一道最大值高考模擬題的探究

湖南省會同縣第一中學(418300) 于先金 楊 瑜

一、試題呈現,簡潔對稱

題目(江蘇省鎮江市2018 屆高三上學期期末(一模)統考試題第13 題)設a,b ∈R,且a+b=4,則的最大值為____.

這道試題簡潔、對稱、優美,設有陷阱并有一定難度,主要考查轉化化歸思想與運算能力, 考查基本不等式的應用,考查的核心素養是邏輯推理和數學運算.

二、幾點疑問,引發探究

不少學生一拿到這道題,認為這還不簡單,這是一道填空題,只要結果不要過程,根據題設條件和目標式的對稱性,顯然應該當a=b=2 時,y=取得最大值,所以所要求的最大值為

答案錯了! 錯在哪里?

對這道模擬題,各種資料和網上都這樣寫道: 本題考查的內容是基本不等式,是一道原創題,考查的技能和能力是轉化化歸思想與運算能力,答案是遺憾的是都沒有給出詳細的解答過程,也許是解答過程過于簡單的緣故.

三、解法探究,殊途同歸

解法1(化歸一元,不等放縮)

因為a+b=4,所以可將目標式通分化簡

因為a+b= 4,所以16 = (a+b)2=a2+b2+2ab≥2ab+2ab= 4ab,所以ab≤4.令x= 9?ab,所以x≥5,當且僅當x=即x=時等號成立.所以的得最大值為

這種解法也許是命題人所希望的解法,真正體現了轉化化歸思想,考查了學生的運算能力,考查的數學核心素養是邏輯推理和數學運算.

解法2(導數登臺,單調唱戲)

由解法1 得y=及ab≤4,令x=ab,則y=f(x)=其中x ∈(?∞,4].易求得從而f(x) 在區間(?∞,9?上單調遞增, 在區間上單調遞減,則所以的得最大值為由上可知,當x →?∞時,f(x)→0,所以y的取值范圍是

利用函數的單調性來解最值問題,對函數值的變化情況就一目了然了.

解法3(均值換元,判別式法)

因為a+b=4,令a=2?t,b=2+t,所以y=令t2+ 5 =x, 所以x≥ 5,y=即yx2?(16y+ 2)x+ 80y= 0.因為y ＞0,x≥5, 所以?= (16y+2)2?320y2≥0, 即16y2?16y ?1 ≤0, 解得0＜y≤又當x=時,y=所以的得最大值為

四、推廣探究,開拓視野

推廣1 設a,b ∈R, 且a+b= 4, 0＜k≤12, 則的最大值為

證明(換元化歸,不等式法)

因為a+b= 4,所以a2+b2= 16?2ab,且ab≤4,令于是

令x=k+8?ab≥k+4,所以ab=k+8?x≤4.所以

y≤當且僅當x=即x=時等號成立.因為0＜k≤12, 所以≥k+ 4 成立.所以的最大值為

推廣2設a,b ∈R, 且a+b= 2m,m≥則的最大值為

更一般地,我們有:

推廣3設a,b ∈R,且a+b= 2m,3m2≥k ＞0,則的最大值為

類似于推廣1 的證明,不難證明推廣2、3,證明略.

推廣4設a,b ∈R,且a+b=4,則的最大值為

證明(換元化歸,利用單調)

因為a+b=4,易求得a3+b3=4(16?3ab),且ab≤4.令y=易求得y=令x=ab, 則y=f(x) =其中x ∈(?∞,4].易求得f′(x) ==從而f(x) 在區間(?∞,4?上單調遞減,在區間

對于如下問題,有興趣的讀者可作進一步探究:

問題1若正數a,b滿足a+b= 4, 求(n ∈N,n≥4)的最大值.

問題2若正數設a,b,c滿足a+b+c= 4, 求的最大值.

問題3設正實數a1,a2,··· ,an(n ∈N,n≥3) 滿足a1+a2+···+an=4,求的最大值.

五、變式探究,精彩紛呈

變式1已知正數a,b滿足a+b=4,則的最大值為

變式2已知正數a,b滿足a+b=4,則的最大值為

類似于原模擬題的解法,不難證明變式1、2,證明略.

變式3已知正數a,b滿足a+b=1,則的最大值為

證明(代入消元,一步到位)

因為正數a,b滿足a+b=1,所以b=1?a.所以

當且僅當a+1=即時等號成立.所以的最大值為

變式4已知正數a,b滿足a+b=4,則的最大值為

類似于變式3 的證明,不難證明變式4,證明略.

變式5已知正數a,b,m,n, 且a+b= 4, 則的最小值為

由柯西不等式可知,結論顯然成立,證明略.

變式6已知正數a,b滿足a+b=4,則的最小值為

證明(利用原解,函數性質)

由原題的解法2 得y=f(x) =x ∈(0,4],f(x) 在區間(0,9?√上單調遞增, 在區間上單調遞減,又f(0)=所以f(x)的最小值為所以的得最小值為

變式7已知正數a,b滿足a+b=4,則的最小值為

變式8設正實數a1,a2,··· ,an滿足a1+a2+···+an=nr,m ＞1,0＜k ＜則的最小值為

證明(加權凹凸,化難為易)

由加權不等式可得

所以

所以

因為m ＞1,0＜k ＜所以0＜＜1,由函數的凹凸可知

所以

所以

當且僅當a1=a2=···=an=r時等號成立.所以的最小值為

特別地, 如果正數a,b,c滿足a+b+c= 4, 則的最小值為(在變式8 中,取n=3,m=2,k=1,r=便可.)

六、一點思考,教學相長

數學是有用的,數學是自然的,數學是清楚的,數學是優美的,數學是好玩的.

在數學教學中,時常會遇到各種各樣的問題,這時我們要善于引導學生積極開動腦筋,樂于思考,勤于思考,善于思考,逐步培養學生獨立思考的習慣,引導學生進行探究.

探究必須植根于具體問題之中.探究是一個計劃、行動、反思,再計劃、再行動、再反思的過程.探究不僅是一把金鑰匙,幫助我們打開智慧殿堂的大門;探究還是一葉方舟,承載我們到達理想的彼岸.在教學中,要為學生提供微探究的機會,讓學生在探究中體會到學習的快樂,體會到“數學好玩”,讓探究成為一種習慣.