利用Geogebra輔助教學
——“對橢圓的一個性質的再探究”教學設計及反思

張艾楠

（黑龍江省實驗中學 黑龍江 150000）

一、教學設計

為嚴謹探究，本節課所提直線斜率均存在且不為零。

（一）教學目標

1.使學生在掌握圓錐曲線概念、性質的基礎上能夠運用“數形結合”“幾何法”等方法求解圓錐曲線的定值問題；

2.通過類比橢圓中的斜率之積為定值，引導學生逆向、類比探究問題，使學生體會“提出猜想—驗證猜想—證明猜想”的研究過程，提高學生解決綜合問題的能力；

3.使學生通過研究橢圓中定值與定點間的關系，理解事物間既有聯系又有區別的辯證觀點。提高學生邏輯推理、數學運算的能力。

（二）教學重點

教學重點為通過橢圓中直線斜率乘積為定值推出斜率間的其他關系。

（三）教學難點

教學難點為如何引導學生由已知性質類比聯想其他性質。

（四）教學方法

教學方法主要是問題化和探究式教學。

（五）教學手段

教學手段包括多媒體、PAD教學。

（六）教學過程

1.創設情境

自主預習：

問題2：若將問題1中的長軸頂點A1,A2改為短軸頂點B1,B2，則kPB1與kPB2還存在上述關系嗎？

問題3：觀察上述兩個問題中的A1,A2,B1,B2位置的特殊性，你能否提出其他猜想呢？

圖1

利用PAD展示學生預習結果：

學生可能出現的回答：

（3）猜想1：若兩點關于坐標軸對稱，與橢圓上另一個動點斜率的乘積為定值。

猜想2：若兩點關于原點對稱，與橢圓上另一個動點斜率的乘積為定值。

法1利用橢圓方程，分別替換兩點的縱坐標，達到消元的目的。法2利用橢圓方程作差，整體消元。

2.問題驅動

問題4：由剛才研究的三個問題，你能總結出什么結論?

生：由kPA1×kPA2=-3/4，可得P A2的斜率范圍是[-3/8,-3/4]。

師：事實上，這道高考題就是以我們剛才研究的結論為背景，將對稱的兩點特殊設為長軸頂點。若沒有上述性質，計算起來較為復雜。借由性質，我們就可以很快解決這道題。

設計意圖：用一道具體的高考題做引，讓學生體會上述性質的實用性。

學生可能出現的回答（如圖2）：

猜想2：過橢圓上一點作兩條直線，若斜率乘積為λ，則交點連線經過定點。利用Geogebra驗證猜想。

圖2

設計意圖：引導學生類比剛總結的性質并進行進一步的猜想，通過逆命題、由特殊到一般兩個方向進行猜想，并用PAD驗證，深化學生對性質的理解。

問題6：剛才我們研究的是斜率乘積為定值時，可以推出直線經過定點。兩條直線之間能否有其他關系呢？你又能給出什么猜想嗎？

生：斜率和、差、比值是定值。

教師在黑板上分別演示三種猜想。當斜率比值λ＞0且λ≠1時或斜率之差λ為定值時，出現橢圓的包絡線（如圖3）。

圖3

當斜率比值λ＜0且λ≠-1時，出現雙曲線的包絡線（如圖4）。

圖4

當斜率之和λ是定值且λ≠0時，直線仍過定點（如圖5）。

圖5

當斜率比值λ=-1或斜率之和λ=0時，得到一組平行直線（如圖6）。

圖6

3.知識應用

教師借這道高考題，引導學生對上述性質加以驗證。

4.課堂小結

（1）知識小結：本節課對橢圓上對稱點與另一點連線斜率之積為定值這一性質進行了發散探究，得到了一些相關結論。且所得結論僅通過猜想和利用Geogebra驗證，并未嚴謹地證明，望學生課后嚴謹證明。

（2）數學思想方法：①數與形的結合，用代數的方法解決幾何問題；②歸納猜想、類比推理。

（七）板書設計

二、教學反思

本節課通過類比橢圓中的斜率之積為定值這一性質，引導學生逆向、類比探究問題，使學生體會“提出猜想—驗證猜想—證明猜想”的研究過程，提高學生解決綜合問題的能力。教師利用數學中的一個性質來創設情境，引發學生的一系列問題，并通過PAD教學，最大限度地發揮了信息化教學為課堂服務的作用，以學生為主體，引導學生通過動手實踐作圖，了解數之間的特殊關系，發現形具有一定的特殊性，使學生深刻體會數學中的一種重要思想方法——數形結合[1]。同時，本節課在設計的時候確切落實了數學學科的核心素養，從橢圓的長短軸定點到橢圓上任意兩點，從定值到定點，從斜率乘積到斜率和、差、比值，提升了學生的邏輯推理能力。