基于積極學習心理培養的“集合的概念”教學

管軍

[摘 ?要] 好的開始等于成功的一半！“集合的概念”是高中數學的開篇課，是學生步入高中最先學習的數學內容，集合的概念及其表示方式也是貫穿高中數學始終的重要知識，“開篇有益”對學生高中數學學習影響深遠，好的“開篇”應該催生出積極學習心理，幫助學生樹立正確的數學觀念和思維方式.

[關鍵詞] 集合;概念;積極學習心理;核心素養

“集合的概念”是學生步入高中的第一節課，同時集合又是貫穿高中數學始終的重要概念. “一個健全的心態比一百種智慧更有力量！”筆者認為，我們高中數學第一堂課除了要讓學生習得集合的概念外，還應該注重培養他們的數學思維方式和積極學習心理. 問題情境的創設應盡可能從學生熟悉的數學內容出發，消除“陌生感”，搭好“腳手架”，讓學生在第一節課就能體驗到探究的樂趣和成功的喜悅，形成正面力量，讓他們對學好整個高中數學知識產生期待，繼而更早地適應高中數學學習.

消除“陌生感”，催生積極學習心理

理解教學內容，把脈學生的學情基礎是上好課的前提. “集合的概念”是學生從初中走向高中的開篇課，“集合”是一種數學語言，因此也是學生跨越初中、高中后“用數學語言表達世界”的開始，新教材在情境的設置上做到了準確定位，有效銜接，能夠讓學生在第一次學習高中數學時感到既熟悉、有趣，又有深度，在理解概念的過程中消除知識陌生感，催生積極學習心理[1].

教材的設置從初中數學學習中容易完成的“作業”出發，展現了一堆數字，有“正數集合”“負數集合”“整數集合”“分數集合”，讓學生將數填到對應的“集合”中. 教材中的例題情境設置的目的是指導教師在選擇教學內容時可以從學生熟悉的，尤其是體驗過的，有成就感的數學內容出發，消除學生對高中數學知識學習的陌生感. 同時，自然生成問題.

問題1：生活中我們還有哪些與“整數集合”相似的例子？

學生可以列舉質數、奇數、偶數、實數等數學知識;也可以列舉諸如：家庭成員，班級男生、女生等例子. 這些例子的呈現不僅僅是簡單的模仿，而是在為抽象的“集合”概念建立提供感性認知基礎，同時自然聯系到“對象”“元素（元）”等次位概念.

問題2：什么是集合？

由“整數集合”到生活中的實例，讓學生對“集合”概念初步的認識顯得格外自然，從開始呈現的“初中作業”出發，聯系到“Venn圖”表示法（如圖1）（這一過程能夠讓學生看到直觀的“Venn圖”，而且讓學生感受到初中對其就熟悉只是不知其名而已），由此自然生成“有沒有更為簡明的數學語言表述呢？”這也為學生深度理解“一個且只有一個”的“確定性”本質特征做了鋪墊.

與老教材相比，新教材在“集合”概念的建立上顯得直接且更具有數學味. 不過，這不是讓我們教師直接拋出概念，而是要在第一課就讓學生意識到數學是“理性與抽象的結合物”，一個概念的建立必然會經歷從“分析具體對象”到“抽象數學概念”過程，在此過程中體悟數學思想，如“集合”概念的建立就滲透著整體思想（集合是一個整體，已暗含“所有”“全部”）. 聯系“初中數學概念”讓學生感悟到“數學概念”都是一些“對象”的集合，且揭示出集合內“對象（元）”的共同屬性. 而概念建立過程中讓學生類比著列舉生活中的例子（通過列舉可以讓學生感受到“對象”的廣泛性，即可視化的任何事物都可以成為“元素”），是豐富感性認識的過程，有利于學生對“集合”“元素”等概念的認識.

撘好“腳手架”，靜待素養自然生長

有效的學習一定是學生有意義自主建構的過程. 而學生從初中剛剛步入高中，自主建構不應該是“無根”生長的狀態. “集合的概念”這節課不僅僅只有“集合”這個概念，而是“概念組”課. 在“集合”的主概念下不僅有開始導入新課時的一系列“數集”，還涉及“元素”“相等集合”“子集”“補集”“空集”“有限集”“無限集”等概念，另外在概念建立的過程中還涉及諸多數學方法. 那么，如此多的內容在高中的第一節數學課上出現，在學生對“集合”有了初步的認識后，如何組織學生深度學習呢？筆者認為“灌輸”或“一問到底”均難以達到促進學生數學核心素養長足發展的要求，相反可能會導致部分學生因為體驗不足被“當頭一棒”，甚至會誘發“習得性無助”繼而怕數學. 高中數學起始階段教學正確的做法是結合教學內容和學生認知特點搭好“腳手架”，引領學生拾級而上，在實踐和解決具體的問題中實現核心素養的自然生長[2].

如，我們通過預設問題和適當引導給學生搭建“腳手架”，啟發學生在分析和解決問題的構成中自主歸納集合中元素的特征;教會學生用“列舉法”“描述法”描述集合;用具體的例題促進學生內化“元素與集合的關系”.

環節1：自主歸納集合中元素的特征

問題1：如果把咱們班全體同學看作一個集合，那么某次調整位置后該集合變化了嗎？

問題2：下列各組對象能夠構成集合的是哪些？（1）所有接近于0的數;（2）全體的近似值;（3）平面內到坐標原點距離等于1的所有的點.

借助于問題串引導學生在分析問題的過程中感受集合中的元素具有“確定性”（用于判斷元素是否組成集合的依據）、“無序性”（判斷集合是否發生變化的依據）、“互異性”等特征. 在學生弄清楚集合中元素的特征后，自然生成問題.

問題3：如何簡明表示元素和集合的確定性關系呢？

教師先引導學生用a∈A與a？埸A刻畫某元素a與集合A之間的關系，然后在此基礎上提出具體的問題促進概念內化.

問題4：若x為集合A中的元素且滿足x∈N，∈N，則A中的元素有哪些？

問題4是在問題3認知基礎上的延展，學生要解決問題4需要進行定量計算，探究易得A中的元素為0，1，2. 問題結果自然催生出新的認知需求，即如何表示集合A呢？借此可以向下一個環節自然銜接.

環節2：制造認知沖突讓“集合表示方法”自然生長

問題4的解決實際上就是“列舉”，借此介紹問題4中的集合可以用A={0，1，2}表示，自然銜接到用“列舉法”表示集合（觀察總結出“一一列舉”“大括號”“逗號隔開”等特征）. 接下來，可以以此為基礎繼續搭建腳手架，引導學生認知生長.

問題5：請同學們嘗試表示下列集合，

（1）在1～20范圍內所有素數組成的集合B;

（2）由方程x2=x所有的實數根組成的集合C;

（3）不等式x-3<7的解集D.

對于問題5中的（1）（2）是在學習了“列舉法”后的方法應用，學生可以用列舉法得到B={2，3，5，7，11，13，17，19};C={0，1}. 但是對于（3）的集合D，學生沒辦法用列舉法表示了，認知沖突形成，在建立“描述法”概念前，可以適當追問引發學生自主總結和歸納出“描述法”.

追問1：集合D中的元素有什么性質？元素和集合之間的關系如何表示呢？

教師先引導學生認清“共同特征”，歸納出一般的描述法{xp（x）}并完成問題5中的（3）;再以此為基礎繼續追問，引導學生在思考過程中實現認知范圍的發展.

追問2：所有整數的集合、偶數的集合、奇數的集合、有理數的集合如何表示呢？

追問3：你認為用描述法表示時，注意點有哪些呢？

學生認知是螺旋式發展的，“描述法”表示集合本身就是本節課的重點、難點，教學過程中不應急于求成，而要低起點、慢節奏、高密度設置臺階，靜待學生認知自然生長，體現“慢”的藝術. 借助于上述追問，學生通過交流與討論可以總結出用描述法表示的多個關注點：要寫清楚集合中元素的符號，如明晰點或數;要明確集合中元素的共同特征;不可以用未被說明的字母表示等等. 接著趁熱打鐵，用具體的數學情境引導學生解決問題，獲取成功體驗，催生積極心理品質，力求高達成[3].

問題6：請用描述法表示，

（1）大于4的所有偶數的集合;（{xx=2n，n∈Z且n≥3}）

（2）第一象限內所有的點的集合. （{（x，y）x>0，y>0}）

問題6的“腳手架”設置是前面3個追問的深度挖掘和延展，學生對描述法有了更為深刻的理解，此時教師可引導學生自主總結出用描述法表示集合的具體步驟. 這實際上是學生掌握“數學語言”的體現，在高中數學的第一節課教師就幫助學生樹立了“用數學語言表達現實世界”的意識，同時培養學生建模意識、提煉解決問題方法的意識，這無疑是學好高中數學的一個良好開端.

環節3：綜合性問題引導學生跳著摘桃

前面兩個環節幫助學生積攢了足夠的能量和經驗，最后可以嘗試著結合學生的學情，從最近發展區出發設置具有一定綜合性、能力要求較高的問題，要求學生跳一跳摘桃. 學生在解決復雜的綜合性問題的過程中獲得更大的成就感，從第一節課便開始注重培養自身的積極學習心理[4].

問題7：已知非空集合A滿足以下條件：若a∈A，則∈A，且1？埸A.

（1）若2∈A，試著分析并求出集合A中的其他元素;

（2）求證：若a∈A，則∈A;

（3）求證：集合A中的元素個數大于等于3.

問題7的解決指向集合與元素的綜合關系，三個子問題的設置指向本節課的所學內容，該問題的解決既是對學生學習效果的一種檢測，也是促進學生內化所學知識的載體.

當然，有效的“腳手架”一定是具有延展性的，如問題4中的集合A和問題5中的集合B與集合C可以作為下節課相關概念的“熟悉情境”，讓學生初步體驗數學概念之間的脈絡，為形成集合單元的思維導圖打實基石，探索積極學習心理的路徑，培植他們探索“未知”的信念，為實現“興趣是最好的老師”做實基本實踐.

結語

筆者認為：萬事開頭難，因此教師在教學集合單元第一課時，一定要認真研究學生已有的數學知識水平和數學素養水平，在備課環節預設學生熟悉的或是學生可能在課堂中生成的事例，以方便學生真實體驗數學概念建立的過程，讓每個學生都可以通過獨立思考并結合生生、師生合作學習獲得新知，催生他們的積極學習心理. 課后筆者再運用訪談、配套練習檢驗學生課堂學習的效果，幫助學生形成學習高中數學的閉環，同時培植學生深度學習的原動力. 為了讓“均衡教育”真正落地，教師必須扣緊學生學習高中數學的“第一顆扣子”.

參考文獻：

[1] ?陳婧亭.如何將操作經驗內化為數學經驗[J]. 教育實踐與研究，2012（1A）.

[2] ?湯炳興. 在概念教學中“學數學做數學用數學”[J]. 數學教育學報，2002，11（4）.

[3] ?王光明，佘文娟，廖晶，王兆云. 高效率數學學習高中生的元認知特征及其教學意義[J]. 教育科學研究，2017（4）.

[4] ?王光明，張曉敏，王兆云. 高中生高效率數學學習的智力特征研究[J]. 教育科學研究，2016（3）.