光子糾纏光纖陀螺儀的相位檢測靈敏度分析

張桂才，馮 菁，馬 林，王周祥

（天津航海儀器研究所，天津 300131）

基于Sagnac效應的光纖陀螺儀在慣性導航、控制和測量領域已經得到廣泛應用。在傳統光纖陀螺中，光按經典場處理，但探測過程被量子化，具有一種統計特征，被探測的光子數M服從泊松統計，光子數的標準偏差其中記為探測的平均光子數。換句話說，傳統光纖陀螺的相位檢測靈敏度受相對不確定性的影響，稱為散粒噪聲極限[1]。另一方面，作為一種角速率敏感器件，光纖陀螺的精度由相位響應以及最小相位分辨率 Δφ共同確定。相位響應也即Sagnac標度因數，正比于兩束反向傳播光波包圍的面積，反比于干涉光波的波長λ。因此增加光纖線圈的長度和直徑，或者采用較短波長可以增強光纖陀螺的精度。X射線以及電子、中子和原子的德布羅意波雖具有較短的波長，但波的產生和傳導相當困難且閉合面積小，不具有精度優勢[2]。因此傳統光纖陀螺通常需要采用較大的結構尺寸和光纖長度來進一步提高精度[3-5]。

光子糾纏光纖陀螺儀提供了一種新的技術途徑，可以突破經典Sagnac干涉儀的散粒噪聲極限[2,6,7]。基于光子糾纏的光纖陀螺儀理論上能夠較容易實現超相位分辨率（干涉條紋加倍），但能否實現量子增強的相位敏感，還要依賴于其干涉輸出的相位不確定性是否突破經典光纖陀螺儀的標準量子極限，也即超相位檢測靈敏度。光子糾纏干涉測量技術采用光的非經典態，一般由自發參量向下轉換（SPDC）過程產生[8]。本文闡述了光子糾纏光纖陀螺儀的工作原理，針對量子輸入通常需要雙輸入/雙輸出的光路特征，提出了一種采用雙環行器的光子糾纏光纖陀螺結構；基于理想的最大光路糾纏N00N態，首次推導了N00N態光子糾纏光纖陀螺的德布羅意波的量子干涉公式，并將N00N態光子糾纏光纖陀螺儀的相位檢測靈敏度極限與具有相同光子數（光功率）的一般光子數態輸入以及經典輸入的相位檢測靈敏度進行了對比。

1 采用經典和量子輸入的Sagnac干涉儀

1.1 經典輸入

圖1 是傳統Sagnac光纖干涉儀的結構示意圖，由一個50：50分束器和一個光纖線圈組成。理想情況下，端口1和端口2的光強測量分別變為：

圖1 Sagnac光纖干涉儀Fig.1 Sagnacfiber opticinterferometry

式中,Ein是輸入光場的振幅，E1、E2是兩個輸出光場，φ是旋轉引起的Sagnac相移。可以看出，在經典理論中，Sagnac干涉儀只需要一個光源，光源發射的光經分束器的其中一個輸入端口分成兩束入射進Sagnac干涉儀，在干涉儀內沿相反方向傳播一周后，在同一個分束器上合光干涉，干涉光波也為兩束，一束經光源輸入端口輸出，該端口稱為互易性端口（端口1），另一束經分束器的另一個輸入端口輸出，該端口稱為非互易性端口（端口2）。對經典Sagnac干涉儀來說，非互易性端口對環境變化敏感，不能精確測量Sagnac相移[1]，所以傳統光纖陀螺采用一種最小互易性光路結構，其輸入/輸出共用一個端口（端口1）。

1.2 量子輸入

在量子理論中，真空場總是存在的。因而，即使沒有場入射進分束器的另一個端口，真空場也從這個端口進入[9]。實際中，為了實現輸入模式和輸出模式的有效分離，我們提出了一種采用雙環行器的Sagnac干涉儀結構，如圖2所示。a1和a2記為輸入模式的算符。輸出模式b1和b2與輸入模式通過式(2)相關聯[2]：

圖2 采用雙環行器有效分離輸入模式和輸出模式的量子Sagnac干涉儀Fig.2 Quantum Sagnacfiber opticinterferometry withtwocirculators tosplit input/output modes

式(2)中兩個分束器代表了實際分束器的兩次運用。不考慮分束器、光纖線圈的損耗等因素，矩陣SBS、Sφ以及S均為幺正矩陣。輸入和輸出模式通過線性變換相互關聯：

其中，系數Sij的矩陣S被稱為與網絡有關的散射矩陣。設Sagnac干涉儀的散射矩陣S對應的幺正算符為U，作用于態矢量上，使態矢量演變。利用算符的動力學性質，有：

利用式(4)以及U的幺正性質：

因而得到：

式(7)表示輸入光子態ai經過Sagnac干涉儀的演變，式(6)可以由輸出光子態bi逆演變得到輸入光子態ai。實際中，上述兩式適合任何幺正性質的演變算符U，如UBS（分束器）、Uφ（相移器）。

2 基于N00N態的光子糾纏光纖陀螺儀

2.1 N00N態光子糾纏光纖陀螺的輸出態

由于N00N態不是Sagnac干涉儀的輸入態，這里假定非經典光源產生的適當光子態組合第一次經過分束器后生成N00N態，進而在Sagnac干涉儀產生的態為：

則第二次經過分束器后的輸出態為：

由式(10)可以計算出探測器1和探測器2的輸出光強為：

2.2 二階符合計數和相位檢測相對不確定性

由式(9)可知，N00N態光子糾纏光纖陀螺的輸出態的二階符合計數I12為：

光子數N為偶數時，由式(10)和式(12)推導得到：

分析式(12)(13)發現，在二階符合計數I12中，n為偶數的光子數態的二階符合計數疊加I12-e和n為奇數的光子數態的二階符合計數疊加I12-o，兩者幅值相同。I12-e和I12-o均呈現N倍頻干涉條紋，且形成互補，這說明I12-e和I12-o都具有完整的量子增強信息。但總的I12=I12-e+I12-o為常值，并不包含Nφ信息。這需要設計N00N態光子糾纏光纖陀螺的符合計數比較方案，獨立獲得完整的二階符合計數疊加I12-e或I12-o，才能實現海森堡極限的相位檢測靈敏度。探測器1和探測器2的二階符合計數（I12）減去獨立計數（I1?I2），并用每個探測器的獨立計數歸一化，得到為：

這是與式(1)經典干涉輸出對應的體現德布羅意粒子的量子干涉輸出公式。其中：

由式(1)和式(14)，綜合考慮散粒噪聲和光子糾纏效應，具有相同輸入光子數N的N00N態光子糾纏光纖陀螺和經典光纖陀螺的相位檢測相對不確定性為：

N較大時，N-1≈N，N00N態光子糾纏光纖陀螺的精度是經典光纖陀螺的倍，達到理想的海森堡極限1/N。

3 對比和仿真

3.1 N00N態與一般光子數態的比較

將具有相同光功率（相同光子數）的N00N態與一般光子態輸入進行比較。取N=4，輸入光子數態經過Sagnac干涉儀的輸出態為：

其中，

圖3 采用四個單光子探測器Di （i=1,2,3,4）對輸入態為的輸出態進行高階符合計數Fig.3 Using four single-photon detectors tomeasure higher order coincidences for input states

3.2 N00N 態和其它輸入態的相位檢測靈敏度

由式(1)(14)(20)(21)可以給出具有相同光子數（N=4）的經典態、4004態、輸入態的二階符合計數以及高階符合計數的干涉響應曲線，如圖4所示。可以看出，經典態只有一個干涉條紋，幅值為4；4004態有四個干涉條紋，幅值為輸入態的二階符合計數有兩個干涉條紋，幅值也為34；輸入態的高階符合計數有四個干涉條紋，但幅值僅為2×（3/16）2。

圖4 具有相同光子數（N=4）的經典和量子的干涉響應曲線Fig.4 Classical and quantum interferenceresponse curves with the samephoton number (N=4)

如前所述，光纖陀螺作為一種角速率敏感器件，其精度由相位響應Nφ也即Sagnac標度因數以及最小相位分辨率Δφ共同確定。根據文獻[7]的定義，干涉條紋倍頻或導致縮短的德布羅意波長，稱為超相位分辨率；突破散粒噪聲極限，稱為超相位靈敏度。表1給出了經典干涉和N00N態、一般光子數態（）的量子干涉得到的相位檢測靈敏度對比。可以看出，N00N態作為最大光路糾纏態，已經突破散粒噪聲極限，達到海森堡極限，比散粒噪聲極限低倍（N=4）；而一般光子數態的二階符合計數雖然存在2φ信息，但因為并非所有的輸出態都對二階符合計數有貢獻，存在一個固有效率或概率，未突破散粒噪聲極限；由于類似的原因，輸入態的四階符合計數盡管實現了干涉條紋的4倍頻，但其概率（強度）進一步降低，其相位檢測靈敏度比經典干涉低得多。

表1 經典態與非經典態的相位檢測靈敏度對比（ N=4）Tab.1 Comparison of classic state with non-classic states for phase sensitivity

4 結 論

基于N00N態的光子糾纏光纖陀螺儀的雙輸入/雙輸出特征，提出了一種采用雙環行器的光子糾纏光纖陀螺光路結構，首次推導了N00N態光子糾纏光纖陀螺的德布羅意波的量子干涉公式，并對光子糾纏光纖陀螺的相位檢測靈敏度進行了研究。分析表明，采用最大路徑糾纏N00N態，基于被探測的N光子的糾纏特性，導致一種縮短的德布羅意波長這種德布羅意粒子的統計特征服從亞泊松分布，探測的不確定性由經典的降為同時，光子糾纏效應使二階干涉條紋的頻率提高了N倍，這導致比經典光纖陀螺增強了倍，可以突破散粒噪聲極限而達到海森堡極限。盡管N00N態的制備目前還相當困難，但國外的研究仍非常活躍[10-12]，其在光子糾纏光纖陀螺儀方面具有潛在的應用前景。將N00N態與具有相同光子數（光功率）的一般光子數態（的量子干涉以及經典干涉的相位檢測靈敏度進行了對比。其它非經典態由于輸出態的二階符合計數及高階符合計數存在一個固有效率，可能很難突破散粒噪聲極限。此外，光子糾纏光纖陀螺儀還涉及光路互易性、施加偏置調制、光路元件不理想引起的退相干等問題，有待進一步研究。