碰摩轉子—油膜軸承系統的全局動力學研究

曾旭焱，侍玉青，劉軍，郭遙

碰摩轉子—油膜軸承系統的全局動力學研究

曾旭焱1, 2，侍玉青1, 2，劉軍1, 2，郭遙3

(1. 蘭州交通大學 機電工程學院，甘肅 蘭州 730070；2. 甘肅省軌道交通裝備系統動力學與可靠性重點實驗室，甘肅 蘭州 730070；3. 湖南工商大學 計算機與信息工程學院，湖南 長沙 410205)

考慮滑動軸承的非線性油膜力和轉定子的碰摩力，建立了含碰摩故障的單盤轉子-滑動軸承耦合系統動力學模型。運用四階變步長的龍格-庫塔-基爾法獲得系統的非線性響應，利用Poincaré型的簡單胞映射法對轉子系統進行了全局動力學分析。研究結果表明：隨著轉子轉速的增加，系統存在多個周期解共存以及周期解與混沌解共存現象。最后列舉了轉子系統在不良參數條件下，通過合理控制系統的初值條件而獲得理想系統響應的運用。

轉子?軸承系統；滑動軸承；轉子動力學；碰摩；吸引域

隨著我國高速列車的快速發展，旋轉設備正不斷朝著高速化、精密化的方向發展，要求轉定子之間的間隙越來越小，這使得碰摩成為了轉子研究的熱點問題[1]，國內外學者針對轉子碰摩課題已經做了大量基礎性研究，取得了一系列的研究成果。WANG等[2?3]以油膜軸承支撐的Jeffcott 轉子為研究對象，分別在對稱和非對稱油膜力下研究了碰摩轉子動力學行為的影響，結果表明在非對稱油膜力作用下，系統響應的混沌區域明顯更寬，且混沌運動的演化規律將更加復雜。李同杰等[4]考慮齒輪副齒側間隙以及滑動軸承的油膜力建立了滑動軸承?雙轉子?齒輪耦合系統的非線性動力學模型，研究發現滑動軸承的油膜對系統的混沌運動具有鎮定作用，滑動軸承間隙和轉子質量偏心如果設計不當會導致系統齒輪副產生單邊沖擊現象。目前轉子系統的全局動力學分析方法可以分為解析方法和數值方法。其中對于解析方法比較著名的有Melnikov方法，JIANG[5]以一個含碰摩故障的Jeffcott轉子系統模型為研究對象，提出了首先分段對系統各段方程的典型解及其穩態解和存在區域進行分析，然后在參數空間中將所得的穩態響應區域進行“拼裝”而得到其共存特性的研究方法。但是轉子系統屬于強非線性系統，其故障類型多、求解難度大，目前尚未有統一的解析求解方法。而數值方法由于具有更強大的直觀性和適用性，一直是轉子系統全局動力學分析的研究重點。數值方法主要包括直接模擬法(點映射法)和胞映射法[6]，但點映射法需計算很長的時間才能得到系統中的全局動力學特性，而且計算精度低，因此亟需一些高效的數值方法來研究轉子系統的全局動力學特性，而胞映射方法就是一種有效的分析轉子系統全局動力學特性的方法。胞映射方法最先由Hsu[7]在20世紀80 年代初提出，但應用在較高維動力系統時，“胞”的數量非常大，占用內存空間大，計算速度慢。為此Levitas等[8?9]引入空間Poincaré截面映射，通過在狀態空間的定相位面中形成胞空間，并在此空間運用簡單胞映射方法對原動力系統進行研究，發展出了Poincaré型的簡單胞映射法。周杜等[10]利用簡單胞映射方法對一兩自由度齒輪進行全局動力學分析，研究發現系統隨著激振頻率的變化存在多個周期運動共存以及周期運動與混沌運動共存現象。饒曉波[11]應用GPU并行計算方法，研究了碰摩轉子系統在故障參數平面中的動力學行為及其參數關聯關系，并利用簡單胞映射方法探究了系統多吸引子共存現象。本文建立了一個非線性油膜力支撐含碰摩故障的單盤轉子?滑動軸承耦合系統動力學模型，采用四階變步長的龍格?庫塔?基爾法對系統的分岔和混沌等非線性動力學行為進行研究，并利用Poincaré型的簡單胞映射法分析轉速對轉子系統的全局動力學的影響，通過合理控制系統的初值條件而獲得良好的系統響應，為轉子的優化設計和良好運行奠定了基礎。

1 系統的動力學模型

圖1所示為含有碰摩故障的簡化對稱剛性支承轉子—軸承系統模型示意圖，其中，轉子的兩端的處和處采用對稱結構的滑動軸承支撐，轉子在軸承處的集中質量為1，在轉盤處的集中質量為2，1和2分別為轉子在轉盤處和轉子在軸承處的阻尼；

圖1 轉子系統動力學模型

1，2和3分別為軸瓦幾何中心、轉子幾何中心和轉子質心，1為轉盤的質量偏心距；為轉盤和定子之間的間隙；假設軸段為無質量的彈性軸段，為彈性剛度，k為定子徑向碰摩剛度。

1.1 碰摩力

圖2所示為碰摩示意圖。圖2中，為摩擦點法向與軸方向的夾角；為轉子轉盤中心的徑向位移；P和P分別為法向碰摩力和切向摩擦力。

當大于等于時(即≥)，系統發生碰摩，此時P和P可以表示為：

假設摩擦符合庫倫摩擦定律，將碰摩力分解到直角坐標系軸方向和軸方向，可以得到碰摩力在軸方向和軸方向的分量P和P，即：

圖2 碰摩示意圖

1.2 油膜力

本文所研究的轉子系統軸承的油膜力模型采用Capone短軸承油膜力模型[12]，該模型計算精度高且收斂性好。油膜壓力滿足雷洛方程：

根據式(3)可得油膜壓力：

油膜力在和軸上的分量為：

式中：為Sommerfeld修正系數。

其余各參數為：

其中：為潤滑油黏度；為軸承寬度；為軸承直徑；為油膜間隙；sign()為符號函數；1和1分別為軸承的軸瓦幾何中心在軸方向和軸方向的徑向位移。

1.3 系統的運動微分方程

引入無量綱量變換：=，x=X/，y=Y/，(=1,2)；其中，為轉子角速度。根據轉子動力學理論可建立系統的運動微分方程為：

式中：為重力加速度；F, F分別為軸承油膜力在軸方向、軸方向的分量，可參照式(5)。P,P分別為轉子系統碰摩力在軸方向、軸方向的分量，可參照式(2)。

2 Poincaré型的簡單胞映射

簡單胞映射(SCM)方法的基本思想是將維連續的狀態空間R離散化為有限個小的幾何體(胞)，狀態空間離散化而建立胞空間，而Poincaré型的簡單胞映射(PCM)方法[13]是在狀態空間的定相位面中形成胞空間，利用Poincaré映射將系統進一步轉換為Poincaré截面上的點映射系統。采用Poincaré型的簡單胞映射(PCM)方法，能夠揭示非線性系統在狀態空間各共存吸引子的吸引域存在范圍，以及參數平面上吸引域拓撲結構的變換規律。對于深入研究系統的全局動力學特性，為系統的結構優化和控制提供理論依據具有重要意義。

3 系統的分岔及混沌分析

圖3呈現了系統轉盤在軸方向的無量綱位移隨轉子轉速變化(200～3 000 rad/s)的分岔圖，揭示了系統豐富的動力學特性。如圖3所示，隨著轉子轉速的增加，系統經歷了擬周期運動、單周期運動、多周期運動和混沌運動。當=839 rad/s時，系統發生跳躍，由原來的P-1(P表示周期)運動跳變為P-2運動，此時系統存在P-1運動吸引域和P-2吸引域共存現象。當轉速增加到=1 246 rad/s時，系統經周期倍化分岔由P-2運動轉遷為P-4運動，隨之又跳變到P-3運動，在此轉速區域附近系統存在3種運動吸引域的共存現象。轉速增加到=1 900 rad/s時，系統再次發生跳變，由P-3運動跳變到P-4運動，并隨著轉速持續遞增發生倍周期分岔，由P-4運動轉遷為P-8運動。轉速增加到=1 972 rad/s時，系統經逆周期倍化分岔退化為P-4運動。轉速繼續遞增至=2 354 rad/s時，系統由P-4運動經瞬態混沌運動過渡到P-5運動，此后隨著轉速遞增，系統存在P-5運動吸引域和P-chaos(混沌運動)吸引域共存現象。當轉速增加到=2 580 rad/s后，系統進入P-chaos運動，并隨著轉速的繼續增加一直維持在混沌運動狀態。

圖3 系統的全局分岔圖

4 系統的全局動力學分析

4.1 系統在σp相平面的全局動力學分析

在相平面σ中，為了使研究范圍竟可能較廣，同時減小初始位置即發生碰摩的情況。取感興趣的位移初態域：σ={(2,2)∈2|?1.0≤2≤1.0,?1.0≤2≤1.0}，將初態域劃分為400×400個狀態胞，對相平面σ進行胞映射。系統在σ相平面隨轉速變化的全局吸引域如圖4所示，其中不同顏色表示不同的吸引域。圖4(a)為轉速839 rad/s時系統的吸引域，其中深色區域代表P-1運動吸引域，淺色區域代表P-2運動吸引域，由圖可知深色面積區域大于淺色面積區域，此時P-1運動局部穩定性大于P-2運動。當轉速增加到=1 246 rad/s時系統的吸引域如圖4(b)所示，此時系統存在P-2運動吸引域、P-3運動吸引域和P-4運動吸引域共存現象，其中淺色P-3運動吸引域和灰色P-4運動吸引域占據了絕大部分面積。帶狀深色P-2運動吸引域鑲嵌在灰色P-4運動吸引域中，這表示系統發生了倍周期分岔，由P-2運動倍化到了P-4運動。轉速增加到= 1 900 rad/s時P-2運動消失，此時系統的吸引域如圖4(c)所示，只存在淺色的P-3運動吸引域和深色P-4運動吸引域，并且P-3運動局部穩定性大于P-4運動。當轉速增加到=2 534 rad/s時的吸引域如圖4(d)所示，P-chaos運動和P-5運動在系統中共存，白色的帶環狀P-5運動吸引域嵌套在黑色的P-chaos運動吸引域中，此時P-5運動對初值非常敏感，極其容易失穩而進入P-chaos運動。轉速繼續增加到=2 575 rad/s時，系統的吸引域如圖4(e)所示，環帶狀的P-5運動吸引域被P-chaos運動吸引域逐漸吞噬，并形成P-5運動吸引域島，P-5運動穩定性進一步降低，隨著轉速的繼續增加系統將向P-chaos運動過渡。

(a) ω=839 rad/s；(b) ω=1 246 rad/s；(c) ω=1 900 rad/s；(d) ω=2 534 rad/s；(e) ω=2 575 rad/s

4.2 系統在σq相平面的全局動力學分析

在相平面σ中，取感興趣的速度初態域：，將初態域劃分為400×400個狀態胞，對相平面σ進行胞映射。系統在σ相平面隨轉速變化的全局吸引域如圖5所示，其中不同顏色表代表的吸引域與在σ相平面一致。圖5(a)為轉速839rad/s時系統的吸引域，與在σ相平面相比，淺色區域代表的P-2運動吸引域面積超過深色區域代表的P-1運動吸引域面積，這表示此時在σ相平面，系統的P-2運動的局部穩定性將超過P-1運動。當轉速增加到=1 246 rad/s時系統的吸引域如圖5(b)所示，與在σ相平面相比，大部分淺色的P-3運動吸引域被灰色的P-4運動吸引域吞噬。轉速增加到=1 900 rad/s時，此時系統的吸引域如圖5(c)所示，與在σ相平面相比，增加了黑色的P-chaos運動吸引域。這表示與在σ相平面相比，速度對系統的穩定性影響更大，在系統轉盤轉速接近1的區域，為維持系統的穩定性可以調節系統轉盤轉速的初值以避開P-chaos運動吸引域區域。當轉速增加到= 2 534 rad/s時的吸引域如圖5(d)所示，與在σ相平面相比，白色的P-5運動吸引域面積被壓縮到相平面的左下角與黑色的P-chaos運動吸引域面積交織呈一圓盤狀。轉速繼續增加到=2 575 rad/s時，系統的吸引域如圖5(e)所示，P-5運動吸引域面積被P-chaos運動吸引域逐漸吞噬，呈散狀分布于P-chaos運動吸引域面積中。

(a) ω=839 rad/s；(b) ω=1 246 rad/s；(c) ω=1 900 rad/s；(d) ω=2 534 rad/s；(e) ω=2 575 rad/s

(a) Poincaré截面圖；(b) 軸心軌跡圖

5 應用舉例

(a) Poincaré截面圖；(b) 軸心軌跡圖

6 結論

1) 建立了一個非線性油膜力支撐含碰摩故障的單盤轉子?滑動軸承系統動力學模型，利用Poincaré型的簡單胞映射方法研究了轉子系統的全局動力學特性，發現系統存在單周期運動與多周期運動共存，多周期運動與多周期運動共存，以及多周期運動與混沌運動共存。

2) 分析了系統在2個感興趣相平面內各種運動吸引域的位置，并通過應用舉例說明，在系統理想運動的吸引域范圍內選擇系統的初值條件，可以獲得理想的系統響應。這為轉子系統的動力學優化設計提供了理論基礎，對于在不良參數區域改善轉子系統的動力學特性有著重要的工程意義。

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Study on global dynamic characteristic of rubbing rotor—oil film bearing system

ZENG Xuyan1, 2, SHI Yuqing1, 2, LIU Jun1, 2, GUO Yao3

(1. School of Mechanical Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China;2. Gansu Provincial Key Laboratory of System Dynamics and Reliability of Rail Transport Equipment, Lanzhou 730070, China;3. College of Computer and Information Engineering, Hunan University of Technology and Business, Changsha 410205, China)

A dynamic model of the coupling system of single-disk rotor and sliding bearing including rub-impact fault was established, which considered the non-linear oil film force of the sliding bearing and the rubbing force of the rotor and stator. The fourth-order Runge-Kutta-Gill method with varying steps was used to solve the dynamic equation and obtain the model’s vibration response, and the global dynamics analysis of the rotor system was performed by using a simple cell mapping method of Poincaré type. The results show that: With the increase of the rotation speed, there are multiple periodic solutions coexisting and periodic solutions coexisting with chaotic motion. Finally, the application of the ideal system response is obtained by reasonably controlling the initial value conditions of the rotor system under the condition of bad parameters.

rotor-bearing system; sliding bearing; rotordynamics; rub-impact; domain of attraction

O322；TH133

A

1672 ? 7029(2021)02 ? 0494 ? 08

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20200387

2020?05?11

蘭州交通大學青年科學研究基金項目(2015019)

侍玉青(1988?)，女，甘肅民勤人，副教授，博士，從事非線性動力學及控制研究；E?mail：shiyq@mail.lzjtu.cn

(編輯 陽麗霞)