GeoGebra軟件在中學數學函數教學中的應用

朱釗

[摘 ?要] 函數是貫穿中學數學知識的主線，函數的概念及其性質是學生學習的重難點，且傳統教學較難突破. 文章例談了GeoGebra軟件在函數教學中的相關案例，包括函數的概念、單調性、奇偶性、各參數與函數圖像之間的關系，以及函數定點問題的相關案例，從數形結合的角度、以趣味的方式幫助學生發現并總結函數蘊藏的性質及變化規律，改善學生函數的學習方式.

[關鍵詞] 信息技術;GeoGebra;中學函數教學

引言

信息技術與中學數學課程相結合是新課程標準的理念之一. GeoGebra作為一款自由且跨平臺的動態數學軟件，兼具“函數”“圖表”“集合”等功能，能夠同時處理代數與幾何，能夠動態化對象，功能強大，使用簡單，交互性強[1]. 函數是現代數學最基本的概念，是描述客觀世界中變量關系和規律的最為基本的數學語言和工具，是貫穿中學數學知識的主線，函數的相關概念及其圖像與性質是學生學習的重難點. 對函數基本概念的不理解、對函數圖像的不明晰以及對函數模型的不敏感等是學生學習函數的慣性困境[2]，而傳統教學較難突破. 在此背景下，GeoGebra軟件的輔助教學可以使教學動態化、視覺化，從數形結合的角度、以趣味的方式幫助學生發現并總結函數蘊藏的性質及變化規律，改善學生函數學習方式，大大提高了數學學習效率.

函數概念的課件案例

1. 教學分析

《普通高中數學課程標準（2017年版）》對于函數概念的教學要求在初中用變量之間的依賴關系描述函數的基礎上，用集合語言和對應關系刻畫函數，建立完整的函數概念，體會集合語言和對應關系在刻畫函數中的作用[3]. 高中數學中的函數基本概念比初中學過的函數概念更抽象、更精細、更準確. 建立一個數學概念的意義就是揭示它的本質特征. 由于定義方式的高邏輯性與抽象性，學生難以理解對應關系的本質. 在傳統教學下，教師給出一個具體的函數表達式，學生可以理解每取一個x值都有唯一一個對應的y值，但這僅停留在代數階段，割裂了代數與幾何的結合. 若通過描點法畫圖，可以得出幾個點之間的對應關系，但這又無法將這幾個點一般化，學生無法深層次理解函數概念的本質. GeoGebra作為動態數學軟件恰好可以彌補這一不足，教師可以直接列舉學生熟悉的案例，應用GeoGebra軟件動態演示函數的定義域和值域，體現出任意一個x值都有唯一一個對應的y值，由此進行深層次探究.

2. 演示過程

首先在輸入框中輸入函數y=x3+2x2-5x+2，繪制該函數的圖像. 特別需要注意的是，在輸入過程中應將輸入法先切換為英文輸入法. 其次，制作該圖像的定義域與值域. 使用“對象上的點”這一功能在x軸上任取一點A，利用“平行線”功能過點A作關于y軸的平行線，與圖像的交點即為A在圖像上的對應點B，使用“垂線”功能過點B作y軸的垂線，與y軸的交點為C.

此時可以得到三個點，即點A，B，C. 我們發現點C即為點A在y軸上的對應點，一個x值對應一個y值，在傳統教學中通過畫圖也可以得到. 那么，如何讓學生理解兩個集合之間的對應關系呢？如何理解在自變量x變化過程中都有唯一一個y值與其對應呢？GeoGebra軟件在此案例中的“追蹤”功能可以彌補傳統教學中無法動態演示、無法讓學生幾何直觀的缺陷. 將點C右擊選擇“追蹤”功能，拖動控制它的點即自變量點A，或者建立滑動條，追蹤點C的運動軌跡. （見圖1）

在這一過程中，改變點A的位置即改變函數的定義域，定義域改變后則會跟蹤到點C的運動軌跡，即值域的變化情況. 那么，點A的值每改變一次，即會出現一個新的軌跡點. 通過繪制過程，我們可以明顯觀察到，在函數圖像上，每一個x值都有唯一一個與之對應的函數值y，從而深刻理解函數概念中集合之間的一一對應關系.

函數奇偶性的課件案例

1. 教學分析

函數的奇偶性是函數的基本性質之一，刻畫的是函數圖像的對稱性. 一般地，如果對于函數y=f（x）的定義域D內的任意實數x，都有f（-x）=f（x），那么就把函數y=f（x）叫作偶函數，而對于函數y=f（x）的定義域D內的任意實數x，都有f（-x）= -f（x），那么就把函數y=f（x）叫作奇函數. 在傳統教學下，關于奇偶性這一特性的引入是從數量關系來描述的，學生對于偶函數性質的理解可以借助二次函數圖像. 對于奇函數，課本上給出了界定方式：f（-x）=-f（x），關于原點中心對稱. 傳統教學中的奇偶性教學無法體現自變量取值的任意性與動態性，要將學生的思維從靜態轉化為動態，可以利用GeoGebra繪制數值列表，觀察圖像上的點對應的橫坐標與縱坐標之間的關系，或將函數圖像關于原點旋轉180°，通過動態展示加深學生對奇偶性本質的理解.

2. 演示過程

首先，繪制一個奇函數y=2x-2-x. 其次，為了體現f（-x）與f（x）的關系，需要在表格區繪制一個數值列表. 在Excel表格中從A1到A7分別輸入-3到3（間隔為1）的一列數據，在B2中輸入“f（A1）”，將表格下拉至“f（A7）”，可以自動得到相應的函數值，觀察自變量與函數值可以發現：f（-3）=-7.88=-f（3），f（2）=3.75= -f（-2）. 這是傳統教學中通過畫圖也可以得到的信息. 那么從動態的角度，可以用“對象上的點”在函數圖像上取一點A，使用“中心對稱”功能作出點A關于點O的中心對稱點A′，分別右擊A與A′將橫坐標與縱坐標記錄在表格區;然后拖動點A，表格中將記錄兩點的運動軌跡，觀察對稱點的函數值之間的關系，可以發現：自變量相反，函數值也相反，即對于函數f（x）=2x-2-x定義域內的任意實數x，都有f（-x）=-f（x），那么函數f（x）=2x-2-x就是奇函數（見圖2）. 這是從“數”的角度體現奇函數的代數性質.

同樣，運用GeoGebra軟件還可以從“形”的角度體現奇函數的幾何性質：選擇“旋轉”功能將整個函數圖像以原點為中心旋轉180°，旋轉之后與原圖像重合.（見圖3）

上述操作可以直接得出旋轉后的函數圖像，在教授過程中還可以向學生演示其旋轉的動態過程. 首先建立關于旋轉角度α的滑動條，設置旋轉區間，比如最小值0°，最大值180°. 選擇“旋轉”功能將整個函數圖像旋轉角度α，可以發現旋轉180°時與原圖像重合，得到奇函數關于原點中心對稱的性質. （見圖4）

GeoGebra軟件同樣可以用來驗證函數的奇偶性. 比如在輸入框內輸入sinx，繪制該函數的圖像. 用同樣的方法，在輸入框內輸入sin（-x）和-sinx. 可以在代數區看到三個函數的表達式，在繪圖區看到三個函數的圖像. 隱藏函數g（x）= -sinx的圖像，只顯示其余兩個函數的圖像，發現兩個圖像沒有重合，說明函數f（x）=sinx不是偶函數;而隱藏函數f（x）=sinx的圖像，顯示另外兩個函數的圖像，發現圖像重合，說明函數f（x）=sinx是奇函數. （見圖5）

函數單調性的課件案例

1. 教學分析

函數的單調性是函數的基本性質之一，刻畫的是函數的變化趨勢. 一般地，當函數f（x）的自變量x在其定義區間內增大（或減小）時，函數值f（x）也隨之增大（或減?。? 函數f（x）的這兩種性質叫作函數的單調性. 學生認識函數的單調性是先從初中的形象描述階段逐漸過渡到高中的抽象概括階段，而在初中數學中，學生接觸的絕大部分都是靜態的數學對象，進入高中后要用靜態的數學符號刻畫動態的數學對象對學生來說是一個難點. 例如，在判斷函數f（x）=x2在[0，+∞）上的單調性時，學生最常見的錯誤就是在給定區間里取兩個數，比如1和2，因為12<22，所以判斷f（x）=x2在[0，+∞）上單調遞增. 因此在學習該性質時，教師可以利用GeoGebra軟件演示函數的動態變化，將有限驗證擴大到動態下的無限，以數形結合幫助學生理解函數單調性的本質，有效突破難點.

2. 演示過程

GeoGebra軟件可以用于函數單調性的導入部分. 例如，首先繪制出函數y=x3+2x2-5x+2的圖像，其次在圖像內構造該函數的單調區間. 選擇“極值點”功能，點擊函數會自動出現兩個極值點A，B，在函數圖像上選取單調遞減區間. 對于此時的單調遞增區間，可以設置隱藏按鈕，研究起來會更加直觀清晰. 在遞減區間中任選一點E，構造點E在函數上的對應點F，選擇點E右擊“追加動畫”，選擇左下角的播放鍵讓播放暫停，可以觀察到動畫內，當自變量x從點A的橫坐標-2.12移動至點D的橫坐標0.79時，x的值越大，所對應的函數值從12.06下降至-0.21，越來越小，即任意取-2.12≤x<x≤0.79，都有f（x）>f（x）. 在這個環節中，讓學生領悟到兩點：一是所取的自變量具有任意性;二是比較對應的函數值的大小. 同樣，在演示過程中，我們可以選擇“函數檢視”，通過列出各個點的坐標，也可以觀察到：當xy. 借助此演示，讓學生進一步歸納概括出函數單調性的文字語言表達及數學符號表達，深化學生對單調性的理解. （見圖6）

函數各參數與圖像之間的關系的課件案例

1. 教學分析

二次函數的各參數變化對函數圖像的影響是教學的難點. 在傳統教學中，大部分學生僅僅將函數看作是表達式，割裂了各參數與圖像之間的關系，難以從運動變化的角度理解其本質特征. 而GeoGebra軟件可以動態演示出三個參數的變化所引起的函數圖像的變化，突破了傳統教學.

2. 演示過程

首先可以在自定義區間內建立三個參數滑動條a，b，c，比如自定義區間是[-20，20]，在輸入框中輸入a=1，b=-5，c=3，然后在輸入框中輸入y=ax2+bx+c，繪圖區就會顯示出函數y=x2-5x+3的圖像. 教師可以多做幾次實驗，只拖動滑動條a時，觀察函數圖像的變化，可以發現參數a決定拋物線開口的方向和大小. 當a>0時，開口向上;當a<0時，開口向下. 當a越大時，拋物線的開口越小;反之，當a越小時，拋物線的開口越大. 當只拖動b的滑動條時，可以發現參數b改變的是函數圖像的對稱軸以及它的頂點. 當只拖動c的滑動條時，可以發現參數c決定了拋物線與y軸的交點位置. 當c>0時，函數與y軸交于正半軸;當c<0時，函數與y軸交于負半軸. 通過GeoGebra軟件的演示，可以使學生很快達成對以上規律的共識.

除此之外，我們還可以探究更多的數學奧秘. 比如各參數之間的關系，當a，b同號時，觀察可得二次函數的對稱軸在y軸左側;當a，b異號時，對稱軸在y軸右側;當b=0時，對稱軸就是y軸. 以及a，b，c共同決定判別式Δ=b2-4ac的符號，進而決定函數圖像與x軸的交點問題. 當Δ=0時，與x軸只有一個交點;當Δ>0時，與x軸有兩個交點;當Δ<0時，則沒有交點. 這可以轉化為一元二次方程根的情況、零點問題，讓學生深刻體會到函數是貫穿中學數學的主線，體會數形結合與分類討論思想. （見圖7）

同理，在GeoGebra軟件的使用下，學生也能快速領會A，ω，φ三個參數的變化對三角函數y=Asin（ωx+φ）圖像變化的影響. GeoGebra軟件建立了數與形之間的關系，有利于函數教學的整體把握，有利于函數知識結構的整體建立.

函數解題的課件案例

Geogebra軟件同樣可以用來進行解題驗證，諸如函數的定點問題、零點問題、軌跡問題等. 下面以2020年高考數學全國一卷中的一道定點問題為例：

已知A，B分別為橢圓E：+y2=1（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，·=8，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D. （1）求E的方程;（2）證明：直線CD過定點.

對于問題（1）的求解，通過已知可得A（-a，0），B（a，0），G（0，1），即可求得·=a2-1，結合已知可求得a2=9.

對于問題（2）的求解，考查的是計算能力與轉化思想、推理論證能力，屬于難題，可以使用Geogebra軟件得到或者驗證問題（2）的答案.

首先根據題意構建場景，切換英文半角符號，在輸入框內直接輸入：橢圓+y2=1以及直線x=6，左、右頂點分別為A，B，上頂點為G. 使用“對象上的點”在直線x=6上任取一點P，連接直線AP與直線BP，與橢圓分別交于另一點C與另一點D，連接CD. 為顯示清晰，將直線CD用紅色標記，并右擊“開啟追蹤”. 拖動決定直線CD變化的起始點P，直線CD隨之運動并自動顯示出直線CD的運動軌跡，如圖8所示. 通過觀察圖像，可知直線CD恒過定點，0.

對于軌跡問題、定點問題等都可以通過GeoGebra軟件來驗證答案，同時可以根據答案幫助思考，產生思路. 但是需要注意的是，信息技術只是輔助教學的一種工具，在求解答案的過程中，還是需要認真思考并及時歸納總結.

總結

函數是現代數學最基本的概念，是描述客觀世界中變量關系和規律的最為基本的數學語言和工具，是貫穿中學數學知識的主線. 數形結合是函數學習的重要思想之一，傳統教學中的函數教學無法將數字動態化、可視化，GeoGebra軟件的輔助可以突破傳統教學中的不足，幫助學生深刻理解函數的變化規律及性質.

教師在運用GeoGebra的同時，可以教授學生使用方法，提高學生的主體意識，培養學生自主學習的能力. 特別需要注意的是，信息化設備只是用來輔助教學的一種手段，教師應加強自身的專業能力，處理好信息化與教學內容之間的關系，拓展信息化與其他教學方面的聯系，發揮出信息化教學的最大優勢.

參考文獻：

[1] ?http：//baike.baidu.com/item/geogebra.

[2] ?司業佳. Geogebra：輔助函數教學的利器[J]. 數學教學通訊，2018（24）.

[3] ?中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準[M]. 北京：人民教育出版社，2017.

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