基于不確定度的飛機(jī)運(yùn)動(dòng)模型對(duì)比分析*

（中國(guó)民航大學(xué)電子信息與自動(dòng)化學(xué)院 天津 300300）

1 引言

通常，在國(guó)內(nèi)的眾多模型對(duì)比研究中，對(duì)飛機(jī)運(yùn)動(dòng)模型性能的判斷大多是基于航跡誤差進(jìn)行對(duì)比分析。有的僅僅是將一次仿真得到的航跡點(diǎn)數(shù)值與測(cè)量得到的航跡點(diǎn)數(shù)值相減得到航跡點(diǎn)誤差進(jìn)行分析；有的考慮到了一次仿真的偶然性，進(jìn)行了多次仿真得到多個(gè)航跡點(diǎn)誤差，然后再通過(guò)取平均值的方法得到兩個(gè)不同模型航跡點(diǎn)誤差，從而進(jìn)行兩個(gè)模型的對(duì)比［1］。這種方法雖然大大地降低了仿真的偶然性，但是卻忽略了每次仿真得到的航跡點(diǎn)誤差都是有意義的這一事實(shí)，每一個(gè)航跡點(diǎn)的誤差都不能簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單地通過(guò)取平均值的方式所替代。同時(shí)，這樣的方法也是將連續(xù)的航跡離散化，得到的只是航跡誤差數(shù)值的離散分布，并不能反映出航跡的全局分布狀態(tài)。所以，在這里，引入測(cè)量學(xué)中的不確定度的思想，對(duì)航跡誤差進(jìn)行更全面的探討，并通過(guò)一種更直觀的方式對(duì)航跡模型的性能進(jìn)行分析。

2 不確定度及其在航跡誤差中應(yīng)用

2.1 不確定度的概念

不確定度這個(gè)詞的意思是不能肯定或有懷疑的程度。在測(cè)量學(xué)中，測(cè)量不確定度與測(cè)量結(jié)果相關(guān)聯(lián)，用以表征合理賦予被測(cè)量的數(shù)值分散性的參數(shù)［2～3］。其中，誤差表示測(cè)量結(jié)果量值相對(duì)于參考量值的偏離值，而測(cè)量不確定度是基于誤差理論提出和發(fā)展的，同時(shí)也豐富了誤差理論［4］。實(shí)際情況中，由于天氣，導(dǎo)航精度和模型的不完善，所得到的航跡預(yù)測(cè)值并不代表飛機(jī)的真實(shí)位置，而應(yīng)該是以一定的概率分散在某個(gè)區(qū)域，在本文中，稱(chēng)為航跡不確定度［5～6］。將不確定度的思想引入飛機(jī)運(yùn)動(dòng)模型評(píng)估中，可以對(duì)模型的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性進(jìn)行分析，從而比較模型預(yù)測(cè)質(zhì)量的好壞。

2.2 航跡不確定度計(jì)算

首先計(jì)算一條航跡的誤差不確定度。如圖1所示，表示的是一條飛機(jī)預(yù)測(cè)航跡與真實(shí)航跡的關(guān)系圖。從圖中我們可以看出，由于受到天氣，導(dǎo)航精度，預(yù)測(cè)模型等影響，使得飛機(jī)真實(shí)航跡與預(yù)測(cè)航跡有所出入。

圖1 飛機(jī)預(yù)測(cè)航跡與真實(shí)航跡

在圖1中，實(shí)線表示根據(jù)預(yù)測(cè)模型所得到的飛機(jī)預(yù)測(cè)航跡，虛線表示飛機(jī)真實(shí)航跡。圖上的圓點(diǎn)表示飛機(jī)在第k個(gè)時(shí)刻的航跡點(diǎn)。用(λk，φk)表示第k時(shí)刻飛機(jī)真實(shí)的航跡點(diǎn)，用表示第 k時(shí)刻飛機(jī)預(yù)測(cè)的航跡點(diǎn)。我們知道，航跡誤差的分散程度代表了這條航跡的穩(wěn)定性能，也就是代表了航跡的不確定度。則根據(jù)不確定度原理中的貝塞爾公式［7］，可得到一條預(yù)測(cè)航跡誤差的不確定度，公式如式（1）所示，得到了在緯度方向和經(jīng)度方向上的航跡不確定度：

式（1）中，N表示航跡點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，uλ1，uφ1分別表示第一條預(yù)測(cè)航跡的緯度方向不確定度和經(jīng)度方向的不確定度。

則可得到第一條預(yù)測(cè)航跡的不確定度u1，有

用e1表示第一條預(yù)測(cè)航跡的航跡誤差平均值，有：

我們知道，用運(yùn)動(dòng)模型對(duì)飛機(jī)航跡進(jìn)行預(yù)測(cè)，僅簡(jiǎn)單的進(jìn)行一次仿真是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，仿真結(jié)果存在著一定的偶然性，所以應(yīng)該對(duì)航跡進(jìn)行多次預(yù)測(cè)仿真。

參照一條航跡不確定度的計(jì)算公式，則可得到仿真預(yù)測(cè)M次后，所得到的M條航跡的不確定度和航跡誤差均值，分別用u1，u2，…，uM和e1，e2，…，eM表示。

如圖2所示，表示的仿真M次后得到的M條預(yù)測(cè)航跡。圖中右邊部分標(biāo)示著每一條預(yù)測(cè)航跡的航跡誤差均值和航跡不確定度。

圖2 仿真M次的預(yù)測(cè)航跡示意圖

如果要想得到仿真多次后的航跡不確定度就應(yīng)該要考慮到每一條航跡的不確定度。

現(xiàn)用u表示經(jīng)過(guò)M次仿真后得到的預(yù)測(cè)航跡的不確定度，有：

式（5）即為航跡不確定度的公式。

2.3 仿真驗(yàn)證

根據(jù)理論推導(dǎo)可知，當(dāng)所得到的航跡預(yù)測(cè)誤差較大時(shí)，說(shuō)明真實(shí)航跡與預(yù)測(cè)航跡之間相差較大，則所得到的航跡不確定度也較大。

現(xiàn)設(shè)置兩組誤差大小各不相同的航跡數(shù)據(jù)用來(lái)驗(yàn)證不確定度模型的正確性。將誤差較小的一組稱(chēng)為航跡1，誤差較大的一組稱(chēng)為航跡2。然后分別用傳統(tǒng)誤差分析方式和基于不確定度的誤差分析方式進(jìn)行比對(duì)，所得到的仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同航跡誤差對(duì)比方式

如圖3所示，表示的是兩種不同的航跡誤差對(duì)比方式的仿真圖。其中，圖3（a）表示的是傳統(tǒng)的誤差對(duì)比方式，通過(guò)計(jì)算多次仿真得到的航跡誤差均值；圖3（b）表示的是根據(jù)本文所推導(dǎo)出的航跡不確定度公式所得到的航跡誤差對(duì)比圖。

從兩張圖中都可以清楚地看出航跡1的誤差是小于航跡2的誤差的，這也符合最開(kāi)始的仿真假設(shè)：航跡1的誤差小于航跡2的誤差。這個(gè)仿真結(jié)果說(shuō)明了不確定度模型的正確性，且能夠清楚地反映出航跡誤差的大小比對(duì)情況。此外，通過(guò)對(duì)比兩張圖，可以看出，圖3（b）所展示的不確定度對(duì)比圖，與傳統(tǒng)誤差對(duì)比圖相比要更加直觀一些，同時(shí)也彌補(bǔ)了傳統(tǒng)誤差對(duì)比方式中“一刀切”的問(wèn)題（不考慮不確定度，直接取誤差均值）。

3 運(yùn)動(dòng)模型對(duì)比研究

3.1 運(yùn)動(dòng)模型1

運(yùn)動(dòng)模型1是由美國(guó)聯(lián)邦航空管理局（FAA）所推薦的航跡預(yù)測(cè)模型［8］。該模型主要是基于飛機(jī)動(dòng)力學(xué)相關(guān)知識(shí)［9～11］和對(duì)地球經(jīng)緯度的研究所構(gòu)建的，推導(dǎo)過(guò)程如下。

如圖4，設(shè)飛機(jī)在飛行的△t時(shí)間內(nèi)緯度變化角度為△λ。

圖4 緯度角度變化

根據(jù)圖4所示的角和邊之間的關(guān)系，可以得到：

式（6）中R表示地球半徑，H表示飛行高度，GSTN表示飛機(jī)在正北方向的速度分量。

同時(shí)，由圖4也可以清楚地看出，當(dāng)飛行時(shí)間△t趨近于0時(shí)，那么在該段時(shí)間內(nèi)緯度的變化角度△λ也趨近于0。由高等數(shù)學(xué)的極限運(yùn)算公式：當(dāng)x→0時(shí)，sinx/x=1，可得：

對(duì)式（7）兩邊同時(shí)求導(dǎo)，可得到單位時(shí)間內(nèi)緯度的變化率λ˙為

接下來(lái)，計(jì)算飛機(jī)在正北方向上的速度分量GSTN，如圖5所示，為飛機(jī)在飛行中各個(gè)角度的關(guān)系圖示。

圖5 飛行角度關(guān)系

根據(jù)圖5可以得：

式（9）中，γ，ψ分別表示飛機(jī)飛行路徑角和航向角；VTAS表示飛機(jī)真空速。

聯(lián)立式（8）和式（9），并考慮到風(fēng)對(duì)飛機(jī)速度的干擾等因素，可以得到單位時(shí)間緯度的變化率的表達(dá)式：

同理可得經(jīng)度變化率，有

3.2 運(yùn)動(dòng)模型2

運(yùn)動(dòng)模型2指代的是SIMPLE模型［12］，該模型是由McGovern所提出的，主要運(yùn)用的是微元法的思想，同樣也是基于飛機(jī)動(dòng)力學(xué)相關(guān)知識(shí)。

如式（12）所示，首先根據(jù)航向角將飛機(jī)速度分為正北方向速度和正東方向的速度，有

式中，V表示飛機(jī)相對(duì)于地面的速度，有V=VTAScosγ；VN，VE分別表示速度在正北方向和正東方向上的分量；ψ表示航向角。

然后，將航線看成是由許多小步長(zhǎng)（設(shè)時(shí)間步長(zhǎng)為dt）組成，每一步以恒定的直線距離近似曲線恒定的航向距離，分為正北方向和正東方向，有

式（13）中，dN，dE分別表示在正北方向和正東方向上的步長(zhǎng)分量。

將這兩個(gè)方向上的分量分別除以地球的平均半徑R，就得到了飛機(jī)的緯度方向和經(jīng)度方向上的變化率，有

聯(lián)立式（12）、（13）、（14），并考慮到風(fēng)，天氣等因素的干擾，則可以得到飛機(jī)經(jīng)緯度的變化率，有

其中，經(jīng)度、緯度與距離的換算公式為

3.3 兩種運(yùn)動(dòng)模型對(duì)比分析

在第2節(jié)中，我們推導(dǎo)了航跡不確定度的模型，并通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了該模型的正確性，同時(shí)通過(guò)與傳統(tǒng)誤差模型比較，也得出該模型的優(yōu)越性。

接下來(lái)將一組抓取自flightradar24真實(shí)數(shù)據(jù)分別代入運(yùn)動(dòng)模型1和運(yùn)動(dòng)模型2，設(shè)置仿真次數(shù)M=5000次，并運(yùn)用不確定度模型來(lái)比較，從而對(duì)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)模型的性能好壞進(jìn)行評(píng)估。

如圖6所示，是用兩種不同的誤差對(duì)比方式，對(duì)模型1和模型2的性能進(jìn)行評(píng)估的對(duì)比結(jié)果圖。其中圖6（a）是通過(guò)取多次仿真的誤差均值得到的預(yù)測(cè)誤差分布圖。從圖中我們可以看出兩種運(yùn)動(dòng)模型在中間都有突然凸起的誤差數(shù)值，這是因?yàn)槲覀兯褂玫臄?shù)據(jù)是真實(shí)的ADS-B數(shù)據(jù)，在數(shù)據(jù)采集過(guò)程中可能存在數(shù)據(jù)間隔較大，數(shù)據(jù)出現(xiàn)錯(cuò)誤的情況，造成了下一時(shí)刻的預(yù)測(cè)航跡出現(xiàn)了一些失誤，從而造成預(yù)測(cè)誤差較大的波動(dòng)。同時(shí)，觀察圖6（a）中兩組模型誤差對(duì)比圖，僅僅只能看出來(lái)兩組預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)誤差的差別不大，具體哪個(gè)模型的性能較好，并不是特別直觀。

圖6 兩種誤差對(duì)比方式比較

接下來(lái)，我們觀察圖6（b），該圖是根據(jù)所推導(dǎo)的不確定度的公式對(duì)兩個(gè)運(yùn)動(dòng)模型性能評(píng)估的比較圖。圖中右上角的數(shù)字表示兩個(gè)模型的不確定度，兩條曲線分別表示模型1和模型2的誤差分布曲線。從圖中可以清楚地看出兩個(gè)模型的預(yù)測(cè)誤差均在500m左右，同時(shí)模型1的不確定度的曲線分布要比模型2的曲線分布更為尖銳，分布曲線越尖銳的圖形表示誤差分布的分散程度越小，誤差分散程度較小從另一方面也說(shuō)明了模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性。那么在對(duì)航跡預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行評(píng)估時(shí)，分散程度越小的數(shù)據(jù)越具有可靠性，這一點(diǎn)，對(duì)于在航跡沖突檢測(cè)應(yīng)用中有著重要的意義。

最后，通過(guò)分析可以得到兩個(gè)運(yùn)動(dòng)模型的對(duì)比結(jié)果：模型1的預(yù)測(cè)航跡效果要優(yōu)于模型2。

其實(shí)，根據(jù)3.1節(jié)和3.2節(jié)兩種運(yùn)動(dòng)模型的推導(dǎo)公式中也可以看出，模型1不僅考慮到了相對(duì)于地球表面飛機(jī)飛行的高度H影響，同時(shí)也考慮到了飛機(jī)緯度對(duì)經(jīng)度變化率的影響作用。所以模型1要比模型2思考問(wèn)題更為全面，故而在理論上也可以推導(dǎo)得出模型1的預(yù)測(cè)性能要高于模型2的預(yù)測(cè)性能。理論推導(dǎo)的結(jié)果與仿真實(shí)驗(yàn)所得結(jié)果相同，從另一個(gè)方面也說(shuō)明了不確定度模型的正確性。

本節(jié)通過(guò)兩種不同的方式對(duì)航跡誤差進(jìn)行比較，可以清楚地看出，基于不確定度的誤差對(duì)比方式不僅比傳統(tǒng)的誤差對(duì)比方式更加直觀，同時(shí)也考慮到了航跡誤差的不確定度因素，并不是簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單地使用量值表示誤差，這樣的方式比傳統(tǒng)的誤差對(duì)比方式更加具有科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性。

4 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)借鑒測(cè)量不確定度的思想，將不確定度原理應(yīng)用到航跡運(yùn)動(dòng)模型對(duì)比分析中。將經(jīng)過(guò)多次仿真得到的每一條預(yù)測(cè)航跡都看作一個(gè)整體，最終整合計(jì)算建立了航跡不確定度模型，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)誤差分析中忽略其存在不確定度的問(wèn)題，并且通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了模型的正確性。隨后，通過(guò)將真實(shí)航跡數(shù)據(jù)代入兩種不同的運(yùn)動(dòng)模型中，并運(yùn)用傳統(tǒng)誤差分析方式和基于不確定度的誤差分析方式對(duì)兩個(gè)模型進(jìn)行了對(duì)比分析，結(jié)果表明：

1）運(yùn)動(dòng)模型1的預(yù)測(cè)性能要優(yōu)于運(yùn)動(dòng)模型2。

2）基于不確定度的誤差對(duì)比分析方式考慮問(wèn)題更全面，且能夠更加直觀、科學(xué)地對(duì)模型性能進(jìn)行評(píng)估。