一個二元條件極值問題的解法探析

安徽省蕪湖市第一中學(241000) 劉海濤

《中國高考評價體系》指出:“高考要求學生能夠觸類旁通、融會貫通,既包括同一層面、橫向的交互融合,也包括不同層面之間、縱向的融會貫通”.在教學過程中,對于一些典型問題,如果我們能夠從不同角度思考,尋求不同的解法,以一題多解的方式尋求知識間的內在聯系,構建知識的網絡體系,加深對問題的本質認識,定會拓寬解題視野,發散解題思維,提升學習興趣,提高解題能力.在清華大學2020年9月舉辦的中學生標準學術能力測試中,有一道二元二次函數最值題,筆者從四個角度予以分析,給出8 種解法,現與讀者分享交流.

1 試題呈現與分析

題目(2020 清華中學生標準能力測試理科第16 題)已知實數x,y滿足4x+y+2xy+1=0,則x2+y2+x+4y的最小值為____.

分析該題形式上以二元二次方程為背景命題,主要考查分析、解決二元二次問題的能力,強化對轉化與化歸、函數與方程、消元與不等式求最值等數學思想方法的考查,體現了邏輯推理、數學運算、直觀抽象等數學核心素養.試題結構雖簡單、明了,但內涵豐富[2],值得研究,以發揮該題的最大價值.

2 解法探究

角度一: 借助不等式,化等式為不等式求出最值

解法1(消元+基本不等式法)由4x+y+2xy+1=0得y=則

評注化二元為一元是解決二元函數的最直接做法,通法是消去其中一個變量,得到關于另一變量的函數,接著利用不等式、對勾函數、求導等求出最值.

解法2(因式分解+基本不等式法)由4x+y+2xy+1=0 得(2x+1)(y+2)=1,則

評注通過代數化簡, 發現問題可轉化關于2x+1 與y+2 的問題,特征為積為定值,求關于平方和的最小值,自然借助基本不等式求最值.

解法3(配湊+基本不等式法)設

又4x+y+2xy+1=0,則t ?1=(x+y)2+5(x+y),即而

當且僅當x+=y+2 時取等號, 所以t+≥2, 即t≥故x2+y2+x+4y取最小值

評注發現目標式中的與條件式中的相加恰好湊成完全平方式,接著利用基本不等式求出(x+y)+的范圍,最后得到答案.

角度二: 借助三角,轉化為三角函數最值題

解法4(三角換元法)設

由

知x+與y+2 均不為零,再設代入(2x+1)(y+2)?1=0,得a2sin 2θ=1,即a2=當θ=kπ+(k ∈Z)時a2取最小值為1,故x2+y2+x+4y取最小值

評注著眼于目標式的特征,三角換元帶入條件式,得到利用三角函數的取值范圍得到a2的最小值.

角度三: 數形結合,挖掘問題幾何背景

解法5(換元+數形結合法)設u=x+,v=y+2,則uv=,x2+y2+x+4y=u2+v2?,再設u2+v2=a2,則問題轉化為求a2?的最小值.

如圖, 容易知道動圓u2+v2=a2與雙曲線uv=相切,對應著a2的最小值, 設切點為(u0,v0),則公切線有兩種表示方程:u0u+v0v=a2,u0v+v0u=1, 則相切時a2= 1, 即所以故x2+y2+x+4y的最小值為

評注在解法2 的基礎上, 換元后根據式子特征, 發現問題可以轉化為動圓與雙曲線有公共點的問題, 結合圖像不難發現相切為所求最小值對應情形.另外,二次曲線Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 以其上點(x0,y0)為切點的切線方程是Ax0x+

角度四: 回歸函數本質,多元函數找對策

解法6(函數偏導法)設

對x求導得

解得x=y=?2, 此時t=故x2+y2+x+4y的最小值為

解法7(拉格朗日乘數法)設函數

令f(x,y,λ)對x,y,λ的一階偏導數為零,則

解得

經驗證, 當x=?2,λ=?1 或x=?2,λ=?1 時x2+y2+x+4y取最小值

評注函數偏導法與拉格朗日乘數法都是是高等數學背景下的解法,提供給讀者參考.

3 教學啟示

數學解題的目的是什么? 是求出問題的答案嗎? 是,但不全是! 解題的目的是鞏固數學基礎知識、落實數學基本技能、感悟數學思想方法、提升數學思維活動經驗,所以對一道典型問題的多角度分析與解答是非常有必要的.用多種方法解答同一道數學題, 不僅能更牢固地掌握相關的數學知識,還能更靈活地運用所學知識.通過一題多解,分析、比較各種解法,可以找到最佳的解題途徑,從而發散學生的思維能力,對鞏固知識和解題能力大有裨益,是提高數學成績的一條捷徑[3].但是我們在日常學習中,要結合自身掌握程度和實際情況,選擇最佳的解題方法,不要一味追求某一種解法,要學會從不同解法中汲取不同的數學思想,提高自身的數學核心素養[4].