光滑橢圓曲面上質點下滑問題討論

李開瑋

（廣東理工學院 廣東肇慶 526100）

一、問題來源

如圖1 所示，表面光滑的橢圓曲面固定在水平面上，長半軸為a，短半軸為b，一質量為m 的質點由頂端下滑，求解質點離開橢圓曲面時的速度及所用時間.

圖1 問題示意圖

分析： 如圖2 所示，設質點速度為v，質點與橢圓中心連線與豎直方向夾角為θ，質點所在位置法線與水平方向角為α，橢圓對質點支持力為N， 以橢圓中心為原點，水平方向為x 軸，豎直方向為y 軸，建立直角坐標系，則橢圓方程為：

設橢圓參數方程為：

設質點坐標為(x，y)，質點所在處斜率為：

則質點所在處法線的斜率為：

由（4）可得：

質點所在位置曲率半徑為：

根據功能原理有：

當N=0 時，質點將與橢圓面分離，此時根據受力分析有：

由（1）～（8）解得：

設分離時位置為φ=φ1，根據卡爾丹公式法解（9）中第二式得：

由（10）可知cosφ1與橢圓長短軸之比a/b 有關，利用MATLAB 作出了質點分離時下落高度與b 之比(b-y)/b 與a/b 的關系曲線，如圖3 所示，隨著a/b 的增大，質點分離時的位置越接近曲面底部。質點與橢圓面分離時，運動時間為：

若給出具體的a、b，由（11）作積分即可算出運動時間。

圖2 質點受力分析示意圖

圖3 (b-y)/b隨著a/b變化曲線

二、問題拓展

若橢圓曲面不固定，質量為M，質點將在什么位置與橢圓分離？

分析：當橢圓不固定時，質點向右下滑的同時，橢圓將向左運動，兩者在水平方向動量守恒，設質點相對于地面水平速度為v1x，豎直方向速度v1y，相對于橢圓速度為v2，橢圓相對地面速度為v3，根據相對運動關系有：

對質點與橢圓系統根據功能原理和動量守恒有：

令K=M/m，由（12）～（15）解得：

當N=0 時，橢圓曲面水平方向受力平衡，為慣性參考系，以橢圓為參考系，對質點根據圓周運動規律有：

由(5)、(6)、(16)、(19)解得：

設分離位置為φ=φ2，由（20）可知cosφ2與曲面跟質點質量之比k，橢圓長短軸之比a/b 有關，當k=1，a/b=2 時，式（20）變為：

上式中cos α 由式（5）給出。對比式（11）、式（22）以及φ2＜φ1，可知t2＜t1，若給出具體的a、b、k，由式（22）作積分即可算出運動時間。

三、結束語

本文探討了質點沿橢圓曲面下滑的問題，給出了質點的速度表達式、質點與橢圓分離的位置，以及質點運動時間公式。當橢圓曲面固定時，參數φ=φ1時，質點與橢圓曲面分離，當橢圓曲面不固定時，質點將與橢圓分離時下滑的高度變小，運動時間變少，且橢圓與質點質量之比越大，分離的位置越接近橢圓曲面固定時分離的位置，當橢圓的長短軸之比a/b 越大，分離的位置越接近橢圓曲面底部。