算理算法并重，提升運(yùn)算能力

王良東

[摘 要]培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，有利于學(xué)生更加深刻地理解算理，從而尋求合理途徑解決實(shí)際問題。以“商中間有0的除法”教學(xué)為例，探尋小學(xué)數(shù)學(xué)課堂培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的路徑，實(shí)現(xiàn)算理與算法二者的有機(jī)融合。

[關(guān)鍵詞]算理;算法;除法;運(yùn)算能力

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）05-0073-02

小學(xué)數(shù)學(xué)可概括為 “數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計(jì)與概率”和“綜合與實(shí)踐”四個(gè)板塊。無論哪個(gè)板塊的學(xué)習(xí)，都離不開數(shù)學(xué)運(yùn)算，運(yùn)算教學(xué)貫穿于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。新課標(biāo)將“運(yùn)算能力”列為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，有利于學(xué)生更加深刻地理解算理，從而尋求合理途徑解決實(shí)際問題。然而，在教學(xué)中，教師重算法輕算理的觀念根深蒂固，加上小學(xué)生抽象思維能力薄弱，造成了學(xué)生在運(yùn)算中只會“依葫蘆畫瓢”，缺乏足夠的創(chuàng)造性，由此制約了學(xué)生運(yùn)算能力的發(fā)展。下面筆者以“商中間有0的除法”的教學(xué)為例，探尋在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的路徑。

一、創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)興趣

教育家蘇霍姆林斯基曾說：“如果老師不想辦法使學(xué)生產(chǎn)生情緒高昂和智力振奮的內(nèi)心狀態(tài)就急于傳授知識，不動情感的腦力勞動就會帶來疲倦。沒有歡欣鼓舞的心情，沒有學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)也就成了負(fù)擔(dān)。”動機(jī)和興趣是促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的源泉和動力，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境是調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和動機(jī)的有效路徑。關(guān)于教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，一是可從學(xué)生身邊的實(shí)例入手。小學(xué)生以形象思維為主，對事物的認(rèn)知往往離不開具體事物和具體情境的支撐。教師在教學(xué)中從學(xué)生的生活實(shí)際入手創(chuàng)設(shè)情境，能有效化解運(yùn)算教學(xué)的枯燥乏味，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。二是創(chuàng)設(shè)的情境要有利于激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突。“水嘗無華，相蕩而生漣漪，石本無火，相擊而生靈光。”認(rèn)知沖突能使學(xué)生意識到原有的知識無法解決新問題，從而將學(xué)生置于“憤悱”狀態(tài)，真正激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)。

師：有345個(gè)桃子，平均分給3只猴子，每只猴子能夠分到多少個(gè)桃子？

生1：345÷3=115（個(gè)）。

師：現(xiàn)在改一下題目：有315個(gè)桃子，平均分給3只猴子，每只猴子能夠分到多少個(gè)桃子？

生2：還是用除法計(jì)算。315÷3……

師：你在計(jì)算中遇到了什么問題嗎？

生2：我發(fā)現(xiàn)十位上的1除以3不夠除。

“轉(zhuǎn)軸撥弦三兩聲，未成曲調(diào)先有情。”教學(xué)中，教師首先創(chuàng)設(shè)了“猴子分桃子”的情境，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為枯燥單調(diào)的運(yùn)算教學(xué)加入了“調(diào)味劑”;其次，教師以復(fù)習(xí)舊知入手，找準(zhǔn)學(xué)生的思維起點(diǎn)，巧妙地變化題目，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的需求，從而找到學(xué)生思維的發(fā)展點(diǎn)。

二、理解算理，初識算法

新課標(biāo)指出，計(jì)算教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生理解算理，掌握算法，通過必要的練習(xí)逐步達(dá)到教學(xué)要求。可見，計(jì)算教學(xué)不僅要使學(xué)生掌握算法，形成技能，更重要的是讓學(xué)生理解算理，在充分理解的基礎(chǔ)上構(gòu)建算法。要提升學(xué)生的運(yùn)算能力，正確處理算理和算法的關(guān)系至關(guān)重要。從概念上來看，算理指的是計(jì)算過程中的道理，它是運(yùn)算的理論依據(jù)，解決了“為什么這樣算”的問題;算法即計(jì)算的法則，它是運(yùn)算的操作程序，解決了“怎么算”的問題。目前，運(yùn)算教學(xué)普遍存在以下兩種傾向：一是受傳統(tǒng)應(yīng)試教育的影響，教師過分關(guān)注運(yùn)算結(jié)果和運(yùn)算速度，對于算法背后的算理缺乏足夠的重視，由此出現(xiàn)了重算法、輕算理的傾向;二是片面追求對算理的論述和講解，不但增加了學(xué)生的思維負(fù)擔(dān)，還造成了學(xué)生計(jì)算技能的停滯不前。算理和算法是運(yùn)算的兩個(gè)重要方面，同等重要，不可偏廢其一。一般情況下，運(yùn)算能力的形成往往從理解算理開始，由于算理具有較強(qiáng)的抽象性，這對于以形象思維為主的小學(xué)生而言是個(gè)不小的挑戰(zhàn)。兒童心理學(xué)家皮亞杰指出 ：“ 要認(rèn)識一個(gè)客體 ，就必須動之以手。”因此，教師可引入數(shù)學(xué)操作來化解算理的抽象性，以加深學(xué)生對算理的理解，從而提升運(yùn)算教學(xué)的實(shí)效。

師：誰能用自己的方法計(jì)算出315÷3？

生1：可以把它轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的內(nèi)容。300÷3=100，15÷3=5，100+5=105。

生2：這樣計(jì)算比較麻煩，還是列豎式計(jì)算更加方便。

師：我們在闡釋計(jì)算過程時(shí)，經(jīng)常會采用擺小棒的辦法。同學(xué)們能嘗試用擺小棒的方法驗(yàn)證315÷3的計(jì)算過程嗎？

生3：需要315根小棒，數(shù)量太多了。

師：該如何解決這個(gè)問題呢？

生4：用一個(gè)筆筒來代表100根小棒，這樣，315根小棒就是3個(gè)筆筒、1捆小棒、5根小棒。

師：請同學(xué)們以小組為單位，用擺小棒的辦法來演示除法的計(jì)算過程。

生5：把315根小棒平均分成3份，首先把300根小棒（3個(gè)筆筒）平均分成3份，每份就是100根小棒（1個(gè)筆筒），由于1捆小棒不夠平均分成3份，所以把十位上的1拆開加上剩下的5根小棒，這樣一共是15根小棒，把這15根小棒平均分成3份，每份是5根小棒。因此，每份是100+5=105（根）小棒。

師：同學(xué)們還有什么疑問嗎？

生6：為什么要把1整捆的小棒拆開呢？

生7：因?yàn)橹挥幸焕π“簦粔蚍殖?份。（每份需是整捆）

生8：把這捆小棒拆開，和剩下的5根小棒結(jié)合起來，就能夠分成3份了，每份是15÷3=5（根）。

生9：為什么不是15根，而是105根呢？

生10：因?yàn)橐粋€(gè)筆筒代表了100根小棒，而不是10根，所以最后的結(jié)果肯定大于100。

理解算理是提煉算法、形成運(yùn)算技能的基礎(chǔ)和前提。教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過擺小棒的方式把抽象的除法變成直觀生動的“平均分”的過程。在分小棒的過程中，學(xué)生主要解決了兩個(gè)問題：一是小棒的數(shù)量問題。由于需要的小棒較多，學(xué)生創(chuàng)造性地提出用筆筒代表100根小棒，這就使得操作過程大大簡化;二是十位不夠商1的問題。1捆小棒不能分成3份（必須是整捆），因此需要把這捆小棒拆開，與另外5根小棒合并，從而把這15根小棒平均分成3份，這是學(xué)生理解“商的中間有0的除法”的關(guān)鍵所在。

三、概括算法，形成技能

數(shù)學(xué)特級教師曹培英認(rèn)為，算法和算理是運(yùn)算能力的一體兩翼， 尤其是在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中， 兩者相輔相成， 不可偏廢。因此，學(xué)生僅僅理解了算理還不夠，教師必須溝通算理與算法的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從算理中提煉出算法。只有這樣，才能有效促進(jìn)算法的生成，并最終促進(jìn)運(yùn)算技能的發(fā)展。算法是人們經(jīng)過長期的實(shí)踐探索逐漸優(yōu)化而成的，它經(jīng)常表現(xiàn)為一種有著嚴(yán)密規(guī)范的操作性程序。實(shí)現(xiàn)從算理到算法的過渡，教師可從以下三點(diǎn)進(jìn)行把握：一是算法的生成必須以透徹理解算理為基礎(chǔ)。如果學(xué)生不能充分理解算理，所習(xí)得的算法必然是膚淺的、機(jī)械式的，缺乏靈活性和創(chuàng)造性的。二是準(zhǔn)確把握歸納算法的時(shí)機(jī)。如果提煉算法過早，學(xué)生對算理的理解不透徹，會影響學(xué)生對算法的把握，如果遲遲不提煉算法，使學(xué)生在算理中盤桓不前，就無法形成真正的運(yùn)算技能，運(yùn)算教學(xué)就會淪為“紙上談兵”。三是引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)學(xué)語言歸納算法。學(xué)生不但要會用算式演算，還要懂得其中的道理，能夠用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出每一步的含義，唯有如此才算得上真正的理解。

師：同學(xué)們能夠根據(jù)剛才的擺小棒過程，并結(jié)合學(xué)過的列豎式的經(jīng)驗(yàn)，自己“發(fā)明”出315÷3的豎式嗎？

（學(xué)生嘗試書寫豎式，教師收集了3種學(xué)生書寫的算式）

師：這3種豎式中，哪一種是正確的呢？

（學(xué)生認(rèn)為圖3是正確的）

師：前兩種豎式演算錯(cuò)在哪里？

生1：圖1中，商中的5應(yīng)該寫在個(gè)位上，因?yàn)樽詈笫前?5根小棒分成3份，每份是5根，如果像圖1那樣寫在十位上，就變成50根了。

生2：圖2中，商的百位是1，個(gè)位是5，十位怎么能空著呢？當(dāng)十位不夠商1時(shí)，應(yīng)該用0來補(bǔ)齊。

師：十位上的0有什么作用？

生3：十位上的0是用來占位的。

師：你能結(jié)合分小棒的過程，說一說圖3中每一步的意思嗎？

生4：先用百位上的3除以3，商1個(gè)百，所以把1寫在百位，這就相當(dāng)于把300根小棒（3個(gè)筆筒）平均分成3份，1份是100根小棒（1個(gè)筆筒）;再用十位上的1除以3，不夠商1，就把這個(gè)1退位與5合在一起變成15，15除以3商5，把5寫在個(gè)位上，這就相當(dāng)于把1整捆小棒拆開，與剩下的5根小棒合成15根小棒，然后平均分成3份，每份是5根小棒。由于十位上沒有數(shù)，所以用0來占位。

教學(xué)中，教師把分小棒的過程與算式演算緊密結(jié)合，打通了理解算理與構(gòu)建算法之間的關(guān)聯(lián)，使得算理與算法之間的聯(lián)系變得順暢起來。學(xué)生把算法中的步驟與小棒操作聯(lián)系起來，使得算法中的每一步都有章可循，使得抽象的豎式變得生動起來。

學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)和提升不能一蹴而就。隨著年級的增加，數(shù)學(xué)計(jì)算變得越來越復(fù)雜，學(xué)生可能會遇到各種新問題。但是，運(yùn)算教學(xué)是有章可循的，只要教師兼顧算理與算法，實(shí)現(xiàn)二者的有機(jī)融合，就能夠促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算能力的提升。

（責(zé)編 羅 艷）