《橢圓的標準方程》教學設計

課程分析：

《橢圓的標準方程》是高中人教版B版選修性必修一第二章第5節2.5.1中的內容。繼直線和圓的方程之后，《橢圓的標準方程》拉開了圓錐曲線與方程的序幕，承載著數形結合思想和代數方法研究幾何問題的基調，為接下來雙曲線和拋物線的學習提供了基本模式和理論基礎。

體會橢圓的定義的生成以及標準方程的推導過程，鼓勵學生勇于探究、批判質疑，培養信息意識、樂善好學的精神素養和學習習慣;在應用解題的過程中，使得學生的理性思維得以提升，出現問題勤于反思，整體注重學生思維靈活性的培養。

重點是橢圓的定義及其標準方程，橢圓定義的應用以及標準方程的求解。其中，對定義中“”的理解，推導標準方程時，對代數式的化簡，是本節課的難點。

學情分析：

在學習本節課前，學生已經學習了直線與圓的方程，對曲線和方程的思想方法有了一些了解和運用的經驗，對坐標法研究幾何問題也有了初步的認識。因此，學生已經具備探究有關點的軌跡問題的知識基礎和學習能力，但由于學生學習解析幾何時間還不長、學習程度也較淺，并且還受到高二這一年齡段學習心理和認知結構的影響，在學習過程中難免會有些困難.因此根據所學以及問題的引導進行自主探究和合作。

學習目標：

1、理解橢圓的定義：會用定義中的（定值）解決問題;如：①已知求;②判斷滿足某些條件的動點軌跡。掌握橢圓的標準方程：①能根據已知條件求解標準方程;②根據方程寫出焦點坐標。

2、學生通過動手畫橢圓、分組討論探究橢圓定義、推導橢圓標準方程等過程，提高動手能力、合作學習能力和運用知識解決實際問題的能力，并滲透方程、分類討論、類比的思想方法。

3、在形成知識、提高能力的過程中，激發學生學習數學的興趣，提高學生的審美情趣，培養學生勇于探索、敢于創新的精神.

思路設計：

一、復習舊知，形成概念

演示衛星運行軌跡，直觀感知橢圓形象。由圓帶入，回顧圓的定義和標準方程以及畫圓的方法，引出本節課內容，探究橢圓的定義和標準方程。讓學生自主學習，按照教材中的實驗敘述，進行實際操作，通過具體實踐探討其結果，并嘗試歸納出橢圓的定義。

二、深入研究，揭示本質

根據定義以及點的軌跡方程求解步驟，小組合作探究完成。其中建系方式和根式的化簡，教師給予及時引導，突破難點，輔助完成橢圓標準方程的推導。

三、學以致用，遷移深化

對于橢圓定義的應用以及標準方程的求解，采用講練結合，從例題出發板書示范，逐步滲透對橢圓定義及標準方程的理解和運用。完成當堂達標，做到小組內自查，教師重點講解，最后讓學生總結本節課的內容，使學生自身對本節課有一個系統化的認識。

教學流程：

一、復習舊知，形成概念

（一）課件投影：請同學們觀察某衛星運行軌道圖片，并說出其形狀，然后提出問題引出本節內容。補充圓錐的斜截面是可能是橢圓。

1.你能描述一下橢圓嗎？

2.橢圓的定義是什么？橢圓的方程又是怎樣的？

然后，請同學們說一下，圓的定義？圓的標準方程？你有什么方法畫出一個圓？

（設計意圖：通過實例演示，讓學生對橢圓的特征有初步認識，結合圓的定義，再進行橢圓定義的探究應是水到渠成。）

（簡要實錄：學生能說出部分行星運行軌跡是橢圓;老師提到圓錐的斜截面是橢圓，學生能想到，斜著去截圓柱面，也能得到橢圓;學生提出多種畫圓的方法，學生的思維不斷在發散，并且學生已經動起來，為接下來作橢圓生成實驗做好準備。）

（二）課件投影：請同學們各自完成實驗，并觀察并思考（小組合作）：

1、動點的軌跡是什么形象？

2、動點運動過程中的不變量？

3、細繩的長度有要求嗎？

請同學們試著描述橢圓的定義？

橢圓定義：平面內與兩定點F1、F2的距離之和等于定長（大于∣F1F2∣）的點的軌跡叫做橢圓。

思考：細繩長度2a等于∣F1F2∣、小于∣F1F2∣時動點的軌跡？（突破難點1）

教師板書：一、橢圓的定義：平面內與兩個定點，的距離之和等于定長（大于）的點的軌跡叫做橢圓。定點，叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距。

（設計意圖：使學生體會橢圓的定義從操作→觀察→猜想→探究→形成概念的思維過程，培養學生科學合理分析問題的方法和習慣。）

（簡要實錄：學生用兩個圖釘和細繩，動手畫出橢圓。學生通過討論，能夠說出動點運動過程中細繩的長度不變，細繩要比兩個圖釘之間的距離要長。結合預習情況，學生說出橢圓的定義，教師對“在平面內”“定長大于∣F1F2∣”進行強調，同時突破難點1。在此過程中，學生主動性明顯提高，通過自己動手操作，更愿意分享自己的成果。）

二、深入研究，揭示本質

課件投影：請同學們回顧：動點的軌跡方程求解過程？

建系引導：看到你畫出的橢圓，你將其放在直角坐標系中的什么位置方便、簡潔？請同學們考慮橢圓自身的對稱性。

設點、列式引導：對于帶根號的表達式，我們總能想到平方去根號，有一個根式時，將其單獨放在方程一邊，像這樣式子中有兩個根式應該怎么操作呢？（將根式分別放置在等式的兩側，再平方。）（突破難點2）

三、學以致用，遷移深化

（一）課件投影：請學生完成下面的題目（學案例1），請學生說出解題過程，全體評價。

（二）課件投影：請學生完成下列題目（學案當堂達標）：

山東省臨邑第一中學 孫曉麗