W(2)到Kac模的權(quán)導(dǎo)子空間

劉舒暢,王淑娟

(黑龍江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150080)

1 引言

本文約定基域F的特征p>2.令域F上向量空間V,連同它的值和分解V=Vˉ0⊕Vˉ1稱(chēng)為一個(gè)Z2-階化空間.若v∈Vθ,其中θ∈Z2,則稱(chēng)v為Z2-齊次元素,用|v|表示Z2-齊次元素的次數(shù).為方便,如果符號(hào)|v|出現(xiàn),那么約定v是Z2-齊次元素.若V的一組基為v1,...,vn,則可記為V:=hv1,...,vni.用hg(V)表示Z2-階化空間V的所有Z2-齊次元素的集合.設(shè)L是李超代數(shù),M為L(zhǎng)-模.稱(chēng)Z2-齊次線性映射?:L?→M為次數(shù)為|?|的齊次導(dǎo)子,如果

令Der(L,M)為L(zhǎng)到M的所有Z2-齊次導(dǎo)子張成的向量空間,稱(chēng)該空間中的元素為導(dǎo)子.對(duì)于Z2-齊次元素m∈M,令

那么Dm是次數(shù)為|m|的Z2-齊次導(dǎo)子.令I(lǐng)der(L,M)為由{Dm|m∈hg(M)}張成的向量空間,稱(chēng)該空間中的元素為內(nèi)導(dǎo)子.令h為L(zhǎng)ˉ0的Cartan子代數(shù).設(shè)L與M都有關(guān)于h的權(quán)空間分解:L=⊕γ∈h?Lγ,M=⊕γ∈h?Mγ.令

稱(chēng)HomF(L,M)(0)與Der(L,M)(0)中元素分別為關(guān)于h的權(quán)映射與權(quán)導(dǎo)子.那么

這個(gè)結(jié)論可參見(jiàn)文獻(xiàn)[1,Lemma 3.2]或[2,Lemma 2.1].值得注意的是,L到M的一階上同調(diào)

(1.1)與(1.2)得到,計(jì)算一階上同調(diào)可以先計(jì)算權(quán)導(dǎo)子空間.本文目的在于決定Witt型模李超代數(shù)W(2)到其Kac模K(λ)的權(quán)導(dǎo)子空間,取得下面主要結(jié)論,其對(duì)刻畫(huà)W(2)的一階上同調(diào)具有重要意義.

定理1當(dāng)λ=0時(shí),W(2)到Kac模K(λ)的權(quán)導(dǎo)子空間是一維的,否則權(quán)導(dǎo)子空間是零維的.

本文研究的W(2)屬于Cartan型模李超代數(shù)的范疇,具體地說(shuō),W(2)是一類(lèi)Witt型模李超代數(shù).1986年,沈光宇老師對(duì)這類(lèi)代數(shù)的階化模做了研究[4];2007年,劉文德老師和張永正老師對(duì)其導(dǎo)子代數(shù)做了研究[5];2010年,舒斌老師和張朝文老師對(duì)其限制表示做了研究,并且定義了Kac模[6].李超代數(shù)的上同調(diào)是重要的研究課題,其定義可追溯到D.A.Leites在1975年發(fā)表的文章[7].2014年,孫麗萍老師、劉文德老師和吳勃英老師利用權(quán)空間分解的方法,刻畫(huà)了在特征大于2的代數(shù)閉域上,sl(m,n)到Cartan型李超代數(shù)W和S的低階上同調(diào),并且指出這一計(jì)算結(jié)果與特征零的情形不同[8].

2 預(yù)備知識(shí)

利用(2.1)?(2.3)及引理2.1,可以得到Kac模K(λ)的模作用表.

表1 模作用表

3 權(quán)導(dǎo)子空間

本節(jié)主要是分步驟證明定理1.

解得:

經(jīng)過(guò)上述計(jì)算,上述所有情況中,滿(mǎn)足導(dǎo)子定義的每個(gè)方程組都只有零解,結(jié)論得證.

由引理3.1,3.3以及3.5易得定理1.