分?jǐn)?shù)階時(shí)滯憶阻混沌電路的動(dòng)力學(xué)分析及電路仿真*

王 勻 錢(qián) 鑫 翁業(yè)翠 丁大為

（1.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第三十八研究所 合肥 230088）（2.安徽大學(xué)電子與信息工程學(xué)院 合肥 230601）

1 引言

在1971年之前，人們普遍認(rèn)為基本電路元件是電阻、電感和電容。然而在蔡少棠教授［1］提出憶阻的概念之后，憶阻器的出現(xiàn)打破了人們對(duì)傳統(tǒng)電子器件的認(rèn)知。2008年，惠普實(shí)驗(yàn)室［2］首次實(shí)現(xiàn)了憶阻器的物理器件模型。目前大量文章［3～5］集中在整數(shù)階的憶阻混沌系統(tǒng)的研究，但關(guān)于分?jǐn)?shù)階憶阻混沌系統(tǒng)的研究成果很少。1974年，Oldham和Spanier［6］給出了分?jǐn)?shù)階完整的數(shù)學(xué)表達(dá)。分?jǐn)?shù)階理論提供了更好的描述記憶和遺傳特性的工具，利用分?jǐn)?shù)階算子更能客觀地反映混沌系統(tǒng)動(dòng)態(tài)電路的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象和實(shí)際特性，因此許多研究成果［7～8］都集中在分?jǐn)?shù)階憶阻器模型和憶阻系統(tǒng)上。

目前已有相關(guān)文獻(xiàn)研究了分?jǐn)?shù)階時(shí)滯憶阻系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。例如文獻(xiàn)［9］研究一種分?jǐn)?shù)階憶阻器模型的本質(zhì)特性和串并聯(lián)電路的特性。文獻(xiàn)［10］研究了最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)階時(shí)滯憶阻混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其分岔行為等動(dòng)力學(xué)行為。然而大多數(shù)研究?jī)H限于數(shù)學(xué)模型的分析與仿真，沒(méi)有實(shí)際具體電路仿真來(lái)驗(yàn)證。因此本文提出了一個(gè)基于分?jǐn)?shù)階的非線性時(shí)滯混沌電路，介紹了該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，以及對(duì)其進(jìn)行了平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性分析，最后，通過(guò)Multisim軟件給出了電路仿真，驗(yàn)證了理論分析和數(shù)值仿真的正確性。

2 分?jǐn)?shù)階時(shí)滯憶阻混沌電路建模與分析

Muthuswamy等實(shí)現(xiàn)了磁控憶阻器等效模型［11］，如圖1所示。有關(guān)求解分?jǐn)?shù)階微積分的方法很多［12～13］。本文中應(yīng)用 Oustaloup［14］提出的近似技術(shù)來(lái)得到分?jǐn)?shù)階積分算子的近似傳遞函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階憶阻器，將其替換圖1中的電容得到分?jǐn)?shù)階磁控憶阻器，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

圖1 磁控憶阻器示意圖

其中x1、x2和f（x1，x2）分別是憶阻器的輸入、內(nèi)部狀態(tài)變量和輸出。g1和g2是分別是乘法器M1和M2的放大倍數(shù)。令R0=8.2kΩ，R1=750Ω，R2=1.5kΩ，R3=R4=750Ω，g1=0.1，g2=1.3。分?jǐn)?shù)階磁控憶阻器的等效參數(shù)為α=0.6667ms和β=0.0087S/Wb，其中。 當(dāng) 驅(qū) 動(dòng) 信 號(hào)，其中X1=4V，分?jǐn)?shù)階憶阻器電流-電壓曲線如圖2所示。從圖2（a）中可以看出，隨著分?jǐn)?shù)階階數(shù)的增加，磁滯回線的面積變大。圖2（b）表示隨著頻率的增加，磁滯回線的面積減少。

圖2 磁控憶阻器磁滯回線圖

將上述分?jǐn)?shù)階憶阻器模型應(yīng)用到混沌電路中，電路結(jié)構(gòu)如圖3所示［15］。τ是時(shí)滯參數(shù)，電路的數(shù)學(xué)表達(dá)式見(jiàn)式（2），其中

圖3 分?jǐn)?shù)階時(shí)滯憶阻混沌電路

3 穩(wěn)定性分析

4 仿真實(shí)驗(yàn)

數(shù)值仿真使用了改進(jìn)的Adams-Bashforth-Moulton預(yù)估校正算法［16］來(lái)求解分?jǐn)?shù)階時(shí)滯微分方程。仿真軟件為Matlab。設(shè)定系統(tǒng)參數(shù)q=0.9，l=2.5，b=-2，τ=1，使得參數(shù)a在［1.35，2］區(qū)間變化，見(jiàn)圖4。從分岔圖可以很明顯地看出系統(tǒng)（2）的軌道從周期狀態(tài)開(kāi)始，然后當(dāng)經(jīng)過(guò)閾值時(shí)，出現(xiàn)Hopf分叉，最后隨著a的增加變?yōu)榛煦鐮顟B(tài)。各狀態(tài)的相位圖和時(shí)域圖如圖3所示。當(dāng)a=1.62時(shí)，相位圖與時(shí)域圖如圖5（a）和（d）所示，系統(tǒng)表現(xiàn)出一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)。當(dāng)a=1.68時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，如圖5（b）和（e）所示。當(dāng)a=1.73時(shí)，系統(tǒng)展現(xiàn)出雙渦旋的混沌吸引子，如圖5（c）和（f）所示。

圖4 分岔圖

圖5 相位圖與時(shí)域圖

為了驗(yàn)證理論分析和數(shù)值仿真的正確性，Multisim進(jìn)行電路仿真。其中時(shí)滯電路采用APF（全通濾 波 器）［17～19］來(lái) 設(shè)計(jì)見(jiàn)圖 6（b）。 分?jǐn)?shù)階階數(shù)q=0.9，圖6（a）中分?jǐn)?shù)階電容的電阻和電容數(shù)值分別 為R1=62.84MΩ，R2=0.25MΩ，R3=0.0025MΩ和C1=1.232μF，C2=1.835μF，C3=1.10μF 。運(yùn) 算放大器和乘法器采用AD711KN和AD633JN，提供±15的電壓和R=11.24kΩ，整體電路圖如圖6（c）所示。

圖6 電路結(jié)構(gòu)圖

電路仿真結(jié)果圖如圖7所示。仿真結(jié)果與圖5吻合，驗(yàn)證了理論分析和數(shù)值仿真的正確性。

圖7 Multisim電路仿真結(jié)果圖

5 結(jié)語(yǔ)

在本文中，我們提出了一個(gè)分?jǐn)?shù)階憶阻器和基于此憶阻器的分?jǐn)?shù)階時(shí)滯憶阻混沌電路。通過(guò)理論分析和Matlab數(shù)值仿真，詳細(xì)研究了此混沌電路的穩(wěn)定性和一些動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，包括平衡點(diǎn)、穩(wěn)定性、分岔、相位圖等。電路的動(dòng)力學(xué)行為表現(xiàn)出極限環(huán)、單渦旋混沌吸引子和雙渦旋混沌吸引子。此外，我們使用Multisim搭建了電路仿真，電路仿真與數(shù)值仿真結(jié)果完全一致。