高中數學概念教學中學生抽象思維的培養研究

孫小兵

[摘 ?要] 數學概念反映的是數學對象的一般的、本質的特征，這樣的特征是人們在認識過程中通過抽象思維概括出來的，從理論和實踐情況來看，高中數學概念教學是培養高中生抽象思維最關鍵的階段，這應該引起所有教師的重視. 但我們必須明確一點，即學生抽象思維的發展并非一蹴而就的，它的出發點和培養路程主要在形象思維上，以此為定點再去分析高中數學概念教學，設計基本的培養思路.

[關鍵詞] 數學概念;形象思維;抽象思維;培養思路

對高中數學概念教學的研究，如果出發點和路程不同，那么終點可能就不同，而且面對的路程的長度和難易度也可能不同，因此在概念教學之前教師關注的首要問題就是對抽象思維培養的出發點和培養路程的研究. 筆者通過多數文章理論的分析，以及多年高中數學教學經驗，認為學生抽象思維的發展離不開形象思維的培養，而且是以形象思維的培養為出發點和定點來發展抽象思維的，因此以形象思維引出抽象思維應該是數學概念教學中基本的培養思路和培養方法.

由形象思維引出抽象思維

有觀點認為，形象思維可以通過形象去把握那些難以用抽象概念把握的客體，可以通過情、境、形等手段去把握抽象思維所不能囊括的客體形象;借助形象思維，可以通過某種形象更快地揭示客體的整體本質. 對于這個觀點，筆者是認同的. 形象思維、抽象思維與概念教學之間存在相互緊密的聯系，筆者簡述其為“概念教學正是從形象看本質”，即形象思維可以幫助學生把握抽象概念，他們可以通過多種手段對客體的屬性進行分析、綜合、比較后抽象出客體的本質屬性.

因此，筆者認為在概念教學中從形象思維引出抽象思維這個策略是可行的，對形象思維的培養能夠幫助學生快速、完整地理解抽象的數學概念，然后反哺形象思維的提升. 在研究具體的教學設計和實施過程中，筆者發現該策略有這樣幾個要點：（1）由于客體的復雜性和多樣性，不同的學生對客體形象的認識是各不相同的，這需要教師對客體（概念）的本質屬性進行梳理并引導學生在教學過程中認識，這對教師的梳理能力、掌控能力和引導能力是一種嚴格的考驗. （2）形象思維的基礎是感性直觀認識，所以該策略的開始環節就是對情境的直觀想象，情境創設應該在學生實際生活的范圍之內. （3）學生思維是有差異性的，所以學生對概念的理解無論是深度、廣度還是時間都是各不相同的，對同班同一策略的實施要注重層次性和反思評價. （4）在該策略實施過程中，利用問題驅動學生思維碰撞，包括形象思維與抽象思維的碰撞、學生之間的思維碰撞、師生之間的思維碰撞. 了解從形象思維引出抽象思維策略的這些要點，有助教師在具體的教學設計和實施過程中能夠做好兩個重要方面的工作，培養學生的抽象思維：一是從學生視角認識客體形象，從形象出發挖掘抽象思維的落地點;二是在概念教學過程中尋找、完善有效的抽象思維培養途徑.

在概念教學中從形象思維引出抽象思維的培養思路

空洞的、臆造的、不可捉摸的抽象是不科學的抽象. 科學的、合乎邏輯的抽象思維是在社會實踐的基礎上形成的[1]. 從這句話可以知道，“靠近”社會實踐，是教師培養學生科學的、合乎邏輯的抽象思維的起點，也是從形象思維引出抽象思維的培養思路和途徑的起點，這應該引起師生在教學中的共同關注.

在概念教學中，從形象思維引出抽象思維的培養思路，以教師的角度來看，面對學生差異的思維能力，首先要熟悉的是在同一概念的教學中，學生的反應情況各是怎樣的，即學生接觸跟概念有關系的事物時意象、直觀、想象的在社會實踐中的形象各是什么;其次是面對不同的反應情況，通過相應手段和方法引導學生去除客體的非本質屬性，認識客體的本質屬性;由本質屬性的綜合、分析、概括，引導學生從本質上了解概念. 以學生的角度來看，初始接觸概念對其形象的表達，將社會實踐與數學語言聯系起來;課堂中與教師、同學異同點的分析、概括是認識概念本質屬性的重要環節;在完成例題中進一步了解、熟悉概念的本質屬性.

具體來說，在概念教學中，學生的反應情況可以通過與教師相互探討、課前或課堂的情境反應等方法或方式進行了解，通過問題引導學生用數學語言表達意象、直觀、想象的概念形象，然后利用實例、變式、比較、歸納等方法引導學生對表達的異同點進行思考和分析，歸納和認識概念的本質屬性，形成概念，最后通過例題、習題的練習回歸對概念的了解. 簡單來講，這是一條“依據感知—形象表達—概括本質屬性—形成概念—實踐運用”從形象思維引出抽象思維的完整的培養途徑，也是一個概念教學的過程. 這個途徑或過程不僅能培養學生的數學核心素養，也符合學生認知發展的規律.

策略在高中數學教學中的實踐應用

在實踐教學中，隨著培養思路的指向，筆者在此還要明確幾點：第一，情境創設要選取與概念內容密切相關的、典型的和學生的實際生活有聯系的素材. 第二，對學生的情境反應可在課前先做預備，針對性的問題可以避免課堂時間的浪費. 第三，雖然學生思維能力的差異化是現實存在的，但是在“形象表達”環節教師不能有所表現，盡量讓不同層次的學生都有表達機會，讓學生思維的異同點更多地顯示出來. 第四，在使用各種方法引導學生概括本質屬性時，在關鍵點要起到引導、提醒作用，而不是完全依托學生自主探索. 筆者在本文以“函數及其表示”為例，對策略在高中數學教學中的實踐應用進行說明.

在初中，學生已經學習了三種函數的表示方法——列表法、圖像法、解析式法，這三種函數的表示方法在學生的思維中可以說是非常深刻的，在人教版必修1“函數及其表示”教學中，當筆者提出函數定義的時候，大部分學生首先想到的就是這三種函數的表示方法. 甚至有學生認為，只有這三種表示方法的才是函數，除此之外就不是函數. 筆者認為，這對學生來說，并非太大的錯誤，因為他們在初中所接觸的函數就是這樣的——數集到數集的三種對應關系，他們并不了解對應關系是多變的，并非只有這三種. 因此，在高中函數定義的教學中，首先就是要讓學生明白他們所了解和掌握的并非函數的全部本質屬性——數集到數集上的對應關系、隨處定義、單值定義[2]，而只是本質屬性的一部分. 這不僅可以引起學生的新知碰撞，也可以解決多數學生的疑問：“為什么初中學了函數的概念，高中還要學呢？”（學生言語）筆者對此設計了幾個主要問題：

（1）回顧初中對函數的定義;

（2）如果你有一張電影票，你想到了什么？

（3）思考：y=1（x∈N）是函數嗎？y=x與y=是同一函數嗎？

（4）A，B是兩個非空數集，其元素之間存在一些對應關系，如圖1.

①它們的對應關系分別是什么？如果數集A的元素用x表示，數集B的元素用y表示，那么你能用初中所學的三種表達方法表示數集A和數集B的關系嗎？

②這三個對應關系有什么共同點？

（5）下列數集M到數集N的對應關系，不是函數的是（ ?）

在整個問題設計中，問題（1）和問題（2）通過學生已經學過的知識和實際生活的體驗，從對應關系的角度初步接觸函數的定義. 問題（3）引出新舊知識的認知沖突，將學生的思維引向課題——函數的定義，在此向學生表明：僅以函數的表達式無法確定函數的定義，我們需要重新對函數進行定義. 問題（4）的第一小問通過形象直觀的圖示讓學生進一步理解函數定義中的對應關系，并以此與初中的認知產生了聯系，可以鞏固學生對函數對應關系的理解;通過對第二小問的思考，開始逐步引出函數定義的三大本質屬性，拋棄非本質屬性，將學生引向函數定義的概括和總結. 問題（5）從正反兩個層面，將函數的概念應用于實踐案例上，鞏固學生對函數概念本質屬性的認識和了解. 從整體來看，問題（1）到問題（5）正是從形象思維引出抽象思維的培養途徑.

在數學概念教學中，對學生抽象思維的培養其實是圍繞“依據感知—形象表達—概括本質屬性—形成概念—實踐運用”這一主線，在教師的引導下對教材內容進行觀察、歸納、概括、運用的過程. 在這個過程中，抽象思維的培養很明顯離不開形象思維的培養，因此只有兩者都讓學生掌握了才可能真正達到對教材內容的把握.

參考文獻：

[1] ? 賀善侃.形象思維·抽象思維·科學認識[J]. 復旦學報（社會科學版），1998（04）.

[2] ? 吳曉濤.學習數學概念時要把握其本質屬性[J].考試周刊，2012（83）.

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