“天平砝碼稱重問題”的進制解法

管景強

[摘 要]“天平砝碼稱重問題”除了可以運用嘗試列舉法分析解決外，還可以引入二進制和三進制來解決。根據天平單邊放砝碼稱重和兩邊放砝碼稱重兩種不同情況，將所要稱出的質量轉化為相應的二進制數和三進制數的位權展開式，通過分析位權展開式中的位權個數及每一位的位權，就可以明確砝碼的具體擺法，得出最少需要砝碼的個數及砝碼的質量。

[關鍵詞]天平;砝碼稱重;二進制;三進制;位權展開式

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）05-0028-02

解決“天平砝碼稱重問題”時，可以采用嘗試列舉法來得出所需砝碼的質量。實際上，我們還可以從砝碼的擺法入手，引入二進制和三進制來迅速解決問題。

一、天平單邊放砝碼稱重

【例1】在天平左邊放砝碼，右邊放物體稱質量，最少應該準備幾個砝碼，就能稱出1克到15克的所有整克數的質量？這幾個砝碼分別是多少克？

我們可以從稱1克的物體入手，列表分析：

由上表可以知道，最少應該準備4個砝碼，分別是1克、2克、4克、8克的各1個。到這里，善于思考的學生可能會有兩個疑問：1.稱1克到15克的質量為什么最少需要4個砝碼？2.所需砝碼的質量為什么均形如[2n]克？如1克、2克、4克、8克，分別對應[20]克、[21]克、[22]克、[23]克。下面就從砝碼的擺法來討論。

1.稱1克到15克的質量為什么最少需要4個砝碼？

對于砝碼 a1來說，由于只能放在天平的一邊，所以只有放在盤中與放在盤外兩種不同擺法（如下圖）。當砝碼a1放在盤中時，砝碼a1參與稱重，可以稱出砝碼a1本身的質量;當砝碼a1放在盤外時，砝碼a1不參與稱重，稱出的質量可以看成0克。如果有n個砝碼，每個砝碼都有放在盤中與放在盤外兩種不同擺法，根據乘法原理，n個砝碼就有[2n]種不同擺法。去掉所有砝碼都放在盤外的擺法（這種擺法稱重為0克），那么n個砝碼就有（[2n]-1）種不同擺法。

當砝碼的質量各不相等且任意一個砝碼的質量都不等于其他兩個或幾個砝碼的質量的和時，不同擺法稱出的質量也都不相同。這時，（[2n]-1）種不同擺法可以稱出（[2n]-1）種不同質量，不同擺法數等于能稱出的不同質量數。

當砝碼的質量不滿足“各不相等且任意一個砝碼的質量都不等于其他兩個或幾個砝碼的質量的和”時，就會出現不同擺法可以稱出同一種質量。這時，（[2n]-1）種不同擺法可以稱出的不同質量數小于（[2n]-1）種，不同擺法數大于能稱出的不同質量數。

綜上，不同擺法數大于或等于能稱出的不同質量數。本例中要求稱出1克到15克共15種不同的質量，那么[2n]-1≥15。解得n≥4，所以最少需要4個砝碼。

2.所需砝碼的質量為什么均形如[2n]克？

設要稱的物體的質量為y克，所需砝碼的質量分別為a1、a2、a3……an克，那么對于y克這個質量，一定有一種擺法與它對應。由此可以得到下面的式子：

y=（ ）×a1+（?）×a2+（ ）×a3+…+（?）×an

其中（ ）×a1表示砝碼a1擺放好所稱出的質量，（ ）×a2表示砝碼a2擺放好所稱出的質量，（ ）×a3表示砝碼a3擺放好所稱出的質量……（ ）×an表示砝碼an擺放好所稱出的質量。而每部分（ ）里的數只有1和0兩種可能，當（?）里是1時，表示將這個砝碼放在盤中，砝碼參與稱重;當（?）里是0時，表示將這個砝碼放在盤外，砝碼不參與稱重。

由于（ ）里只能是1或0，所以y=（ ）×a1+（?）×a2+（ ）×a3+…+（ ? ）×an，實際上就是把十進制數y轉化成二進制數的位權展開式。把1克到15克分別轉化為二進制數的位權展開式，就得到它們各自天平左邊需要放入的砝碼質量（見下表）。

從表中可以看出，所需砝碼的質量都是二進制數位權展開式中的位權，所以均形如[2n]克。

從砝碼的擺法入手，利用不同擺法與所稱出質量之間的關系先求出最少需要砝碼的個數，接著通過砝碼的擺法引入二進制來求出所需砝碼的質量。實際上，最少需要砝碼的個數和所需砝碼的質量通過“（[15]）10=（[1111]）2=1×[23]+1×[22]+1×[21]+1×[20]”就可以得到。上式中，最重的15克轉化為二進制數的位權展開式后有4個位權，分別是[23]、[22]、[21]、[20]，那么1克到14克轉化為二進制數的位權展開式后的位權肯定不會超過4個，所以最少需要砝碼的個數就是位權數4，而位權[23]、[22]、[21]、[20]就是所需砝碼的質量。

二、天平兩邊放砝碼稱重

【例2】一臺天平要稱出質量為1克、2克……69克的物品，允許在天平兩邊都放砝碼，最少要準備幾個砝碼？這幾個砝碼分別是多少克？

當天平單邊放砝碼稱重時，可以引入二進制來解決。那么天平兩邊放砝碼稱重，可以引入幾進制來解決呢？不妨順著例1的思路繼續從砝碼的擺法入手，先求出最少需要幾個砝碼。

由于砝碼a1可以放在天平的兩邊，所以它有放在左盤中、放在右盤中、放在盤外三種不同擺法（如下圖）。如果有n個砝碼，根據乘法原理，n個砝碼就有[3n]種不同擺法。去掉所有砝碼都放在盤外的擺法（這種擺法稱重為0克），那么n個砝碼就有（[3n]-1）種不同擺法。又因為天平是對稱的，如果把天平左右兩盤放置的東西對換，這兩種擺法稱的是同一種質量，所以n個砝碼可以看成有（[3n]-1）/2種不同擺法。

根據不同擺法與所稱出質量之間的關系，不同擺法數大于或等于能稱出的不同質量數（當每個砝碼的質量各不相等且任意一個砝碼的質量都不等于其他兩個或幾個砝碼的質量的和或差時，（[3n]-1）/2種不同擺法可以稱出（[3n]-1）/2種不同質量），所以（[3n]-1）/2≥69。解得n≥5，所以最少需要5個砝碼。

繼續設要稱的物品的質量為y克，需要砝碼的質量分別為a1、a2、a3……an克，那么對于y克這個質量，同樣可以得到下面的式子：

其中（?）×a1表示砝碼a1擺放好所稱出的質量，（?）×a2表示砝碼a2擺放好所稱出的質量，（ ）×a3表示砝碼a3擺放好所稱出的質量……（ ）×an表示砝碼an擺放好所稱出的質量。而每部分（ ）里的數有三種可能，分別是1、0、-1。當（ ）里是1時，表示將這個砝碼放在左盤中，砝碼參與稱重;當（ ）里是0時，表示將這個砝碼放在盤外，砝碼不參與稱重;當（?）里是-1時，表示將這個砝碼放在右盤中，砝碼參與稱重。

由于（）里只能是1、0或-1，所以y=（ ）×a1+（ ）×a2+（?）×a3+…+（ ）×an，實際上就是把十進制數y轉化成三進制數的位權展開式。需要注意的是，三進制一般有兩種表現形式：一種是以0、1、2為數碼的普通三進制;另一種是以1、0、-1為數碼的對稱三進制。這里應該轉化成對稱三進制，因為在天平的左、右盤中都放上砝碼時，所稱出的物品質量應該等于兩邊的砝碼質量相減，所以（?）里要用到1和-1。下面將本例中最重的69克轉化成對稱三進制數的位權展開式。

由上式可得，要稱出最重的69克，需要把[34]克的砝碼放在天平的左盤，把[32]克、[31]克的砝碼放在天平的右盤，把[33]克、[30]克的砝碼放在盤外，即81克的砝碼放在天平的左盤，9克、3克的砝碼放在天平的右盤，27克、1克的砝碼不放。這時81-12=69，即可稱出69克的質量。同理，1克到68克也可以通過把十進制數轉化成對稱三進制數的位權展開式來得到相應的砝碼擺法，且它們對應的三進制數的位權展開式的位權肯定不會超過5個。因此，最少需要砝碼的個數就是這里的位權數5，而位權[34]、[33]、[32]、[31]、[30]就是所需砝碼的質量。此外，[34]克、[33]克、[32]克、[31]克、[30]克這5個砝碼最少可以稱1克（1×[30]=1）的質量，最多可以稱121克（1×[34]+1×[33]+1×[32]+1×[31]+1×[30]=121）的質量。

綜上所述，解決“天平砝碼稱重問題”可以從砝碼的擺法入手，將所要稱出的最重質量轉化為二進制數（天平單邊放砝碼稱重）或三進制數（天平兩邊放砝碼稱重）的位權展開式，位權個數就是最少需要砝碼的個數，而每一個位權就是所需砝碼的質量。

（責編 吳美玲）