數學概念是否可以自創

方艷燕

[摘 要]數學是嚴謹的，一些重要概念都是經過幾代數學家審定和歷史考驗留下的精華，不容隨意更改。但是，數學又是靈活機動的，變化萬千，可以在不違背數學本質規律的基礎上提出一些新概念，以提升課堂教學效果。

[關鍵詞]數學;概念;自創

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）05-0032-02

偶然讀到一篇數學教研論文，題為《老師，請不要“自創”概念——從“把分子通分”說起》，文中闡述了三種觀點。1.“把分子通分成一樣再比較大小”這種說法是錯誤的;2.在《初等數學辭典》及《中學數學教師手冊》中關于通分概念的表述完全一致，即運用擴分的方式，把分母不相同的幾個分數化成分別和原來的各個分數相等并且各分數的分母又彼此相同的分數，這種幾個分數的等值變形過程叫作通分;3.通分還有一種基本定義：把甲數與乙數之比、乙數與丙數之比，這兩個不同的比，化成甲與乙與丙之比，也叫作通分。如果通分只限于對分母“動手術”的話，那么第3點就應該無法成立;如果第3點可以成立，通分的概念就必須拓展，即“幾個分數的等值變形過程”。按照這種表述，對分子進行通分也是通分，為何要區別對待，厚此薄彼呢？追根溯源，它們都是靈活應用分數的基本性質。

一、打破現成概念的壁壘

人們常說數學是一門嚴謹的學科，主要指推理邏輯的嚴謹。殊不知，數學也有另一面——靈活機動，數學的機動性滲透到各個學科，生活的方方面面，這種機動性給數學帶來了頑強的生命力。乘法分配律在四年級課本中是這樣記述的：兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們分別與第三個數相乘，再相加。課堂練習中，要求學生類推到（a-b）×c=a×c-b×c，如果學生已經學過負數，這樣類推并無不妥，但仔細考證，四年級的學生還沒學負數，這樣類推毫無嚴密性可言。如果這樣的推廣都可以作數，那么對分子通分這樣學生自我探究得出的結論，為什么又不能作數呢？

數學是全人類的數學，不是數學家、教育家的專屬品，任何一個學習數學的人，不分職業、國度、種族和宗教信仰，都有研習數學的權利，更何況是數學教師。有人曾說過：“教師，尤其是數學教師，不能止步于書中既定的概念，也不能止步于教材上框定的概念。這些現成的概念只是一種‘演習彈，是用來練膽、練手的。學生通過學習這些概念，能夠掌握一些概念學習的基本方式和流程，于是，結合學習概念的經驗和心得，根據自己的觀察思考總結出一些全新的概念，并嘗試著描述這些概念。”這樣的數學教育才是科學的。數學是不斷發展變化的，正是一些數學研究者前赴后繼、不遺余力地創造數學新概念，才推動了數學的繁盛與興旺。

二、自創概念不是無本之木

教師自創的概念不是“無中生有”，不是“閉門造車”，而是在教學中結合學情，揭露事物本質，適時創造的，以培養學生的獨創精神。在教學中，我們常常會根據概念的性質歸納出一些詩歌或口訣輔助理解和記憶。如畫圓的步驟，可以這樣歸納：一定，二定，三旋轉。又如量角的方法可以濃縮為：點對點，邊對邊，刻度要看另一邊。對于一些題目，如果課本提供的方法較為復雜，教師還需要結合學生的知識基礎進行優化，找出簡易解法。如蘇教版教材第八冊第9頁有這樣一道思考題：

用1、2、3、4、5這五個數字分別組成一個兩位數和一個三位數。要使乘積最大，應該是哪兩個數？要使乘積最小呢？換五個數字再試一試。

要使乘積最大，就應該盡量使兩個乘數達到最大值，那么就得在它們各自的最高位上安排數字4和5，然后再來考慮三位數十位上的數字的安排，優選3或2。考慮到與兩位數最高位的乘積對總乘積的影響，3×5>3×4，2×5>2×4，兩位數的十位上應該是5，如此一來，三位數的百位上只能是4。考慮到三位數前兩位與兩位數最高位的乘積對總乘積的影響，43×5>42×5，三位數的十位上應是3。稍作調試，可以得出使乘積最大的兩個數是431和52。而要使乘積最小，兩個乘數最高位上應優先考慮選擇數字1和2，三位數的十位上只能選擇稍大的數字3或4。通過反復調試，也可以得出使乘積最小的兩個數是245和13。這些答案需要學生反復調試和修正，多次計算才能得出，如果換了數字，又得重新調試，即使摸索出規律也很難記住。教師可以這樣引導：“設5個數從小到大依次排列為A、B、C、D、E。積最大時，配置應該是DCA和EB;積最小時，配置應該是BDE和AC。”在學生嘗試推出結果前，筆者透露可以用減法解答。

呈現三年級的一道題目：用16根長為1分米的竹條圍一個長方形，有幾種圍法？

在比較中學生發現：當長方形周長一定時，長和寬越接近，所圍成的長方形面積越大;反之，長和寬相差越大，二者的乘積越小，所圍成的長方形面積越小。學生總結出：兩數和一定，差越大積越小，差越小積越大。應用這一規律來探尋兩數的最大積和最小積時就會事半功倍：確定三位數的前兩位和兩位數時，只要在數值大的四個數字中選擇三個安排就位，就能讓差最小，調試最后的個位數，就易如反掌。在探求最小積時，只要把三位數的前兩位和兩位數，從最小的四個數字中選三個安排妥當，最大差值就能確立，再調整最后的個位數。如53與42，52與43，53+42=52+43，52-43<53-42，因此，52×43>53×42。這時只要調試521與43、52與431的積，找到大的。又如13與24，14與23，兩組數的和相等，13與24的差大一些，那么積就小一些。接著確定個位數，選擇配置135與24或者13與245的積，找到小的。

在配置個位數時，學生還發現一個規律：最后的最大的數字5連在大數后面，積反而變小了。因此，只要確定了兩個數的前兩位分別是13與24，那么這兩個數最終就為13與245。這樣教學不但將解題方法簡化，而且讓學生意識到數學方法的靈動性。

三、自帶規律要一查究竟

有一些題目本身就帶有明顯規律，課本雖未明言，但教師可以引導學生探究發現。如蘇教版教材第八冊第34頁第6題：

居民區有一塊由三個大小不同的等邊三角形組成的花園（如下圖）。從A地到B地，走哪條路最近？圖中哪兩條路一樣長？為什么？

教師參考用書中用計算來說明紅、藍兩條路線長度相等：2個40加上2個20就等于2個60。在比較之后，筆者引導學生將兩個紅色三角形變為邊長分別為10米、30米、20米的三個等邊三角形，再與大等邊三角形對比，學生歸納出：不管把藍色三角形沿著一條邊變為幾個小等邊三角形，像圖中這樣設計，大三角形周長始終等于若干個小三角形周長的總和。

又如蘇教版教材第七冊第101頁第3題：

先用計算器算出下面各題的積，再找一找有什么規律。

142857×1=? ? ? 142857×2=? ? ? ? ? 142857×3=

142857×4=?? ?142857×5=? 142857×6=

習題的本意是先求積，再查探規律。在學生發現“馬燈數”的奇趣后，筆者順勢追問：“142857從1乘到6存在這樣的規律，那么乘7或7之后的數字還能有這種規律嗎？”學生計算后發現，142857×7=999999，規律延續到數字7就中斷了。學生充滿了疑惑：“難不成這個規律與7犯沖嗎？”筆者因勢利導：“跟7到底有什么關系？可以一探究竟，用1～6這6個數字除以7試一試。”學生得出：

1÷7=0.142857142…

2÷7=0.285714285…

3÷7=0.428571428…

4÷7=0.571428571…

5÷7=0.714285714…

6÷7=0.857142857…

7÷7=1

原來商中的“142857”來頭不小，竟然和1除以7的商有關聯。雖然循環小數沒有涉足，但借助計算器可以查明“142857”的原委。

欲速則不達。放慢節奏、扣住數學本質，才可以創造性教學、創新教法，與學生一道在題目中含英咀華，感受數學的神奇，在創造概念中，讓學生獲得探索數學的經驗。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 吳謙彪.運用動態教學策略，優化幾何概念學習[J].數學教學通訊，2019（13）.

[2] 平國強.分析概念結構? 促進有效建構[J].教學月刊小學版（數學），2012（04）.

[3] 林忠.讓學生靈活建構數學概念[J].江蘇教育，2007（18）.

（責編 吳美玲）