利用Geogebra輔助教學(xué)
——“對(duì)橢圓的一個(gè)性質(zhì)的再探究”教學(xué)設(shè)計(jì)及反思

張艾楠

（黑龍江省實(shí)驗(yàn)中學(xué) 黑龍江 150000）

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

為嚴(yán)謹(jǐn)探究，本節(jié)課所提直線斜率均存在且不為零。

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生在掌握?qǐng)A錐曲線概念、性質(zhì)的基礎(chǔ)上能夠運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”“幾何法”等方法求解圓錐曲線的定值問題；

2.通過類比橢圓中的斜率之積為定值，引導(dǎo)學(xué)生逆向、類比探究問題，使學(xué)生體會(huì)“提出猜想—驗(yàn)證猜想—證明猜想”的研究過程，提高學(xué)生解決綜合問題的能力；

3.使學(xué)生通過研究橢圓中定值與定點(diǎn)間的關(guān)系，理解事物間既有聯(lián)系又有區(qū)別的辯證觀點(diǎn)。提高學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力。

（二）教學(xué)重點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)為通過橢圓中直線斜率乘積為定值推出斜率間的其他關(guān)系。

（三）教學(xué)難點(diǎn)

教學(xué)難點(diǎn)為如何引導(dǎo)學(xué)生由已知性質(zhì)類比聯(lián)想其他性質(zhì)。

（四）教學(xué)方法

教學(xué)方法主要是問題化和探究式教學(xué)。

（五）教學(xué)手段

教學(xué)手段包括多媒體、PAD教學(xué)。

（六）教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境

自主預(yù)習(xí)：

問題2：若將問題1中的長軸頂點(diǎn)A1,A2改為短軸頂點(diǎn)B1,B2，則kPB1與kPB2還存在上述關(guān)系嗎？

問題3：觀察上述兩個(gè)問題中的A1,A2,B1,B2位置的特殊性，你能否提出其他猜想呢？

圖1

利用PAD展示學(xué)生預(yù)習(xí)結(jié)果：

學(xué)生可能出現(xiàn)的回答：

（3）猜想1：若兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，與橢圓上另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)斜率的乘積為定值。

猜想2：若兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，與橢圓上另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)斜率的乘積為定值。

法1利用橢圓方程，分別替換兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，達(dá)到消元的目的。法2利用橢圓方程作差，整體消元。

2.問題驅(qū)動(dòng)

問題4：由剛才研究的三個(gè)問題，你能總結(jié)出什么結(jié)論?

生：由kPA1×kPA2=-3/4，可得P A2的斜率范圍是[-3/8,-3/4]。

師：事實(shí)上，這道高考題就是以我們剛才研究的結(jié)論為背景，將對(duì)稱的兩點(diǎn)特殊設(shè)為長軸頂點(diǎn)。若沒有上述性質(zhì)，計(jì)算起來較為復(fù)雜。借由性質(zhì)，我們就可以很快解決這道題。

設(shè)計(jì)意圖：用一道具體的高考題做引，讓學(xué)生體會(huì)上述性質(zhì)的實(shí)用性。

學(xué)生可能出現(xiàn)的回答（如圖2）：

猜想2：過橢圓上一點(diǎn)作兩條直線，若斜率乘積為λ，則交點(diǎn)連線經(jīng)過定點(diǎn)。利用Geogebra驗(yàn)證猜想。

圖2

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生類比剛總結(jié)的性質(zhì)并進(jìn)行進(jìn)一步的猜想，通過逆命題、由特殊到一般兩個(gè)方向進(jìn)行猜想，并用PAD驗(yàn)證，深化學(xué)生對(duì)性質(zhì)的理解。

問題6：剛才我們研究的是斜率乘積為定值時(shí)，可以推出直線經(jīng)過定點(diǎn)。兩條直線之間能否有其他關(guān)系呢？你又能給出什么猜想嗎？

生：斜率和、差、比值是定值。

教師在黑板上分別演示三種猜想。當(dāng)斜率比值λ＞0且λ≠1時(shí)或斜率之差λ為定值時(shí)，出現(xiàn)橢圓的包絡(luò)線（如圖3）。

圖3

當(dāng)斜率比值λ＜0且λ≠-1時(shí)，出現(xiàn)雙曲線的包絡(luò)線（如圖4）。

圖4

當(dāng)斜率之和λ是定值且λ≠0時(shí)，直線仍過定點(diǎn)（如圖5）。

圖5

當(dāng)斜率比值λ=-1或斜率之和λ=0時(shí)，得到一組平行直線（如圖6）。

圖6

3.知識(shí)應(yīng)用

教師借這道高考題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)上述性質(zhì)加以驗(yàn)證。

4.課堂小結(jié)

（1）知識(shí)小結(jié)：本節(jié)課對(duì)橢圓上對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)連線斜率之積為定值這一性質(zhì)進(jìn)行了發(fā)散探究，得到了一些相關(guān)結(jié)論。且所得結(jié)論僅通過猜想和利用Geogebra驗(yàn)證，并未嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明，望學(xué)生課后嚴(yán)謹(jǐn)證明。

（2）數(shù)學(xué)思想方法：①數(shù)與形的結(jié)合，用代數(shù)的方法解決幾何問題；②歸納猜想、類比推理。

（七）板書設(shè)計(jì)

二、教學(xué)反思

本節(jié)課通過類比橢圓中的斜率之積為定值這一性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生逆向、類比探究問題，使學(xué)生體會(huì)“提出猜想—驗(yàn)證猜想—證明猜想”的研究過程，提高學(xué)生解決綜合問題的能力。教師利用數(shù)學(xué)中的一個(gè)性質(zhì)來創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生的一系列問題，并通過PAD教學(xué)，最大限度地發(fā)揮了信息化教學(xué)為課堂服務(wù)的作用，以學(xué)生為主體，引導(dǎo)學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)踐作圖，了解數(shù)之間的特殊關(guān)系，發(fā)現(xiàn)形具有一定的特殊性，使學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)學(xué)中的一種重要思想方法——數(shù)形結(jié)合[1]。同時(shí)，本節(jié)課在設(shè)計(jì)的時(shí)候確切落實(shí)了數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，從橢圓的長短軸定點(diǎn)到橢圓上任意兩點(diǎn)，從定值到定點(diǎn)，從斜率乘積到斜率和、差、比值，提升了學(xué)生的邏輯推理能力。