含內阻的拉桿組合轉子雙穩態振動特性

王龍凱 王艾倫 金 淼 尹伊君

1.中南大學輕合金研究院，長沙，410083

2.中南大學高性能復雜制造國家重點實驗室，長沙，410083

0 引言

拉桿組合轉子結構在航空、電力、船舶等行業中得到了廣泛的應用，它的各級輪盤通過拉桿螺栓預緊后連接為一體，這種特殊結構形式的轉子不再是一個連續的整體[1]。這類型轉子的工作轉速較高，常在一階或二階臨界轉速之上運轉。高轉速運行工況以及組合轉子軸承系統的內在非線性，使轉子在某些工況或外界擾動下不再做定常運動，某些轉速區域可能會出現振幅忽大忽小的跳躍現象，即雙穩態振動現象。當轉子做非同步渦動時，輪盤的內阻參數會顯著影響轉子的振動響應[2]。因此，研究高速拉桿組合轉子非線性雙穩態振動特性并掌握內阻作用機理，對保障機組長期安全穩定運行具有非常重要的意義。

在高速轉子非線性動力學方面，國內外學者做了大量的研究工作。賓光富等[3]采用頻譜分析法研究了高速轉子的振動特性，VARNEY等[4]分析了轉靜碰摩轉子的分岔特性，NEMBHARD等[5]通過實驗揭示了多故障轉子軌跡的演變規律，KHANLO等[6]研究了碰摩轉子的橫向-扭轉耦合振動。在組合轉子動力學研究方面，WANG等[7]研究了裂紋拉桿轉子穩定性；HU等[8]將輪盤接觸層等效為抗彎彈簧，研究了拉桿轉子的碰摩特性；黑棣等[9]采用長軸承理論求解油膜力，研究了拉桿轉子非線性動力學行為；何謙等[10]、殷杰等[11]采用有限元法計算了接觸界面的法向剛度；于平超等[12]將軸承反力簡化為三次函數，研究了航空發動機轉子振動特性；李輝光等[13]考慮了拉桿附加剛度，采用floquet理論研究了拉桿轉子穩定性；程禮等[14]發現某型發動機在某擾動下會出現振動突跳現象，他將轉子簡化為典型的拉桿組合轉子結構，將軸承剛度設為定值，采用諧波平衡法研究了雙穩態振動特性。現有文獻主要關注碰摩、裂紋、接觸剛度對轉子振動特性的影響，關于轉子雙穩態振動特性方面的研究較少，且都沒有考慮內阻效應，因此，亟需研究并掌握內阻對組合轉子雙穩態振動特性的影響規律。

本文根據拉桿組合轉子結構和力學特點，構建含輪盤接觸、油膜以及內阻的組合轉子非線性動力學模型，采用時頻分析法研究拉桿組合轉子系統非線性雙穩態特性及內阻效應。

1 含內阻的組合轉子動力學建模

組合轉子按拉桿類型可以分為周向拉桿組合轉子和中心拉桿組合轉子。周向拉桿轉子輪盤間的結合面為平面，通過摩擦力來傳遞盤間載荷，而中心拉桿轉子通常采用端齒結構來傳遞盤間載荷。軸承特性和界面接觸非連續性使得組合轉子的振動特性非常復雜，在某些工況下會出現雙穩態振動、渦動振幅跳躍等現象。周向拉桿組合轉子制造難度和成本較低，應用更為廣泛，因此，本文以圖1所示輪盤間環形平面接觸的周向拉桿轉子為例，探究含內阻的拉桿組合轉子非線性動力學行為。圖1中，N1、N2、N3、N4分別為1號軸承、1號盤、2號盤和2號軸承的集中質量點；Fub1、Fub2分別為作用在1號盤和2號盤上的不平衡力；ks為轉軸剛度。

圖1 轉子結構示意圖

1.1 輪盤接觸剛度計算

輪盤通過均布拉桿壓緊為一整體，具有典型的非連續特性，如圖2所示，d為桿直徑，D為匹配孔直徑，且有d

圖2 拉桿轉子接觸界面

以OXZ平面為例，定義輪盤間X方向的相對位移為Δx，半徑差ε=(D-d)/2。拉桿與其匹配孔之間存在間隙，橫向振動中，當輪盤間的相對位移較小(|Δx|<ε)時，拉桿與匹配孔不發生接觸[8]，拉桿預緊力作用下的輪盤間接觸層的抗彎剛度為k1(可由微元體方法[13]求得)。當輪盤間的相對位移大于半徑差時，拉桿與其匹配孔發生接觸，系統將產生拉桿附加抗彎剛度k2。用三次冪函數y=k′1(Δx)3擬合非線性恢復力

可得圖3所示的附加非線性恢復力曲線，其中，k′1為非線性剛度。

1.分段線性恢復力 2.三次冪函數模型

綜上，結合線性剛度k1和非線性恢復力Fcx，可推導出輪盤接觸層之間的非線性恢復力：

(1)

由式(1)可知，輪盤間接觸只有達到一定條件時才表現出明顯的非線性特性，而此條件取決于轉子-軸承系統整體的動力學特性。

1.2 內阻力

拉桿轉子結構復雜，且兩端采用滑動軸承支撐，這使得組合轉子渦動形式復雜且具有多樣性。在非同步振動情況下，內阻勢必會對轉子非線性動力學特性產生顯著影響，因此，在研究組合轉子非線性動力學行為時，需考慮輪盤內阻效應。材料的內阻尼力與輪盤相對于旋轉軸的速度成正比，內阻力在旋轉坐標系(轉動角速度為ω)下可表示為

(2)

式中，ci為輪盤材料內阻尼，下標i表示內阻。

使用坐標變換公式[2]可推導出內阻力在固定坐標系下的表達式：

(3)

1.3 轉子系統運動方程

(4)

式中，Fcx1、Fcy1分別為作用在1號盤上的非線性恢復力在X方向和Y方向的分量；Fcx2、Fcy2分別為作用在2號盤上的非線性恢復力在X方向和Y方向的分量；m1、m2、m3、m4分別為1號軸承、1號盤、2號盤和2號軸承的等效集中質量；c1、c2、c3分別為軸承自阻尼系數、輪盤外阻尼系數和接觸界面阻尼系數；e1、e2分別為1號盤和2號盤的質量偏心距；φ1、φ2分別為1號盤和2號盤的偏心相位角；s為Sommerfeld數，s=ηωRL3/(4c2)；η為潤滑油黏度；R為軸承半徑；L為軸承長度；g為重力加速度；c為軸承間隙；Fx、Fy分別為X和Y方向的軸承量綱一非線性油膜力。

該拉桿轉子采用滑動軸承支撐，假定潤滑油為等溫、不可壓縮的層流，由于長徑比L/D<0.25，故本文采用基于短軸承假設的Capone油膜力模型[15]，其量綱一非線性油膜力可表示為

(5)

2 動力學模型

對轉子各組件進行模化處理后[2]，為進行臨界轉速分析，將運動方程中的阻尼力、質量偏心引起的不平衡力和附加非線性恢復力假定為0；采用直接剛度系數計算線性軸承力，并求解運動方程的特征值，得到轉子的前二階臨界轉速分別為318 rad/s和1256 rad/s。為驗證模型計算的正確性，根據轉子結構參數(表1)，采用基于有限元分析的Dyrobes軟件構建組合轉子動力學模型。建模過程中，將連接軸段1-2和3-4模化為無質量彈性軸段；各節點處質量采用剛性輪盤模化；輪盤連接段2-3采用虛擬軸段進行處理。Dyrobes的計算結果與本文所得結果如表2所示，兩者的誤差較小。

3 數值仿真與算例分析

采用4階Runge-Kutta法[2]對式(4)數值求解，采用分岔圖、李雅普諾夫分析、時頻分析以及龐加萊截面法研究系統非線性動力學行為。

表1 結構參數

表2 計算結果對比

3.1 無內阻組合轉子的雙穩態升降速特性

(a)升速

(a)升速

(a)時域

首先不考慮輪盤內阻力，取表1中的結構參數對拉桿轉子進行時域升降速(轉速為100～2500 rad/s)響應特性分析，得到該拉桿轉子1號軸承水平方向的量綱一位移-轉速分岔圖(圖4)和李雅普諾夫指數圖(圖5)，可知系統在升降速過程中的非線性動力學特性(分岔點、分岔類型和Lyapunov穩定性)存在明顯差別，即降速過程中的轉子響應在高轉速區域的分岔特性比升速過程的更復雜。由圖4a可知：①當轉速小于606.5 rad/s時，拉桿轉子系統保持穩定的周期1運動(P-1)，這是由于系統在低轉速區主要受不平衡力影響，僅存在轉頻成分；圖5a中對應的Lyapunov指數均小于0，表明系統運動狀態是Lyapunov穩定的，但該轉速區間內的Lyapunov指數隨轉速的升高而變大。②轉速ω≈606.5 rad/s時，升速過程中系統第一次出現倍周期分岔現象，系統運動模式由周期1進入周期2，Lyapunov指數約為0(A1點)，驗證了該轉速點為倍周期分岔點。由圖6可知轉速為607 rad/s時，系統表現為周期2運動(P-2)，此時，振動頻率的基頻和0.5倍頻共同主導轉子振動。③系統在ω≈678.9 rad/s時經過倍周期倒分岔返回到穩定的P-1，該轉速處的Lyapunov指數約為0(A2點)，圖7表明升速過程中，系統在1149 rad/s做周期1運動。值得關注的是，ω>678.9 rad/s時，Lyapunov指數稍小于0，表明該轉速區間內的系統可能存在雙穩態解。綜上，升速情況下，轉速從100 rad/s升高到2500 rad/s時，系統響應依次發生如下演化過程：P-1→P-2→P-1。為便于對比分析升降速非線性振動，在分析降速情況時，將降速仍然視為隨轉速增加的運動過程。

(a)時域

對比分析降速和升速結果可知：在所關注的轉速區間內，系統非線性振動特征存在明顯區別，降速過程中的系統運動狀態復雜且變化豐富：①ω<1101 rad/s時，降速過程中的系統運動狀態、分岔特性及其變化過程與升速過程一致。②ω≥1101 rad/s時，升速過程中的系統保持穩定的P-1；在降速過程中，1101 rad/s≤ω≤1234 rad/s時，系統運動為周期3運動(P-3)；1234 rad/s<ω≤1258 rad/s時，系統為擬周期運動，圖5b中接近0的Lyapunov指數驗證此轉速范圍內的系統處于擬周期運動狀態；1258 rad/s<ω≤1306 rad/s時，系統運動為P-3；ω> 1306 rad/s時，系統保持穩定的擬周期運動。圖5b中的B1、B2、B3、B4、B5為分岔點，相應的Lyapunov指數約為0。分別對比圖6、圖7中兩種不同轉速下的升降速響應特性可知，ω=607 rad/s時，升降速振動特性一致；ω=1149 rad/s時，升降速非線性振動特性存在明顯差異性，升速過程中，系統響應在該轉速處呈P-1運動，降速情況下為P-3運動，對應的頻譜(圖7c)中，0.3338倍頻和基頻處存在明顯的譜峰，次同步振動幅值已經超過了同步振動幅值。

綜合對比分析圖4～圖7可知，該拉桿轉子系統在ω>1101 rad/s時出現雙穩態振動，且存在2種不同的雙穩態運動模式。1101 rad/s≤ω≤1234 rad/s、1258 rad/s<ω≤1306 rad/s時，系統響應在升速過程為周期1運動，在降速過程為周期3運動；1234 rad/s<ω≤1258 rad/s、ω>1306 rad/s時，系統響應在升速過程為周期1運動，在降速過程為擬周期運動。高轉速下，盤式拉桿轉子結構非連續及油膜力引入的非線性是導致雙穩態振動特征的主要原因。

(a)升速

(a)升速

為進一步分析盤式組合轉子系統出現的雙穩態非線性振動，進行升降速下的轉子振動頻譜和響應分析。圖8為轉子系統升降速的非線性振動3D瀑布圖，ω<1101 rad/s時，升降速的振動頻率成分相同；1101 rad/s≤ω≤ 2500 rad/s時，升速工況的每個轉速僅存在基頻振動分量，而降速工況下的轉速1101 rad/s處出現明顯的頻譜“跳躍”現象，頻譜中除了含有轉頻成分外，還有一個明顯小于 1/2 倍轉頻的次同步振動成分fn2且其幅值大于轉頻幅值，即油膜振蕩主導轉子振動。圖9描述了升降速過程中系統響應的變化過程，亦可直觀判斷系統在1101 rad/s后出現雙穩態振動。圖10所示為升降速過程中轉子系統1號軸承水平方向振動的單峰值(single peak value，SPV)以及最大振動位移-轉速曲線，系統在606.5 rad/s ≤ω≤666.8 rad/s時發生半頻渦動失穩即P-2運動；降速過程中，系統在1101 rad/s時發生振蕩失穩和“非線性跳躍”，而升速過程中則不存在該非線性現象；系統在轉速區間[1101 rad/s，2500 rad/s]存在雙穩態振幅，再一次驗證該盤式拉桿轉子系統在特定轉速區間出現“雙穩態”振動現象。對于實際的機型而言，在動力學設計時須避免在工作轉速范圍內出現雙穩態振動現象。

(a)振動單峰值

(a)升速

3.2 含內阻的組合轉子雙穩態升降速特性

拉桿轉子是高速、高負荷機型的核心部件，在全壽命周期內工況復雜多變，內阻可提高轉子渦動的復雜程度。為了研究內阻效應，在動力學模型中考慮內阻力，得到該組合轉子1號軸承處振動響應分岔圖(圖11)。

對比分析升/降速計算結果可知，轉子在升降速過程中的振動特性不一致，其分岔類型、分岔點和運動穩定性存在明顯差異：①轉速ω<896 rad/s或ω≥1427 rad/s時，升降速過程中的系統響應一致，呈現P-1運動或擬周期運動，此轉速區間內未出現振動失穩現象；②896 rad/s≤ω<1427 rad/s時，出現2.2節所述的非線性“雙穩態”振動，與無內阻工況顯著不同的是內阻效應下存在4種不同的雙穩態運動模式，其中，896 rad/s≤ω<908 rad/s、920 rad/s<ω≤1017 rad/s時，雙穩態運動模式為P-1(升速)與P-5(降速)，908 rad/s≤ω≤920 rad/s為P-1(升速)與P-10(降速)，1017 rad/s<ω≤1137 rad/s、1161 rad/s<ω<1427 rad/s為P-1(升速)與擬周期運動(降速)，1037 rad/s<ω≤1161 rad/s為P-1(升速)與P-7(降速)；③系統響應依次發生如下分岔：升速過程為P-1→擬周期運動，降速過程為P-1→P-5→P-10→P-5→擬周期運動→P-7→擬周期運動；④發生首次分岔失穩的轉速為1427 rad/s(升速)和896 rad/s(降速)。造成此種差異性的主要原因是盤式組合轉子存在非線性因子且具有遲滯慣性效應，在出現雙穩態振動的轉速區域，轉子運動模式會處于何種狀態主要由系統的初始條件決定，了解該轉速區間振動特征對日趨高速化轉子的動力學設計至關重要。

(a)升速

(a)時域

為驗證上述非線性動力學響應特征，計算升降速過程中的Lyapunov指數(圖12)。Lyapunov指數曲線圖顯示的周期運動與擬周期運動的變化趨勢與圖13中對應的分岔圖相符，系統在較高轉速時均處于擬周期運動狀態，相應的Lyapunov指數接近于零。圖13～圖15所示為典型轉速(896 rad/s、1149 rad/s和1330 rad/s)下的時域、軌跡、龐加萊截面和頻譜，可直觀判定系統在降速過程中的運動狀態分別為P-5、P-7和擬周期運動，此時，次同步振動分量主導轉子運動。

(a)時域

(a)時域

圖16所示為升降速過程中含內阻組合轉子系統1號軸承處的振動響應單峰值以及最大振動位移-轉速曲線。系統在升降速過程中均發生振動響應“非線性跳躍”；在較高或較低轉速區間內，升降速過程中轉子系統的振動響應一致；系統在轉速區間 [896 rad/s，1427 rad/s)存在雙穩態振幅，表明該盤式拉桿轉子系統在內阻作用下仍在特定轉速區間出現“雙穩態”振動。為避免轉子在受到外界擾動后發生雙穩態振動故障，工作轉速和出現雙穩態振動的起始轉速之間應有足夠的裕度。

(a)振動單峰值

通過頻域響應分析得到轉子1號軸承處非線性振動3D瀑布圖(圖17)。除了轉速區間P1(896 rad/s≤ω<1427 rad/s)外，系統升降速過程中的振動頻率成分相同；P1的轉速區間內，升速過程中的振動響應僅含有轉頻成分，降速過程中的振動成分復雜，包括轉頻fr、次諧波頻率fn1、fn2、fn3(fn3=fn1+fn2)、fn4(fn4=2fn1+fn2)成分、少量的2倍頻成分，其中，次諧波fn3的振幅最大。大振幅油膜振蕩使得轉子振動劇烈，導致振動響應發生“跳躍”現象。

(a)升速

3.3 對比分析與討論

為揭示內阻對組合轉子非線性動力學特性的影響規律，對比分析3.1節、3.2節的數據并提取關鍵非線性動力學特征參數，如表3所示，表中的半頻渦動失穩視為第一次失穩，振蕩失穩視為第二次失穩。

表3 非線性動力學特征參數

對比分析有無內阻情形下組合轉子動力學特征參數可得如下結論：①轉子系統在內阻作用下，升降速過程中均不再出現第一次失穩(失穩轉速為606.5 rad/s)，但升速過程中出現第二次失穩；②內阻使第二次失穩的起始轉速明顯向低轉速方向移動，降速過程中的第二次失穩轉速從1107 rad/s降至896 rad/s，升速過程中的第二次失穩轉速從無到有，為1427 rad/s；③內阻使運動序列發生明顯變化，但系統運動模式最終均進入擬周期；④內阻使升速過程中出現非線性振動響應、頻譜“跳躍”；⑤內阻使出現非線性“雙穩態”振動現象的轉速區間長度縮小。

圖18所示為升降速過程中1號軸承振動響應均方根值-轉速曲線，將圖中曲線與圖4、圖11相應的分岔曲線對比可知：內阻不改變渦動頻率為轉頻的同步振動響應幅值，即系統的運動為純同步振動時，有無內阻不影響其振動響應，這與文獻[16]采用Jeffcott轉子研究線性化轉子軸承系統內阻效應所得振動規律相符，說明本文的研究方法正確，相應的研究結論可為轉子設計提供參考。然而，內阻顯著影響轉子系統的非線性渦動，使降速過程中的非線性跳躍提前出現。此外，文中的雙穩態響應與文獻[14]采用相似轉子所得加減速測試結果具有非常相似的特征。

圖18 1號軸承振動響應曲線

圖19 組合轉子測試臺

圖20 升降速過程中轉子振動位移曲線

圖21 振動信號頻譜圖

為定性說明所得結論是有效的，本文開展周向拉桿組合轉子升降速實驗。如圖19所示，試驗轉子由直流電機驅動，兩端軸承均為滑動軸承。采用電渦流位移傳感器采集振動信號，振動位移曲線如圖20所示，由圖可知，轉子在第一階臨界轉速1950 r/min附近存在明顯的峰值。升降速過程中，振動隨轉速的變化趨勢基本一致，除了在第一階臨界轉速附近略有波動，這主要是由于在共振區域激起了固有頻率模態，導致振動波動大。為進行組合轉子頻譜分析，對穩態響應進行快速傅里葉分析。圖21中的轉頻及其倍頻占主導，未發現分頻振動分量。存在倍頻成分的主要原因是轉子與電機之間的聯軸器、兩端軸承之間均存在一定的不對中與角不平衡，以及轉子存在初始軸彎曲。以上分析均表明實驗轉子在所測轉速區間內未出現振動雙穩態現象，這與本文所研究轉子在一定轉速下不存在的結論一致，定性說明本文所得結論具有合理性。

4 結論

(1)建立的拉桿組合轉子非線性動力學模型考慮了輪盤非線性接觸、非線性油膜力、內阻效應，可用于分析含內阻的組合轉子非線性動力學響應。

(2)組合轉子有無內阻時，升降速過程中均出現明顯的非線性“雙穩態”振動特征，但內阻使非線性“雙穩態”動力學轉速區間明顯向低轉速方向移動。為有效預測出現雙穩態振動的轉速區間，在動力學分析時須考慮內阻效應，以確保轉子在不同工況下均平穩安全的運轉。

(3)內阻可抑制轉子在低速工況下的失穩，但使轉子在高轉速下發生的振蕩失穩提前出現，即高低轉速存在不同的內阻效應，內阻使第二次失穩的轉速點明顯前移。

(4)內阻使轉子系統運動序列發生明顯變化，但最終在高轉速下可進入擬周期運動；內阻在一定條件下可使升速過程中出現非線性振動響應、頻譜等跳躍，并使非線性跳躍現象提前。

(5)內阻不改變以基頻為主的純強迫振動(同步振動)，即有無內阻不影響其振動響應；在分析轉子低速工況下的振動特性時可忽略內阻的影響；高轉速非線性動力學系統的渦動復雜，須考慮內阻效應，以有效預測轉子雙穩態振動特性，保障轉子平穩安全運行。