基于不確定度的飛機運動模型對比分析*

（中國民航大學電子信息與自動化學院 天津 300300）

1 引言

通常，在國內的眾多模型對比研究中，對飛機運動模型性能的判斷大多是基于航跡誤差進行對比分析。有的僅僅是將一次仿真得到的航跡點數值與測量得到的航跡點數值相減得到航跡點誤差進行分析；有的考慮到了一次仿真的偶然性，進行了多次仿真得到多個航跡點誤差，然后再通過取平均值的方法得到兩個不同模型航跡點誤差，從而進行兩個模型的對比［1］。這種方法雖然大大地降低了仿真的偶然性，但是卻忽略了每次仿真得到的航跡點誤差都是有意義的這一事實，每一個航跡點的誤差都不能簡簡單單地通過取平均值的方式所替代。同時，這樣的方法也是將連續的航跡離散化，得到的只是航跡誤差數值的離散分布，并不能反映出航跡的全局分布狀態。所以，在這里，引入測量學中的不確定度的思想，對航跡誤差進行更全面的探討，并通過一種更直觀的方式對航跡模型的性能進行分析。

2 不確定度及其在航跡誤差中應用

2.1 不確定度的概念

不確定度這個詞的意思是不能肯定或有懷疑的程度。在測量學中，測量不確定度與測量結果相關聯，用以表征合理賦予被測量的數值分散性的參數［2～3］。其中，誤差表示測量結果量值相對于參考量值的偏離值，而測量不確定度是基于誤差理論提出和發展的，同時也豐富了誤差理論［4］。實際情況中，由于天氣，導航精度和模型的不完善，所得到的航跡預測值并不代表飛機的真實位置，而應該是以一定的概率分散在某個區域，在本文中，稱為航跡不確定度［5～6］。將不確定度的思想引入飛機運動模型評估中，可以對模型的準確性和穩定性進行分析，從而比較模型預測質量的好壞。

2.2 航跡不確定度計算

首先計算一條航跡的誤差不確定度。如圖1所示，表示的是一條飛機預測航跡與真實航跡的關系圖。從圖中我們可以看出，由于受到天氣，導航精度，預測模型等影響，使得飛機真實航跡與預測航跡有所出入。

圖1 飛機預測航跡與真實航跡

在圖1中，實線表示根據預測模型所得到的飛機預測航跡，虛線表示飛機真實航跡。圖上的圓點表示飛機在第k個時刻的航跡點。用(λk，φk)表示第k時刻飛機真實的航跡點，用表示第 k時刻飛機預測的航跡點。我們知道，航跡誤差的分散程度代表了這條航跡的穩定性能，也就是代表了航跡的不確定度。則根據不確定度原理中的貝塞爾公式［7］，可得到一條預測航跡誤差的不確定度，公式如式（1）所示，得到了在緯度方向和經度方向上的航跡不確定度：

式（1）中，N表示航跡點的總個數，uλ1，uφ1分別表示第一條預測航跡的緯度方向不確定度和經度方向的不確定度。

則可得到第一條預測航跡的不確定度u1，有

用e1表示第一條預測航跡的航跡誤差平均值，有：

我們知道，用運動模型對飛機航跡進行預測，僅簡單的進行一次仿真是遠遠不夠的，仿真結果存在著一定的偶然性，所以應該對航跡進行多次預測仿真。

參照一條航跡不確定度的計算公式，則可得到仿真預測M次后，所得到的M條航跡的不確定度和航跡誤差均值，分別用u1，u2，…，uM和e1，e2，…，eM表示。

如圖2所示，表示的仿真M次后得到的M條預測航跡。圖中右邊部分標示著每一條預測航跡的航跡誤差均值和航跡不確定度。

圖2 仿真M次的預測航跡示意圖

如果要想得到仿真多次后的航跡不確定度就應該要考慮到每一條航跡的不確定度。

現用u表示經過M次仿真后得到的預測航跡的不確定度，有：

式（5）即為航跡不確定度的公式。

2.3 仿真驗證

根據理論推導可知，當所得到的航跡預測誤差較大時，說明真實航跡與預測航跡之間相差較大，則所得到的航跡不確定度也較大。

現設置兩組誤差大小各不相同的航跡數據用來驗證不確定度模型的正確性。將誤差較小的一組稱為航跡1，誤差較大的一組稱為航跡2。然后分別用傳統誤差分析方式和基于不確定度的誤差分析方式進行比對，所得到的仿真結果如圖3所示。

圖3 不同航跡誤差對比方式

如圖3所示，表示的是兩種不同的航跡誤差對比方式的仿真圖。其中，圖3（a）表示的是傳統的誤差對比方式，通過計算多次仿真得到的航跡誤差均值；圖3（b）表示的是根據本文所推導出的航跡不確定度公式所得到的航跡誤差對比圖。

從兩張圖中都可以清楚地看出航跡1的誤差是小于航跡2的誤差的，這也符合最開始的仿真假設：航跡1的誤差小于航跡2的誤差。這個仿真結果說明了不確定度模型的正確性，且能夠清楚地反映出航跡誤差的大小比對情況。此外，通過對比兩張圖，可以看出，圖3（b）所展示的不確定度對比圖，與傳統誤差對比圖相比要更加直觀一些，同時也彌補了傳統誤差對比方式中“一刀切”的問題（不考慮不確定度，直接取誤差均值）。

3 運動模型對比研究

3.1 運動模型1

運動模型1是由美國聯邦航空管理局（FAA）所推薦的航跡預測模型［8］。該模型主要是基于飛機動力學相關知識［9～11］和對地球經緯度的研究所構建的，推導過程如下。

如圖4，設飛機在飛行的△t時間內緯度變化角度為△λ。

圖4 緯度角度變化

根據圖4所示的角和邊之間的關系，可以得到：

式（6）中R表示地球半徑，H表示飛行高度，GSTN表示飛機在正北方向的速度分量。

同時，由圖4也可以清楚地看出，當飛行時間△t趨近于0時，那么在該段時間內緯度的變化角度△λ也趨近于0。由高等數學的極限運算公式：當x→0時，sinx/x=1，可得：

對式（7）兩邊同時求導，可得到單位時間內緯度的變化率λ˙為

接下來，計算飛機在正北方向上的速度分量GSTN，如圖5所示，為飛機在飛行中各個角度的關系圖示。

圖5 飛行角度關系

根據圖5可以得：

式（9）中，γ，ψ分別表示飛機飛行路徑角和航向角；VTAS表示飛機真空速。

聯立式（8）和式（9），并考慮到風對飛機速度的干擾等因素，可以得到單位時間緯度的變化率的表達式：

同理可得經度變化率，有

3.2 運動模型2

運動模型2指代的是SIMPLE模型［12］，該模型是由McGovern所提出的，主要運用的是微元法的思想，同樣也是基于飛機動力學相關知識。

如式（12）所示，首先根據航向角將飛機速度分為正北方向速度和正東方向的速度，有

式中，V表示飛機相對于地面的速度，有V=VTAScosγ；VN，VE分別表示速度在正北方向和正東方向上的分量；ψ表示航向角。

然后，將航線看成是由許多小步長（設時間步長為dt）組成，每一步以恒定的直線距離近似曲線恒定的航向距離，分為正北方向和正東方向，有

式（13）中，dN，dE分別表示在正北方向和正東方向上的步長分量。

將這兩個方向上的分量分別除以地球的平均半徑R，就得到了飛機的緯度方向和經度方向上的變化率，有

聯立式（12）、（13）、（14），并考慮到風，天氣等因素的干擾，則可以得到飛機經緯度的變化率，有

其中，經度、緯度與距離的換算公式為

3.3 兩種運動模型對比分析

在第2節中，我們推導了航跡不確定度的模型，并通過計算機仿真驗證了該模型的正確性，同時通過與傳統誤差模型比較，也得出該模型的優越性。

接下來將一組抓取自flightradar24真實數據分別代入運動模型1和運動模型2，設置仿真次數M=5000次，并運用不確定度模型來比較，從而對兩個運動模型的性能好壞進行評估。

如圖6所示，是用兩種不同的誤差對比方式，對模型1和模型2的性能進行評估的對比結果圖。其中圖6（a）是通過取多次仿真的誤差均值得到的預測誤差分布圖。從圖中我們可以看出兩種運動模型在中間都有突然凸起的誤差數值，這是因為我們所使用的數據是真實的ADS-B數據，在數據采集過程中可能存在數據間隔較大，數據出現錯誤的情況，造成了下一時刻的預測航跡出現了一些失誤，從而造成預測誤差較大的波動。同時，觀察圖6（a）中兩組模型誤差對比圖，僅僅只能看出來兩組預測模型的預測誤差的差別不大，具體哪個模型的性能較好，并不是特別直觀。

圖6 兩種誤差對比方式比較

接下來，我們觀察圖6（b），該圖是根據所推導的不確定度的公式對兩個運動模型性能評估的比較圖。圖中右上角的數字表示兩個模型的不確定度，兩條曲線分別表示模型1和模型2的誤差分布曲線。從圖中可以清楚地看出兩個模型的預測誤差均在500m左右，同時模型1的不確定度的曲線分布要比模型2的曲線分布更為尖銳，分布曲線越尖銳的圖形表示誤差分布的分散程度越小，誤差分散程度較小從另一方面也說明了模型預測數據的穩定性。那么在對航跡預測數據進行評估時，分散程度越小的數據越具有可靠性，這一點，對于在航跡沖突檢測應用中有著重要的意義。

最后，通過分析可以得到兩個運動模型的對比結果：模型1的預測航跡效果要優于模型2。

其實，根據3.1節和3.2節兩種運動模型的推導公式中也可以看出，模型1不僅考慮到了相對于地球表面飛機飛行的高度H影響，同時也考慮到了飛機緯度對經度變化率的影響作用。所以模型1要比模型2思考問題更為全面，故而在理論上也可以推導得出模型1的預測性能要高于模型2的預測性能。理論推導的結果與仿真實驗所得結果相同，從另一個方面也說明了不確定度模型的正確性。

本節通過兩種不同的方式對航跡誤差進行比較，可以清楚地看出，基于不確定度的誤差對比方式不僅比傳統的誤差對比方式更加直觀，同時也考慮到了航跡誤差的不確定度因素，并不是簡簡單單地使用量值表示誤差，這樣的方式比傳統的誤差對比方式更加具有科學嚴謹性。

4 結語

本文通過借鑒測量不確定度的思想，將不確定度原理應用到航跡運動模型對比分析中。將經過多次仿真得到的每一條預測航跡都看作一個整體，最終整合計算建立了航跡不確定度模型，彌補了傳統誤差分析中忽略其存在不確定度的問題，并且通過計算機仿真驗證了模型的正確性。隨后，通過將真實航跡數據代入兩種不同的運動模型中，并運用傳統誤差分析方式和基于不確定度的誤差分析方式對兩個模型進行了對比分析，結果表明：

1）運動模型1的預測性能要優于運動模型2。

2）基于不確定度的誤差對比分析方式考慮問題更全面，且能夠更加直觀、科學地對模型性能進行評估。