從“經驗性理解”走向“結構化理解”

張敏

[摘 ?要] 數學理解性學習的層級發展觀認為，學習者在數學學習的過程中會相繼經歷經驗性理解、形式化理解、結構化理解和文化性理解四個發展階段。以此為指導，在“圖形的旋轉”教學中，以學生的生活經驗為基礎，通過搭建認知腳手架，構建立體知識網，實現“經驗性”向“形式化”以及“數學化”向“結構化”的不斷發展，并在各個理解層級中滲透數學文化，使得學生對旋轉的本質達到深刻理解，空間觀念得以發展。

[關鍵詞] 理解性學習;認知腳手架;聯系;空間觀念

數學理解性學習的層級發展觀認為[1]：作為過程，數學理解性學習追求的是在數學學習的歷程中對數學的理解不斷深入與拓展，學習者在數學學習的過程中會相繼經歷經驗性理解、形式化理解、結構化理解和文化性理解四個發展階段。隨著學習過程的不斷深入，學習者對知識的理解趨于精細與深入，淺層經驗逐步發展為深層經驗，單一的形式化理解逐步發展到具有關聯性的結構化理解，并達到深刻的文化性體察與感受。

蘇教版教材四年級下冊“圖形的旋轉”是“圖形的運動”板塊的學習內容，通過學習使學生能從運動變化的角度去探索和認識空間與圖形，領會圖形運動的方式、規律、特點，積累圖形運動的經驗，從而發展學生的空間觀念。學生已在三年級上冊結合實例初步感知生活中的旋轉現象，本節課是在此基礎上，從旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度三個方面引導學生觀察和描述圖形的旋轉，建構旋轉概念。

學習難點主要有兩個：一是體會旋轉的基本特征，即旋轉前后圖形的位置改變，形狀和大小不變：二是在方格紙上將簡單圖形旋轉90°。教學中，教師要引導學生從熟悉的生活現象入手，通過“觀察”“比較”“描述”等活動，把握旋轉的三個要素;將生活中的旋轉現象抽象成圖形的旋轉，以線段的旋轉為中介，經歷“操作、描述、想象”的過程，使得學習活動從直覺水平向聯系水平過渡，從“經驗性理解”走向“結構化理解”，把握圖形旋轉前后的變化情況，積累幾何活動經驗，形成空間表象，發展空間觀念。

一、依托生活原型，提煉生活經驗

1. 師（出示鐘表圖）：同學們，屏幕上的這只鐘表，它的指針一直在運動，這種運動叫什么？

生（齊）：旋轉。

師：你們在生活中還見過哪些旋轉現象？（學生答略）

師：屏幕上有兩只風車，我們吹口氣，讓它們旋轉起來。仔細觀察，這兩只風車的旋轉，有什么不一樣？

生（齊）：旋轉方向不一樣。

師：左邊這只風車，與鐘表指針的旋轉方向是一致的，這叫順時針旋轉。

學生伸手比畫順時針旋轉。

師：右邊這只風車，與鐘表指針的旋轉方向是相反的，這叫逆時針旋轉。

學生伸手比畫逆時針旋轉。

師：通過觀察和比較，我們發現旋轉的方向有兩種，要么是順時針旋轉，要么是逆時針旋轉。（教師板書）

2. 師（動態出示車輛進出小區時轉桿的運動）：轉桿打開和關閉的過程，也是旋轉吧？這兩次旋轉又有什么相同點和不同點？能不能用身邊的物品，來模擬一下這兩個旋轉的過程，再和同桌說說你的發現。

學生模擬并交流。

3. 師：誰來一邊模擬，一邊說說？

生1：相同點是都有一個點固定不動，繞著這個固定點旋轉的。

師：這個點叫作旋轉中心，如果給它用字母O表示，就叫繞O點旋轉。

生2：相同點是都旋轉了90°。（教師在PPT上呈現用三角尺驗證的過程）

生2：不同的是旋轉方向，打開時是順時針旋轉，關閉時是逆時針旋轉。

4. 師：一起來完整地說一說，這兩次轉桿分別是怎么旋轉的？

生（齊）：繞點O順時針旋轉90°，繞點O逆時針旋轉90°。

5. 師：現在，你們能不能總結一下，怎樣才能把旋轉運動準確、完整地描述出來？

生（齊）：要講清旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度。（教師板書）

學生在日常生活中通過觀察已經積累了大量的對于旋轉現象的感性經驗，經由三年級的學習，對這種感性經驗又進行了一定程度的提煉，這些都構成了對旋轉三個要素認識的基礎。教學過程中，教師依托生活原型，通過觀察、比較、動作模擬等將這些感性經驗進行數學化的描述。

本環節中，教師從生活中的旋轉現象入手，引導學生將兩個風車的旋轉進行比較，將學生的關注點聚焦到旋轉方向上來，通過與鐘表指針旋轉方向的比對，以及手勢、動作等模擬，將兩種旋轉方向表征于心。而教材中選擇的轉桿的旋轉可以看作是線段旋轉的生活原型，通過對轉桿打開和關閉過程的動作模擬，教師用語言描述兩種不同旋轉的內隱的對比體驗，從而使學生把握旋轉運動的三個要素，完整準確地用數學語言描述旋轉運動。

二、聚焦關鍵線段，把握旋轉特征

1. 師：剛剛我們描述的，都是生活中的旋轉現象。如果把轉桿用線段AB進行表示，畫在方格紙上，你能說說這條線段是怎樣運動的嗎？

生1：繞點B順時針旋轉90°。

師：線段在旋轉之前和之后，不變的是什么？

生2：點B的位置不變，線段的長度不變。 （教師板書：定點、定長）

師：這條線段，改變它的旋轉中心和旋轉方向。讓它繞點A逆時針旋轉90°，你能把旋轉后的線段畫出來嗎？

學生在練習紙上嘗試。

師：這里有兩幅作品，判斷一下誰畫得對？另一幅有什么問題？（學生答略）

師：根據大家易犯的錯誤，誰來給大家一個提醒，畫圖的時候要注意些什么？

生3：旋轉中心點A位置不能變;旋轉后的線段和原線段成90°;旋轉后的線段長度不變。

2. 師：線段的旋轉是解決平面圖形旋轉問題的基礎，因為很多平面圖形都是由線段圍成的，比如說——三角形。（出示三角形ABC）你會把此三角形繞點A逆時針旋轉90°嗎？

教師給學生準備了小三角形，請他們在方格紙上按要求試著轉一轉，在紙上畫一畫旋轉后的三角形。

學生用三角形紙片旋轉，并嘗試畫圖。

3. 師：請兩位同學上來交流。

生1演示旋轉的過程。

師：在旋轉時，你覺得要注意些什么？

生1：旋轉時要用手按著三角形的頂點A，因為頂點的位置不能變。

師：你們和他是一樣旋轉的嗎？你們怎么知道轉到這里就是逆時針旋轉了90°呢？

生2：可以看AB這條邊，它繞點A逆時針旋轉了90°。

生3：也可以看另一條邊AC，它也繞點A逆時針旋轉了90°。

師：以A為端點的兩條邊，都逆時針旋轉了90°，整個三角形就是逆時針旋轉了90°，對吧？其實，邊BC也與原來成90°。

生2（介紹畫法）：A點不動，先畫出邊AB繞點A逆時針旋轉了90°的線段，再畫出邊AC繞點A逆時針旋轉了90°的線段，最后畫出邊BC。

師：老師這里還有兩幅作品，你們看看，有什么想說的？

學生評價，教師相機板書：定點、定形。

師：我們把大家旋轉和畫圖的經驗，總結一下，看屏幕。（播放旋轉和畫圖的動畫、錄音）

“旋轉”的基本特征是圖形旋轉前后“對應點到旋轉中心的距離相等，并且各組對應點與旋轉中心連線的夾角都等于旋轉的角度”，即：“圖形旋轉后只是位置發生變化，形狀和大小都沒有變化”。如何能夠對這一特征有較為深刻的認識，并能夠利用這一特征畫出旋轉后的圖形，特別是平面圖形的旋轉涉及對圖形上的多個頂點與多條邊的考量，對學生來說具有不小的難度。教學中，搭建認知的“腳手架”就顯得十分重要。

在本環節中，學生首先認識線段的旋轉。在前面對旋轉三要素準確把握的基礎上，將生活場景中的轉桿抽象成線段畫在方格圖中，經歷語言描述和作圖兩個層次的活動，從數學的角度理解線段旋轉的特點，即定點、定長，為后面刻畫三角形的旋轉打下基礎。

以線段的旋轉為基礎，為進一步充分把握平面圖形的旋轉的特征，組織了三個層次的活動。第一層次，教師為學生提供三角形紙片，讓學生在動手實操的基礎上，引導交流操作時的注意點，并組織學生討論：如何確定是逆時針旋轉了90°，在討論中將平面圖形的旋轉，聚焦為以旋轉中心為端點的關鍵線段的旋轉。第二層次，帶著操作、交流得到的感悟，教師組織學生畫出旋轉后的三角形，并對畫圖的過程與操作旋轉三角形紙片的過程相對應，進行討論與交流，進一步強化體驗。第三層次，教師比較學生畫圖的正反例，總結出平面圖形旋轉的特點：定點、定形。

三、多維分層練習，促進深度理解

1. 師：方格能夠幫助我們確定旋轉角度，如果把方格去掉，你還能準確判斷圖形是怎么旋轉的嗎？（出示如圖2、圖3）

學生討論后匯報：三角形繞A點逆時針旋轉90°。

師：是從哪看出來逆時針旋轉90°的？

生1：可以看AB這條邊，它與旋轉之前的角度是90°。（教師用PPT呈現三角尺的驗證過程）

生2：也可以看AC這條邊，它與旋轉之前的角度是90°。（教師用PPT呈現三角尺的驗證過程）

圖3討論略。

師：你們在判斷時有什么技巧？

生（齊）：只看以旋轉中心A為端點的2條邊，就可以確定整個圖形是怎么旋轉的了。

2. 師：長方形也有4條邊，繞A點順時針旋轉90°，可以考慮哪兩條線段？想象一下它旋轉后的樣子，用手指對著屏幕畫一畫。

繞B點順時針旋轉90°，要考慮哪兩條線段？繞C點順時針旋轉90°，繞D點順時針旋轉90°呢？（學生交流、想象）

師：請同學們按自己練習紙上的要求，畫出長方形旋轉后的圖形。（學生分組畫出繞點A、B、C、D順時針旋轉90°后的長方形）

教師展示學生作品，并評價。

師：比較一下這四幅圖（圖4）中的旋轉，你們有什么想說的？

生（齊）：同樣一個圖形，旋轉中心不同，產生的圖形就不同。

3. 師：老師這里還有三個圖案（圖5），它們有什么共同特點？

生：都是由同樣的兩個圖形組成的。

師：你能旋轉每組中的一個圖形，使每組圖形都變成一個長方形嗎？

學生討論：每一組圖形，只要把哪兩條線段重合在一起，就能組成長方形了？要想把它們重合，在腦中想象一下，應該怎么旋轉呢？

交流：第一組圖形，可以把1號繞點O逆時針旋轉90°，也可以把2號繞點O順時針旋轉90°。（PPT展示）

師：比較這兩種不同的旋轉，有什么發現？

生（齊）：旋轉兩個不同的圖形，方向正好相反，都可以組成長方形。

師：第二組圖案，你們想旋轉幾號？第三組圖案，誰能把兩種旋轉方法都說出來？

（學生交流略。）

師：通過旋轉，還可以把不規則的圖形，轉化成規則的長方形，這種方法在我們以后的學習中還會用到。

要達到對旋轉的特征的深刻理解與把握，還需要學生從不同的角度，在豐富的空間想象活動中完善體驗，進一步體會圖形的旋轉與圖形中每一條邊的旋轉的一致性，從而準確把握旋轉運動的特征。

在此環節中，教師設計了三個分層練習：練習一是在沒有方格圖背景的情況下判斷圖形是如何旋轉的，學生只能通過對應線段的旋轉來判斷整個圖形的旋轉，強化了線段的旋轉與圖形旋轉之間的聯系;練習二則是將一個長方形繞不同的頂點旋轉，首先要考慮的就是以旋轉中心為端點的兩條邊旋轉后的位置，再根據這兩條邊確定整個長方形旋轉后的位置;練習三引導學生關注要將哪兩條邊重合在一起，仍然是根據圖形中的一條邊的位置確定整個圖形的旋轉，同時幫助學生體會通過旋轉進行圖形轉化的方法，為學習多邊形面積計算公式的推導做準備。三個層次的練習都聚焦于平面圖形中以旋轉中心為端點的邊的旋轉，都經歷了觀察、想象、驗證的過程，在一定程度上達到了對學生空間想象能力的訓練與培養。

四、拓展認知視野，增強空間觀念

1. 師：剛才的練習中我們以長方形ABCD的四個頂點為中心旋轉，其實還可以長方形內部的某個點為中心旋轉，比如說這里的M、N點（如圖6所示），順時針連續旋轉，會產生不同的圖案，一起欣賞一下。（動態展示連續旋轉產生圖案的過程）

師：平面上很多美麗的圖案都是這樣通過一個圖形旋轉得來的，大家課后也可以用不同的圖案試試。

師：大家剛上課提到開門和關門時，門也是旋轉的，把門用長方形表示（PPT動態出示，圖7），大家能不能準確地描述一下，開門時，長方形是怎么旋轉的？關門時呢？

生（齊）：開門時，長方形繞BC邊逆時針旋轉90°;關門時，長方形繞BC邊順時針旋轉90°。（PPT驗證旋轉角度）

師：在這里長方形的旋轉與前面大家畫的長方形的旋轉，有什么不一樣？

生1：前面的長方形是在平面上旋轉的，而這里的長方形是在空間中旋轉的。

生2：在平面上旋轉，旋轉中心是一個點;而在空間中旋轉，旋轉中心是一條線。

生3：平面上的旋轉要定點、定形，空間中的旋轉是定線、定形。

師：有什么相同之處嗎？

生3：都是要從旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度三個方面進行描述。

師：如果這個長方形繞BC邊連續旋轉，你們想象一下，會產生什么圖形？

生（齊）：圓柱體。（PPT動態呈現，圖8）

師：其他的平面圖形，如三角形、半圓，繞一條邊連續旋轉，會產生什么圖形？

生（齊）：圓錐、球。（PPT動態呈現）

學生空間觀念的形成，有賴于在線與面、面與面、面與體之間的變化與聯系中去不斷深化認識，而旋轉現象正是能夠體現這種變化與聯系的運動方式，因此教學中教師應該有意識地提供相關的素材，組織學生觀察、比較、體驗。

在本環節中，通過欣賞相同的長方形繞不同的點連續旋轉所產生的圖案，讓學生體驗旋轉中心對于旋轉運動的重要意義，感受數學美、幾何美;進而以生活中門的旋轉現象為原型，準確描述長方形在空間中繞一條邊的旋轉，拓寬對旋轉中心的認識、訓練學生的空間想象能力，為后續學習圓柱、圓錐等知識做一定的鋪墊。將學生對圖形的旋轉的認識，從平面擴展到空間，同時溝通相互間的聯系，有意識地發展學生的空間觀念。

五、回顧總結反思，提升學習體驗

師：通過今天的學習，你有什么收獲？

生1：旋轉的三個要素是旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度。

生2：學會描述圖形的旋轉和畫旋轉的圖形。

生3：知道線段的旋轉要定點、定長;圖形的旋轉要定點、定形。

師：在圖形的旋轉中，只要做到了線段的定點、定長，就能夠做到圖形的定點、定形。其實這是一種重要的經驗：研究平面圖形，抓住其中最重要的幾條線段去進行研究、觀察、比較，能夠掌握整個圖形的運動變化特點。

回顧、總結、反思是提高元認知水平、提升學習能力的必要環節，學生不僅要對一節課所學的知識、技能進行總結，對學習的過程進行回顧，對學習的方法進行反思，更要對學習的經驗和策略進行提煉，站在一定的高度統攝前后相關學習內容，形成良好的認知結構。

此環節中，教師進一步引導學生明晰了線段的旋轉、平面圖形的旋轉之間的聯系，更重要的是，在學生總結回顧的基礎上通過教師的提煉，強化了學生根據圖形中的線段研究平面圖形的體驗，滲透了“部分與整體”之間關系的辯證思維，為以后研究平面圖形的其他知識積累感性經驗與理性經驗。

本節課中，從“定點、定長”到“定點、定形”再到“定線、定形”的概括，建立了線段的旋轉與平面圖形的旋轉之間的聯系，以及平面圖形繞固定點旋轉與繞固定線旋轉的聯系;將兩個完全一樣的圖形通過旋轉轉化成長方形的練習，與五年級學習多邊形面積計算公式的推導建立了有效聯系;以門的旋轉現象為原型，描述長方形在空間的旋轉，與六年級學習圓柱、圓錐等知識建立了聯系;通過欣賞相同的長方形繞不同的點連續旋轉所產生的圖案，與數學的美建立了聯系。在這些不同層面建立聯系的過程中，實現了“橫向數學化”與“縱向數學化”，并進一步走向高度的“結構化”，在各個層級中滲透數學文化，使得學生的直觀思維與抽象思維相互融通，感性經驗不斷豐富，理性經驗不斷提升，空間想象能力得到訓練，空間觀念得以發展。

參考文獻：

[1] ?呂林海. 數學理解性學習與教學：文化的視角[M]. 北京：教育科學出版社，2013.