基于Bezier曲線生成3D打印分層路徑

尹海濤，葉春生

(華中科技大學 材料成形與模具技術國家重點實驗室，湖北 武漢 430074)

3D打印起源于20世紀80年代，是為滿足模型制作以及快速成型的需求而推出，現已經成為計算機輔助設計和快速制造的通用技術平臺，3D打印可用于陶瓷、金屬和聚合物類材料生產，且可實現高效無模成形[1-5]，因而在醫療、汽車、航空航天和建筑領域得到了廣泛的應用。

3D打印技術將三維模型切片成二維平面，對每一層二維平面進行打印，逐層疊加形成三維模型。切片過程使用一系列在特定位置且相互平行的平面與三維模型相交，從而得到模型在這些高度上的切點并形成一條或多條閉合路徑，閉合路徑的精度影響著二維平面的打印精度，從而影響整個三維模型的精度。劉恒、朱心雄[6]提出了STL模型的分層鄰接排序快速切片算法，徐敬華、盛紅升[7]提出了基于鄰接拓撲的流形網絡模型層切多連通域構建方法，張琪、孟正大[8]提出了基于三角片分割的包圍盒樹構造方法，使用上述方法可以快速生成有序的路徑切點序列，但是上述切片層路徑是直接將有序切點連接形成，會因三維模型數據文件的缺陷等原因，造成切面層路徑不夠光滑。Bezier曲線具備光滑連接特性，被廣泛應用于自由曲線曲面造型中[9-10]。本文使用三次Bezier曲線來生成3D打印中切面層路徑。

1 Bezier曲線的定義

Pi(i=0,1,2,…,n)是曲線的n+1個控制點，n次Bezier曲線函數的表達式為：

(1)

式中，控制點Pi決定Bezier曲線具體走向；Bi,n(u)則是n次Bernstein基函數：

(2)

2 基于Bezier曲線的路徑規劃

2.1 計算Bezier曲線的控制頂點

在3D打印中，每一個切片層的分層路徑是與其他層路徑不相交的閉合曲線。為了光滑分層路徑，本文采用閉合曲線方程。首先通過切片算法得到路徑切點，切點是分層路徑上的點，而Bezier曲線的求解是通過確定控制頂點來完成的，所以需要先計算出Bezier曲線的控制頂點。

根據每兩個頂點作為一個Bezier曲線的端點(即起始點和終止點)，并由這兩個頂點結合相鄰的其他兩個頂點求得和這兩個頂點對應的Bezier曲線的控制點，然后根據端點和控制點繪制一條過兩個頂點的Bezier曲線。

如果把三階Bezier曲線(見圖1)中的P0和P3視為原始數據，只要找到P1和P2兩個點(稱其為控制點)，就可以根據三階Bezier曲線公式計算出P0和P3之間平滑曲線上的任意點。

圖1 三階Bezier曲線圖

所以平滑問題變成了如何計算2個原始數據點之間的控制點的問題。步驟如下。

1)第1步：粗直線連接圖2中相鄰的原始數據點P0、P1、P2、P3，計算出各線段的中點(Ai)，細直線連接相鄰的中點。

圖2 原始數據點線段中點圖

需要計算P1(x1,y1)和P2(x2,y2)之間的控制點，P0(x0,y0)是前一個需要經過的點，P3(x3,y3)是下一個需要經過的點，A0(xc1,yc1)、A1(xc2,yc2)、A2(xc3,yc3)表示點與點之間連線的中點。可用代碼表示為：

double xc1 = (x0 + x1) / 2.0;double yc1 = (y0 + y1) / 2.0;

double xc2 = (x1 + x2) / 2.0;double yc2 = (y1 + y2) / 2.0;

double xc3 = (x2 + x3) / 2.0;double yc3 = (y2 + y3) / 2.0;

2)第2步：根據圖3中相鄰2條粗直線長度之比，也就是L1/L0=d1/d0這個比例，分割其中點之間細直線連線，標記分割點。計算位于Ai連接線段上面的Bi。

圖3 分割點標記圖

k1、k2表示線段比例，B1(xm1,ym1)、B2(xm2,ym2)表示中點連線上的比例分割點。代碼表示為：

double len1 = sqrt((x1-x0) * (x1-x0) + (y1-y0) * (y1-y0));

double len2 = sqrt((x2-x1) * (x2-x1) + (y2-y1) * (y2-y1));

double len3 = sqrt((x3-x2) * (x3-x2) + (y3-y2) * (y3-y2));

double k1 = len1 / (len1 + len2);double k2 = len2 / (len2 + len3);

double xm1 = xc1 + (xc2 - xc1) * k1;double ym1 = yc1 + (yc2 - yc1) * k1;

double xm2 = xc2 + (xc3 - xc2) * k2;double ym2 = yc2 + (yc3 - yc2) * k2;

3)第3步：平移細直線連線，使其分割點B1、B2與相對的原始數據點P1、P2重合，得到中點連線平移圖(見圖4)。

圖4 中點連線平移圖

4)第4步：調整平移后細直線連線的端點與原始數據點的距離，通常縮減40%～80%，本文縮減50%，效果如圖5所示。

圖5 端點調整圖

C1(ctrl1_x, ctrl1_y)、C2(ctrl2_x, ctrl2_y)表示最后得到的控制點，smooth_value表示平滑值K，取值[0,1]。代碼表示為：

ctrl1_x = xm1 + (xc2 - xm1) * smooth_value + x1 - xm1;

ctrl1_y = ym1 + (yc2 - ym1) * smooth_value + y1 - ym1;

ctrl2_x = xm2 + (xc2 - xm2) * smooth_value + x2 - xm2;

ctrl2_y = ym2 + (yc2 - ym2) * smooth_value + y2 - ym2;

使用上述方法，在切片過程中得到m+1個閉合數據點Pi(i=0,1,…,m)。本文平滑值K取為0.5，在經過控制頂點計算之后得到2m+2個控制頂點Ci(i=0,1,…,2m+1)。

2.2 求解Bezier曲線并光滑路徑

經典的n次Bernstein基函數是由n+1個n次多項式函數構成的線性無關的函數組，用Bn,i(t)來表示其中的第i個，則

(3)

式中，i=0,1,…,n；t∈[0,1]。

每一個n次的Bernstein基函數都可以用2個相鄰的n+1次Bernstein基函數的線性組合來表示，即Bernstein基函數具有升階公式

(4)

式中，i=0,1,…n。

有了Bernstein基函數，并且給定了控制頂點以后，就可以用這兩者的線性組合來定義Bezier曲線。這里用Qi(i=0,1,…,n)來表示n次Bezier曲線的控制頂點，用pn(t)表示n次Bezier曲線，則

(5)

由式5可知，Bezier曲線由控制頂點和Bernstein基函數共同確定，又由于曲線中所采用的Bernstein基函數的次數取決于控制頂點的數量，而一旦次數確定，Bernstein基函數便固定下來，因此可以說，Bezier曲線的形狀是由控制頂點唯一確定的。

本文在平面描述中采用有序插入點策略，設定特定的步長決定曲線的疏密程度，從而表示一條在二維切面層的曲線。在Bezier曲線的每個分段上求解一定數目點的坐標，加入到路徑切點坐標中的相應位置中，然后順序連接切點生成路徑。

3 試驗與驗證

3.1 設備情況

課題組自主開發的微噴射3D打印設備如圖6所示。該設備主要由4部分組成，分別是鋪粉機構、粘結劑噴射機構、機械運動機構和控制系統[11-12]。控制系統又分為硬件系統和軟件系統兩部分。

圖6 3D打印設備

3.2 試驗所用材料

試驗打印的三維模型為一個齒輪，試驗采用FZR-10型號的純氧化鋯陶瓷粉末，粉末的粒度控制在1 μm左右。

3.3 結果分析

使用連續打印模式，采用0.1 mm的層間距，每層打印3次。打印成形的樣品如圖7所示。

圖7 齒輪樣品

總的來說，成形樣品的表面輪廓清晰，成形精度較高，能夠看出輪廓曲線整體的光滑。但由于粘結劑黏度的不足，相對應粘結區域黏度不夠造成部分脫落而導致極少數位置存在小缺口，而由于噴射裝置電動機存在起驟停，產生抖動造成極少量毛刺。

4 結語

本文針對微噴射3D打印中分層路徑粗糙問題，提出使用三次Bezier曲線優化路徑形成的方法，首先通過二維切面的有序切點求出Bezier曲線控制頂點，然后根據所求得控制頂點確定Bezier曲線的基函數從而求得確定的Bezier曲線。采用有序插入點策略，設定特定的步長決定曲線的疏密程度，在曲線所經切點之間求解一定數目的頂點，加入到路徑切點原始序列的相應位置，順序連接從而表示一條在二維切面層的Bezier曲線。該方法能夠使原本粗糙的切面路徑變得光滑。