數形結合，在解決問題中有效建模

曹素萍

[摘 要]“面積的變化”是蘇教版教材“分數四則混合運算”中的“動手做”的內容。學生從解決面積變化的問題開始，經歷了質疑、釋疑、尋理的探究規律的過程，用數形結合的思想有效構建了長方形面積變化規律的數學模型，發展了數學能力。

[關鍵詞]數形結合;數學模型;面積的變化

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）05-0062-02

“面積的變化”這節課是蘇教版教材六年級上冊第五單元“分數四則混合運算”中的“動手做”的內容。目的是鼓勵學生運用所學的知識探索長方形面積的變化規律，并能運用規律解決問題，同時讓學生經歷規律的探索過程、感受規律的奇妙，產生學習數學的興趣。

一、解決問題，提出疑問

出示問題1：長方形的長和寬分別增加[12]，面積是原來的幾分之幾？

師：怎樣理解“長和寬各增加[12]”？

生1：把長看作單位“1”，平均分成2份，增加的長度是其中的1份;把寬也看作單位“1”，平均分成2份，增加的長度也是其中的1份。

師：有同學把長和寬假設成具體的數來計算的嗎？

生2：我把長設為2厘米，寬設為1厘米，結果算得[94]。

生3：我把長和寬分別設為5厘米和4厘米，結果也得[94]。

……

師：為什么長和寬的數字不一樣，結果卻是一樣的呢？

【反思】為了增強學生的問題意識，激發學生的探究需求，本環節以問題為引領，讓學生用設數法解答，并發現規律，提出疑問，整個過程自然且合乎情理，探究悄然發生。

二、推算釋疑，感知模型

師：有了疑問要去研究。這里的長可以是6、3……寬可以是4、2……如果我們一直用具體的數字來研究，研究得完嗎？

生1：研究不完。

師：那么，怎樣才能概括所有的情況呢？

生2：用a表示長，b表示寬。

師生共同推算：

a×（1+ [12]）×[b×（1+[ 12]）]÷（a×b）

=a×b×（1+ [12]）×（1+[ 12]）÷（a×b）

=（1+[ 12]）×（1+ [12]）

=[94]

師：明白為什么長和寬的數據不會影響結果了嗎？

生3：明白了。因為長和寬被抵消掉了。

【反思】從提出疑問到解答疑問，學生經歷了從數字到字母、從具體到一般的探索過程。通過對具體情境的分析，學生初步感知了長方形面積變化規律這一數學模型。

三、畫圖尋理，抽象模型

師：通過剛才的推算，我們得到了解答問題1的算式。但是這樣列式有沒有道理呢？你有什么好的研究建議嗎？

生1：可以畫圖研究。

師：誰愿意來畫？

（學生畫圖，如圖1）

師：你怎么知道增加的長和寬要畫這么多？

生2：我把長看作單位“1”，平均分成2份，增加的長度是其中的1份;把寬也看作單位“1”，平均分成2份，增加的長度也是其中的1份。

師：從你畫的圖中能看出[94]這個結果嗎？

生2：不能。

師：如何能更好地顯示結果呢？

（生2補充畫圖，如圖2）。

師：你們能從圖中看出（1+ [12]）×（1+ [12]）這個算式的道理嗎？

生3：長增加[12] ，現在的長就是原來的（1+ [12]），同理，現在的寬也是原來的（1+[ 12]），現在的面積就是原來的（1+ [12]）×（1+ [12]），也就是[94]。

出示問題2：長方形的長增加[12]，寬增加[14]，面積是原來的幾分之幾？

出示問題3：長方形的長增加[12]，寬減少[14]，面積是原來的幾分之幾？

師：你能用一個式子來概括長方形面積的變化規律嗎？

生4：（1± [1a]）×（1± [1b]）。

【反思】小學生的思維多停留在直覺思維層面，因此教師只有引導學生由表及里發現數學本質規律， 才能讓學生的數學能力產生質的飛躍。本環節“以形助數”，既詮釋了算式推導的合理性，同時借助圖形抽象出了長方形面積變化規律這一數學模型。

四、追本溯源，理解模型

（讓學生觀察分析上面3個問題中長和寬的變化）

生1：在問題1中，現在的長是原來的[32]，現在的寬是原來的[32]，現在的面積就是原來的[94]。（教師板書：[32][、32、][94]）

生2：在問題2中，現在的長是原來的[32]，現在的寬是原來的[54]，現在的面積就是原來的[158]。（教師板書：[32][、54][、158]）

（全班學生一起分析問題3，教師板書：[32][、34][、98]）

（小組討論長寬變化與面積變化的關系）

生3：長是原來的[32]，面積就是原來的[32];寬是原來的[32]，面積又是原來的[32];那么現在的面積就是原來的[32] × [32]，就是[94]。（教師板書：[32] × [32]）

（學生繼續分析后兩個長方形面積的變化。教師板書：[32 ]×[54]、[32]×[34]）

師：原來在長、寬、面積的變化中還隱含著乘數和積的變化。今天我們研究的面積變化，看起來是新知識，其實還是積的變化規律的運用。

【反思】學生發現長方形面積的變化規律并不難，只要尋到規律這一模型的“理”，客觀存在的規律就能內化為思維的內在規律。本環節繼續“以數解形”，從數的運算的角度找到了模型的“理”——積的變化規律。既加深了學生對長方形面積變化規律這一數學模型的理解，為后面正確、靈活地運用模型解題打下了堅實的基礎，又讓學生感受到了數形結合發現數學奧秘的樂趣。

五、遷移應用，拓展模型

師：接下來讓我們舉一反三，解決其他圖形的類似問題。

出示問題4：三角形的底增加[12]，寬減少[14]，面積是原來的幾分之幾？

出示問題5：正方體的棱長增加[13]，體積是原來的幾分之幾？

師：三角形的面積變化要考慮除以2嗎？

生1：不需要。在三角形面積公式中，“÷2”這一部分是不變的。

師：表示正方體的體積變化為什么需要3個（1+[13]）相乘？

生2：因為正方體的體積是3條棱長相乘的積。

【反思】規律的教學絕不應止步于規律的總結，還要讓學生學會運用規律去解決其他問題。在運用的過程中，對三角形面積和正方體體積的變化規律的新發現又豐富和拓展了學生的已掌握模型。這時，留在學生頭腦中的不再是干巴巴的、形式化的數學，而是立體的、動態的數學，這樣的建模過程才是有效的。

六、研究回顧，總結收獲

師：今天我們都研究了什么？是怎么研究的？

師：把長和寬看作具體的數字或用字母表示，推算面積的變化規律，這是“數”的研究;用圖形研究算式的道理，是“形”的研究;最后發現變化的本質原來就是積的變化規律，又回到了“數”的研究。從“數”到“形”再到“數”的研究方式就叫“數形結合”。今后，我們還可以用這種方法去研究更多的數學問題。

【反思】探索規律的教學不同于概念或計算的教學，教學目標不止掌握規律本身，而需將探索規律過程中的各種經歷、體驗、感悟視作更重要的目標。“研究回顧”是讓學生重溫探索經歷、積累數學探索經驗的重要環節。“數→形→數”既是對建模（探究）過程的概括，也是數學思想方法的提煉，更是學生所學知識被遺忘后仍能保留下來的精髓。

（責編 羅 艷）