旋翼機雙速傳動系統低速檔動力學建模與特性分析

陳志剛，王國強，劉志輝

（1.邵陽學院機械與能源工程學院，湖南 邵陽 422000；2.邵陽學院高效動力系統智能制造湖南省重點實驗室，湖南 邵陽 422000）

0 引言

旋翼機雙速傳動系統是一種可以實現兩檔速度輸出的變速系統，廣泛應用于民用運輸工具、精密設備、武器裝備等。行星齒輪傳動系統的非線性特性研究主要從建模方法、求解方法、穩定性判斷等3 個方面展開研究。模型主要有純扭轉模型、彎扭耦合模型和扭擺橫向軸向耦合模型[1-3]，其中對于純扭模型只考慮各構件扭轉方向的振動，由于自由度較少，模型簡單，故又稱之為精簡模型，數學建模過程中一般只考慮齒側間隙、時變嚙合剛度和綜合嚙合誤差。孫濤[4]等在考慮純扭轉的情況下建立了ZK-H 行星輪系非線性動力學方程，通過諧波平衡的方法分析了系統的頻域特性；宋軼民和許偉東[5]等建立了ZK-H 型行星齒輪傳動的修正扭轉模型并研究了其固有特性。

基于非線性動力學模型，為了對行星齒輪傳動系統有一個直觀的了解，XIANG L 等[6]通過全局分岔圖、Poincare圖、相圖、FFT 譜和最大李亞普諾夫指數對行星輪系系統的非線性動力學特性進行了分析。XIANG L 等[7]通過全局分岔圖、最大李亞普諾夫指數（LLE）、Poincare 圖、相圖、FFT 譜和時間序列等方法，識別了系統運動對側隙變化的影響。周璐等[8]通過相軌線、Poincare 圖、時間歷程曲線和相軌線分析了齒側間隙、嚙合頻率和嚙合阻尼對系統分岔與混沌特性的影響。

通過對純行星齒輪傳動系統非線性特性較為深入的分析后，本研究擬針對旋翼機雙速傳動系統，研究低速檔在檔狀態，采用集中參數法建立考慮時變嚙合剛度、齒側間隙和齒輪副綜合嚙合誤差的純扭非線性動力學微分方程組，然后利用變步長四階龍格庫塔法對無量綱化微分方程組進行求解，定性分析激勵頻率對旋翼機雙速傳動系統非線性動態特性的影響規律。

1 低速檔非線性動力學模型

限于篇幅本次以雙速行星傳動系統低速檔為對象，建模時假設各傳動軸和軸承剛度足夠大，且不考慮運動狀態下支撐軸承間的摩擦影響；同級同類型的行星輪各參數相同；齒輪副之間的嚙合狀態簡化為由彈簧相連接的圓柱體，彈簧的剛度系數為嚙合齒輪的嚙合剛度[9]。以圖1 所示的工況為對象，采用集中質量法建立動力學模型進行建模和詳細分析。

圖1 旋翼機雙速傳動系統低速檔在檔動力學模型

圖中Rbs為太陽輪基圓半徑；Rp1為第一級行星齒輪的基圓半徑；Rp2為第二級行星齒輪的基圓半徑；Rbr1為內齒圈的基圓半徑；TD為驅動力矩；TL為負載力矩；JC為行星架轉動慣量；θc為行星架扭轉變形；Ksp1為太陽輪與第一級行星輪時變嚙合剛度；Csp1為太陽輪與第一級行星輪嚙合阻尼；Kp1p2為第二級行星輪與第一級行星輪時變嚙合剛度；Cp1p2為第二級行星輪與第一級行星輪嚙合阻尼；Kp2r1為內齒圈與第二級行星輪時變嚙合剛度；Cp2r1為內齒圈與第二級行星輪嚙合阻尼。

2 雙速傳動系統低速檔在檔數學模型

定義Xsp1i、Xp1ip2i、Xr1p2i分別為齒輪副沿嚙合線方向上的動態相對扭轉位移。根據嚙合狀態的各齒輪的相對位置關系，計算各齒輪間的相對位移：

式中：ei為齒輪副綜合嚙合誤差，一般假定按正弦函數變化[4]：

式中：Ei為各齒輪副的綜合誤差的幅值；βi為各齒輪副綜合嚙合誤差的初相位；Ω為輪系嚙合齒頻；t為時間。假設令xs=Rbsθs、xp1i=Rbp1iθp1i、xp2i=Rbp2iθp2i、xr1=Rbp1θr1，其中xs、xp1i、xp2i和xr1分別為太陽輪、行星輪1、行星輪2、內齒圈的當量線位移。由牛頓第二定律推導得到旋翼機雙速傳動系統低速檔在檔運動微分方程：

式中：Ci為齒輪副的嚙合阻尼。如：

f（X，b）為齒側間隙非線性函數如下：

3 激勵頻率影響規律

本研究的結構參數見表1，圖2 為旋翼機雙速傳動系統低速檔模式下，以激勵頻率ωh為控制變量繪制的太陽輪和第一級行星輪形成的齒輪副a 的無量綱化位移分叉圖。由圖3 可知齒輪副a 在ω=0.62 和ω=0.78兩處存在明顯的跳躍現象；當激勵頻率位于0.62≤ω≤0.78 段時，齒輪副a 以不太穩定的周期形式運動；當激勵頻率處于低頻段（ω≤0.62）時，齒輪副a 隨著激勵頻率ω的增加，振動幅度差會有輕微的增大的趨勢；當激勵頻率處于中低頻段（0.78≤ω≤1.19）時，齒輪副a 由單周期響應隨著激勵頻率ω的增加，振動幅度差明顯增大，有進入混沌的趨勢；當激勵頻率處于中頻段（1.19≤ω≤1.41）時，齒輪副a 的運動表現為，隨著激勵頻率的增大，齒輪副a 由雙倍周期響應轉向三倍周期以及多倍周期，從圖3-b 部分時域圖可以看出，再進入混沌期前轉為雙倍周期；當激勵頻率位于（1.41≤ω≤2.61）時，齒輪副a 進入了混沌區，從圖3 中的c 部分相圖可以看出，線條充滿空間某一部分、相互纏繞交叉，既不重復又不封閉的曲線，當激勵頻率位于（2.61≤ω≤2.82）時，系統的運動從雙倍周期向單倍周期變化，從圖3-d 部分時域圖可以看出；最后激勵頻率位于（2.82≤ω）時，齒輪副a 為單倍周期響應。圖3 為激勵頻率點ω, 其取值分別為：0.612，1.023，1.923，2.712 時系統的時域圖、相圖和龐加萊截面圖。

圖2 太陽輪和第一級行星齒輪形成的齒輪副a 隨激勵頻率ω 變化的全局分叉圖

圖3 齒輪副a 不同激勵頻率點對應的時域圖、相圖和龐加萊截面圖：（a）0.612；（b）1.032；（c）1.923；（d）2.712

表1 旋翼機雙速傳動系統低速檔模型參數

4 結論

本研究在考慮時變嚙合剛度、齒輪副綜合嚙合誤差和齒側間隙的基礎上建立了旋翼機雙速傳動系統低速檔在檔的非線性動力學模型，用數值仿真的方法對系統方程進行求解，得到太陽輪和第一級行星齒輪形成的齒輪副a 隨激勵頻率變化的分叉圖，由分叉圖再結合不同區域的激勵頻率展現出的時域圖、相圖和龐加萊截面圖，結果表明，在激勵頻率位于（0≤ω≤3）范圍內，位于低頻段時，系統的振動響應幅值變化不大；主要變化在中頻段（0.78≤ω≤2.82）內，隨著激勵頻率的增大，系統由單倍周期響應逐漸從雙倍周期響應進入多倍周期響應，再由雙倍周期響應進入混沌響應，最后在激勵頻率為（2.61≤ω≤2.82）時段，系統由混沌響應進入雙倍周期響應再轉為單周期響應。