雙三相永磁同步電機位置伺服前饋反饋復合控制*

譚華軍,和 陽,趙文祥,王 恒

(江蘇大學 電氣信息工程學院，江蘇 鎮江 212013)

0 引 言

雙三相永磁同步電機(PMSM)具有功率密度大、轉矩脈動小、可靠性高等優點，可廣泛應用于船舶艦艇、航空航天、電動汽車等場合[1-2]?；陔p三相電機構建的位置伺服系統，可實現大轉矩和高控制精度，尤其適合應用于無人作戰車、自行火炮等國防裝備中。利用空間矢量解耦的雙三相PMSM矢量控制，基本控制結構與傳統三相電機相類似，不同點在于雙三相電機存在諧波電流空間z1-z2和零序電流空間o1-o2[3-4]。

為了使位置伺服系統具有更高的動態響應、穩態精度以及能無差跟蹤，國內外學者已提出了許多先進的控制算法。自抗擾控制器采用觀測加補償的方法來處理控制系統中的非線性和不確定性問題，從而實現系統的高性能控制[5-6]。文獻[7]為了提高系統抗負載擾動能力，通過引入擴張觀測器設計出了基于自抗擾的位置和電流雙環控制結構，提高了系統的剛度。文獻[8]則提出了一種基于線性自抗擾控制器的負載轉矩前饋補償控制方法，以消除負載轉矩變化的影響。為了獲得更高的測量值精度，文獻[9-11]提出自適應卡爾曼觀測器，來彌補編碼器的測量噪聲，用可變增益矩陣來估計和校正觀察到的位置、速度和負載轉矩解決伺服系統在低速運行時容易出現較大的速度誤差和時間延遲的問題。伺服系統中慣量變化會影響伺服控制器的性能，通過辨識慣量來矯正控制器參數具有重要意義。文獻[12-16]通過設計最小二乘法、滑模觀測器、卡爾曼觀測器等方法在線辨識轉動慣量，然后使用慣量觀測值調整控制參數，使伺服系統控制性能大大提高。文獻[17-18]在采用永磁同步直線電機的精密機床推進系統中，設計了一種摩擦前饋控制器，抵消突變的非線性摩擦力，提高了伺服系統的跟蹤精度。與其他控制算法相比，添加前饋的復合控制器結構簡單、易于實現，能夠避免調節參數過多、控制結構復雜等問題。同時，在數字系統中復合控制器的離散化也較容易，便于工程應用。

本文首先對2套繞組相差30°的雙三相PMSM進行數學建模，搭建了雙三相電機位置伺服控制框圖。其次，分別對伺服系統的三閉環結構進行分析，在電流環添加反電動勢補償以減小反電動勢對電流響應的影響；在速度環控制器的積分器中添加限幅環節，使積分補償量快速退飽和，實現速度的快速響應；對位置環設計前饋反饋復合控制器，以實現伺服系統的快速響應和無差跟蹤給定。最后，通過試驗驗證了算法的可行性和有效性。

1 電機特性與數學模型

1.1 電機拓撲

圖1為雙三相PMSM結構圖。該電機由2套互差30°電角度的定子繞組組成，其中2套繞組中性點隔離。圖2為雙三相逆變器結構框圖，分為N1和N22個中性點。

圖1 雙三相電機結構圖

圖2 雙三相逆變器結構框圖

雙三相電機得益于2套繞組間轉矩相位的補償效應，有效降低了6次、18次、30次等轉矩諧波含量，轉矩脈動得到明顯抑制。另外，雙三相電機還具有更高的繞組系數，電機獲得高轉矩密度的潛能更大。因此，雙套繞組的結構使該電機具有容錯性強、功率密度大，轉矩脈動小等優點，適合應用在大轉矩高精度的伺服領域。

1.2 數學模型

利用空間矢量解耦，不考慮零序空間，雙三相PMSM在同步旋轉坐標系dqz1z2下，磁鏈方程可定義為

(1)

式中:Ld、Lq、id、iq別為dq軸電感和電流；ψf為永磁磁鏈幅值；La1、La2、iz1、iz2分別為諧波電感和電流。

在同步旋轉坐標系dqz1z2下，電流方程可以表示為

(2)

式中：ωr為轉子角速度；Rs為定子電阻。

雙三相電機的六維電流矢量通過坐標變換可以變換到3個不同空間，其中d-q子空間是基波子空間，電流為id、iq，機電能量轉換發生在這一子空間；z1-z2子空間與電流諧波的產生和電機損耗有關，諧波電流為iz1、iz2。

電磁轉矩方程為

Te=3p[ψfiq+idiq(Ld-Lq)]

(3)

電機的機械運動方程為

(4)

式中：p為極對數；Jm為伺服系統轉動慣量；ω為轉子機械角速度；TL為負載轉矩；B為黏滯系數。

由式(2)可以看出，電流中存在諧波分量。另外，本文的雙三相電機2套繞組采用中性點隔離的方式進行連接，不存在零序電流。

2 位置伺服復合控制設計

傳統PMSM伺服控制框圖如圖3所示，主要由三閉環構成。內環為電流環采用PI控制器，主要作用是改造內環控制對象的傳遞函數，提高系統的快速性，及時抑制電流環內部的干擾；中間環為速度環采用PI控制器，主要作用是增強系統抗負載擾動的能力，抑制速度波動；外環為位置環采用P控制器，主要作用是保證系統靜態精度和動態跟蹤性能，使整個伺服系統能穩定、高精度運行。

圖3 傳統PMSM伺服系統控制框圖

由于雙三相PMSM采用表貼式結構，使得dq軸電感相等。并且，構建的位置伺服系統采用id=0的控制策略。為了控制諧波電流為零，需要添加2個諧波電流控制閉環，最終得到雙三相PMSM位置伺服控制框圖如圖4所示。其中，Ke為反電動勢系數，θ為機械角度，θe為電角度，ω為轉速。與傳統伺服控制結構相比，本文構建的雙三相電機位置伺服系統添加了位置前饋控制器F(s)和電流環反電動勢前饋補償。

圖4 雙三相電機位置伺服控制框圖

2.1 電流環設計

將id=0和Ld=Lq代入式(2)，可得q軸的電壓方程：

(5)

對式(5)進行拉氏變換，電樞繞組傳遞函數為

(6)

式中：E(s)為q軸反電動勢；TL為電磁時間常數,TL=Lq/Rs。

電流環主要作用是增強系統剛度以及電流響應的快速性。使用PI控制器可以將電流環矯正為典型Ⅰ型系統，改善電流環的隨動性能。圖5為電流環結構圖。

圖5 電流環結構圖

其中，Kpi為比例增增，τi為積分時間常數。為了抵消繞組的慣性環節，設計τi=TL。由圖5可得電流輸入作用下的閉環傳遞函數：

(7)

由式(7)可看出電流環能等效成時間常數為Ti=Lq/Kpi的慣性環節，Kpi越大系統響應越快，電流跟蹤速度越快。

由圖5可得反電動勢輸入作用下閉環傳遞函數為

(8)

由式(7)和式(8)可以得出電流總輸出為

[E(s)-Ke·Ω*(s)]

(9)

從式(8)可以看出，反電動勢作為輸入，q軸電流的輸出量與反電動勢幅值變化率成正比。式(9)為電流環總輸出電流，由給定電流和反電動勢輸入作用下的2部分電流輸出組成。為了達到更好的電流響應效果，將反電動勢系數和給定轉速的乘積作為反電動勢補償量，減小反電動勢對電流響應的影響。采用反電動勢前饋補償的電流環結構框圖如圖6所示。其中，Ke為反電動勢系數，Ω*(s)為速度環的給定轉速。

圖6 添加反電動勢補償的電流環結構圖

雙三相PMSM的銅耗為

(10)

式中：io1、io2為零序電流。

中性點隔離的連接方式使io1和io2為零，不需要進行控制。為了減小銅耗，諧波電流iz1、iz2控制閉環的給定為零(見圖4)。

2.2 速度環設計

速度環為電流環的外環，其輸出值為電流給定值。由2.1節可知電流環可以看作小時間常數的一階慣性環節，其閉環傳遞函數同式(7)。速度環主要需要提高抗擾性能來抑制轉速波動，通常使用PI控制器矯正為典型Ⅱ型系統，通過設計典型Ⅱ型系統中頻段的寬度來得到希望的系統性能。對式(4)的電機機械運動方程進行拉氏變換，可得運動系統傳遞函數：

(11)

黏滯系數B在實際系統中一般較小可忽略，則式(11)的大慣性環節可以看作為積分環節，可得速度環的結構圖如圖7所示。其中，KT為力矩系數。

圖7 速度環結構圖

由圖7可得速度環開環傳遞函數：

(12)

典型Ⅱ型系統動態抗擾性能指標與速度環控制器參數有關。考慮出現擾動后系統的動態降落幅值以及恢復時間，選擇典型Ⅱ系統中合適的中頻段寬度作為最優，再根據“振蕩指標法”中幅頻特性峰值最小準則，可確定速度環PI控制器的最佳參數。在工程設計中，為了簡化中頻寬和截止頻率的選擇，通過“最佳頻比表”找到這2個參數之間的最佳配合，得到最小的閉環幅頻特性峰值。

速度環的輸出為電流內環的給定值。為了避免過流，需要限制速度環的最大輸出值，使電流給定在允許范圍內。在速度環PI控制器的積分器中引入限幅環節來達到抗積分飽和的效果，使速度環輸出能夠快速退飽和，減小超調量加快系統響應。圖8為添加積分限幅的速度環PI控制器結構圖。

圖8 抗積分飽和速度環PI控制器

2.3 位置環設計

通過設計速度控制器的參數，可以使速度環的階躍響應無超調。此時，可近似認為速度環等效為慣性環節，可得速度環的閉環傳遞函數：

(13)

式中：Ts為速度環時間常數。

給定速度階躍信號，則速度環時域輸出表達式為

(14)

通過測量實際系統的速度階躍響應曲線，可以得到Ts的大小。

位置環為速度環的外環，其輸出為速度環的給定值。位置環主要的追求目標是位置定位精度、位置跟蹤精度和位置跟蹤速度。傳統伺服系統位置控制器如果只采用純比例控制，很難滿足高動態伺服系統快速跟蹤的要求，增大比例增益可以提高系統位置響應速度。但是，過大的增益會使系統的穩定裕度降低，增益的提高被限制在一定范圍內。圖9為采用比例控制器的位置環結構圖。

圖9 位置環結構圖

其中，Kθ為位置增益，誤差Eerr(s)對輸入信號θref(s)的傳遞函數為

(15)

由終值定理可得穩態誤差為

(16)

當θref(s)=1/s，即輸入為階躍信號時，ε=0；當θref(s)=1/s2，即輸入為斜坡信號時，ε=1/Kθ。如果位置環只采用純比例控制，系統響應速度會受到限制，并且對某些給定輸入信號不能實現零誤差跟蹤。按照給定輸入的前饋反饋復合控制能提前計算出產生理想輸出需要的控制信號，可以有效減小響應時間改善系統的跟蹤性能。位置環采用前饋反饋復合控制結構圖，如圖10所示。

圖10 前饋反饋復合控制結構圖

誤差Eerr(s)對輸入信號θref(s)的傳遞函數為

(17)

當系統輸出能夠完全復現輸入指令，即系統可以零誤差的跟蹤輸入，此時誤差傳遞函數為零。因此，可得理想情況下前饋控制器傳遞函數為

F(s)=s(Tss+1)

(18)

實際系統不可能具有無限大的帶寬以及逆變器容量的限制，不能完全響應式(18)的微分補償量。因此，在式(18)的微分環節添加濾波器，以減緩補償量的幅值，使系統能夠有效的響應。設計實際前饋控制器傳遞函數：

(19)

其中，Tf可以參考位置環的階躍響應時間進行設計。

將式(19)代入式(17)可得誤差傳遞函數：

(20)

由終值定理可得穩態誤差為

(21)

當θref(s)=1/s2時，代入式(21)可得穩態誤差為

(22)

從式(22)可以看出，當λ1=1時，ε=0，此時位置伺服系統可以無差跟蹤斜坡輸入。在實際系統中各個閉環存在濾波環節，以及在分析速度外環特性時，將速度環近似等效為慣性環節，因此實際的λ1值小于1。而且，式(22)中不包含λ2，可以消除前饋控制器F(s)的s2項。

3 仿真驗證

基于以上所述控制方法，根據圖4的控制系統框圖，搭建仿真模型進行仿真，驗證該方法的可行性。在1臺11對極雙三相PMSM上進行試驗驗證，表1為電機參數。

表1 電機參數

對圖10進行掃頻分析，可得系統的幅頻響應和相頻響應對比圖如圖11所示。從圖11可以看出，增大位置增益可以提高系統的截止頻率，使系統響應速度變快。但是，系統的穩定裕度會隨增益的提高而變小。采用復合控制的伺服系統兼顧了系統的響應速度和穩定裕度，使系統的動態性能得到提高，同時增強了系統的穩定性。另外，采用比例控制器的位置控制系統中，在10-2kHz附近產生了諧振，導致響應曲線產生了尖峰。復合控制改變了系統諧振頻率，其響應曲線在該點沒有出現尖峰。

圖11 頻率響應

圖12為純比例位置控制器和復合控制階躍響應的對比圖。前饋控制器F(s)為輸入指令的微分，對于階躍響應其微分無窮大，實際伺服系統受逆變器容量和帶寬等限制不能響應該補償量。本文通過在F(s)中添加濾波器，以實現系統對階躍的有效響應。從圖12可以看出，復合控制的階躍響應比比例控制器階躍響應快。

圖12 階躍輸入系統輸出對比圖

圖13為純比例位置控制器的系統響應，此時給定輸入為斜坡信號。從圖13可以看出，對于斜坡給定，系統響應依照速度的不同階可以段劃分為加速區和恒速區。在恒速區速度不變，可認為θref(s)=1/s2，由式(16)計算可知，存在一個固定的跟蹤誤差，其大小與位置增益成反比。

圖13 純比例位置控制器斜坡給定

圖14為采用復合控制輸入斜坡信號時系統的輸出響應。在恒速區可認為θref(s)=1/s2，由式(22)可知，通過選取合理的λ1的值可以使跟蹤誤差為零，系統此時可以無誤差跟蹤斜坡輸入。在加速區，由于前饋控制器的快速調節作用，跟蹤誤差被抑制在很小的范圍內。對比圖13可以看出,復合控制比采用比例位置控制器的系統，其超調量并沒有增大。

圖14 復合控制斜坡給定

圖15為輸入三角波給定，復合控制和純比例位置控制器系統輸出對比圖?？梢钥闯?，純比例控制的系統響應時間長，并且在恒速區存在恒值穩態誤差，系統輸出不能完全跟隨給定。在三角波的頂點處由于位置響應慢，伺服系統不能使位置快速跟隨到頂點。添加前饋的復合控制可以提高系統的響應速度，而且能夠消除恒速區的誤差，使系統可以準確跟蹤輸入信號。

圖15 三角波給定系統輸出對比圖

4 試驗驗證

為了驗證理論分析和仿真結果的正確性，構建雙三相PMSM伺服系統進行試驗。控制器的主芯片為TMS320F28377S，逆變器開關管為碳化硅IGBT，開關頻率為20 kHz，電流環控制周期、速度環控制周期和位置環控制周期均為50 ms。圖16為試驗平臺。主要由雙三相PMSM、轉矩傳感器、磁粉制動器、伺服驅動器等構成。采用旋轉變壓器對位置和速度信號進行采樣。

圖16 試驗平臺及設備

圖17為伺服系統速度階躍響應。從圖17可以看出，系統的速度環可以近似等效為慣性環節，通過測量速度響應曲線，可以計算出速度環慣性時間常數Ts約為50 ms。從圖17還可以看出，由旋變測量的11個電周期為一個機械周期，對電周期進行計數就可以計算出轉子的機械角度，實現位置和速度閉環。

圖17 速度階躍響應

圖18為采用純比例位置控制器的伺服系統的輸出波形，此時給定為60°階躍信號。達到指定機械位置系統的響應時間大約為0.8 s，最大速度大約為50 r/min。當位置誤差較大時，系統以大轉速運行至給定位置，當位置誤差逐漸減小到零，速度也由最大轉速逐漸減小到零。

圖18 純比例位置控制器階躍響應

圖19 復合控制階躍響應

圖19為采用復合控制，給定60°階躍信號系統的響應。參考圖18的伺服系統位置階躍響應時間，前饋控制器F(s)中的Tf設計為0.2 s，λ1設計為0.16。從圖19可以看出，到達給定位置系統的響應時間大約為0.5 s，最大轉速約為57 r/min。對比圖18和圖19可知，使用復合控制的位置伺服系統動態響應更快。

圖20為采用純比例位置控制器系統輸出，給定的斜坡信號為θref(t)=60t，終值為60°。在起始階段，系統的跟蹤速度緩慢不能準確到達給定位置。在恒速階段，從圖20可以看出，存在一個大小為4.2°的跟蹤誤差，其大小與伺服系統位置增益有關，增益越大跟蹤誤差越小。但是，增益過大會降低系統的相位裕度，使系統的穩定性降低，故誤差不能完全消除。

圖20 純比例位置控制器斜坡響應

圖21為復合控制系統輸出，給定的斜坡信號為θref(t)=60t，終值為60°。從圖21可以看出,由于前饋作用，在起始階段系統的響應速度得到提高，使系統輸出能夠快速跟隨給定。在恒速區，跟隨誤差減小到0.12°，再適當的調節λ1，可以使跟蹤誤差減小到零，實現無誤差跟蹤。

圖21 復合控制斜坡響應

圖22和圖23為三角波位置給定，周期為2 s頂點為60°。從圖22可以看出，采用純比例位置控制器的伺服系統，在恒速區存在固定大小的跟蹤誤差，在頂點處由于系統的響應速度慢，系統輸出不能達到頂點位置。圖23為復合控制伺服系統輸出，與圖22相比，速度的響應更接近方波，即系統的動態性能更高。高動態響應使系統能夠快速跟隨給定信號，提高了跟蹤精度。

圖22 純比例位置控制器三角波響應

圖23 復合控制三角波響應

5 結 語

本文提出了一種伺服系統前饋反饋復合控制方法。以傳統位置伺服系統傳遞函數模型為基礎，分析系統在不同輸入信號作用下的穩態誤差。通過設計復合控制器，重構傳統位置伺服的誤差傳遞函數，使系統能無差跟蹤輸入。同時，復合控制器還兼顧了系統響應的快速性和穩定裕度，提高了伺服系統跟隨速度，并增強了系統的穩定性。試驗結果表明，所提出的位置伺服復合控制方法能夠有效地改善系統動態性能和跟蹤精度，在階躍和斜坡信號的作用下，均能準確地跟蹤給定信號。