為幾何不變體系；D點發生有限位移，各桿必將產生與有限位移同階的軸向變形，不符合剛性桿假定的前提，即有限位移受各剛性桿的限制而難以發生，原體系為幾何瞬變體系。

圖3 微小位移和有限位移

3 多位移模態可變體系中的優先級

多模態體系如圖4所示。圖4（a）所示的可變體系存在多種位移模態，兩種基本位移模態如圖4（b）和圖4（c）所示。

（1）圖4（b）中剛片DEHI發生微小位移后，剛片ABFG依然可發生微小位移，體系依然幾何可變。

（2）圖4（c）中剛片ABFG發生微小位移后，剛片DEHI不能再發生微小位移，體系成為幾何不變。

（3）其余的位移模態可由這兩種基本模態組合而成，如圖4（d）所示，體系成為幾何不變。由此可知，原體系的眾多位移模態中，至少存在一種模態使體系在發生微小位移后成為幾何不變體系，故原體系為幾何瞬變體系。

圖4 多模態體系

本質上，原體系在無外界干擾時可維持原有的幾何穩定；當受到干擾時，體系將尋求新的幾何穩定，當新的幾何穩定是眾多位移模態中產生最小的微小位移時就會成為幾何不變體系所對應的情況。若所有的位移模態均無法成為幾何不變體系，體系無法維持幾何穩定，產生有限位移并持續進行，則原體系為幾何常變體系。因此，多位移模態的可變體系中可能既有幾何常變的位移模態，也有幾何瞬變的位移模態，幾何瞬變的位移模態優先于幾何常變的位移模態。只要體系發生微小位移后成為幾何不變體系，則原體系為幾何瞬變體系，幾何常變的位移模態只有在所有的微小位移均不能使體系成為幾何不變的情況下才會發生。

4 結束語

幾何瞬變體系產生的機動位移為微小位移，而幾何常變體系產生的機動位移為有限位移，二者從量級上比較，有限位移遠大于微小位移，故幾何可變體系在產生有限位移之前必先產生微小位移。區分幾何瞬變體系和幾何常變體系的關鍵在于，在符合剛性桿假定的前提下，判斷體系在產生微小位移之后，能否產生有限位移并持續進行，若不能，則原體系為幾何瞬變體系，否則為幾何常變體系。對于多位移模態的可變體系，若存在發生微小位移后成為幾何不變體系的位移模態，則原體系為幾何瞬變體系；當所有的位移模態均不能使體系成為幾何不變體系時，原體系才是幾何常變體系，即幾何瞬變體系優先于幾何常變體系。