間歇微量進給3D打印平臺設計與進給誤差分析*

趙永強 李瑞超 常向龍 侯紅玲

(①陜西理工大學機械工程學院，陜西 漢中 723000；②陜西省工業自動化重點實驗室，陜西 漢中 723000)

3D打印技術是20世紀80年代興起的一種新型制造技術，利用計算機圖形處理功能對已有的三維模型進行分層切片處理，獲得每一片層的二維平面信息，由此實現將三維模型轉化成具有一定微小厚度的二維層片模型，最后按照二維層片模型將物料逐層堆積成型的一種增材制造技術[1]。

與傳統的減材制造技術相比，3D打印技術具有材料浪費少，應用范圍廣，成型速度快等優點，適合單件或小批量物件的快速制造，尤其適用于空腔模型和形狀復雜的異形結構，具有廣闊的應用前景[2]。

3D打印技術中，由三維模型向二維模型轉化的層片化處理技術和層片厚度是決定3D打印的精度和速度的關鍵因素[3]。層片厚度小，3D打印的精度高但是效率低。在3D打印中層片的厚度決定于打印設備的機械結構及其進給精度。為了兼顧打印的精度和效率，不同形式的打印設備和控制方法層出不窮。

現有3D打印設備分為龍門式分層進給和打印平臺分層進給兩種模式。

在龍門式分層進給3D打印設備中，采用三坐標控制、懸臂式極坐標控制[4]、三角坐標控制及機械臂控制[5]等控制方法。通過打印噴頭相對于打印平臺的垂直進給，實現分層打印、逐層進給的效果，同時要求3D打印噴頭的運動精度高[6]，造成了噴頭體積與質量大幅增加[7]。而RuiMendes[8]等人采用微流控制方法研究打印噴頭，優化了內部流場流動，解決了噴頭堵塞問題。

在打印平臺分層進給的研究方面，曲興田[9]提出了一種3D打印平臺反轉機構，實現了無支撐結構的曲面多自由度打印，此外還暫未見其他的相關報道。

不完全齒輪傳動的研究方面，劉文禮[10]等人分析了不完全齒輪嚙合軌跡，得到多齒不完全齒輪的各齒嚙合情況。官開才[11]對比分析了緩沖裝置的利弊，提出了通過鎖止弧緩沖裝置減小不完全齒輪傳動過程中的沖擊；湯為光、張小玲等人[12-13]利用調整齒頂系數的方法來避免干涉和卡死現象；吳昌林[14]等人通過調整初始嚙合點位置來調整傳動誤差，分析不完全齒輪的嚙合軌跡。上述研究中，未涉及傳動齒距誤差累積和因累積誤差而導致不完全齒輪在多次嚙合之后出現的干涉，甚至卡死的隱性故障。

本文根據打印平臺分層進給原理，提出一種單電機驅動的3D打印平臺分層間歇進給裝置，設計了不完全齒輪傳動[15]與絲杠螺母副組合的微距平動進給機構。分析了微距平動進給機構的運動關系和不完全齒輪傳動的連續工作條件及傳動誤差累積，得到了避免因傳動誤差累積而造成的機構不能連續運轉的判斷條件。

1 間歇式微距進給3D打印平臺設計

如圖1所示的龍門式逐層3D打印機具有結構簡單，控制、調節容易等優點，在現代3D打印設備中成為一種主流結構，占據著主導地位。

但是因為其逐層進給精度完全取決于驅動電機和傳動元件的精度，打印層的厚度和分層精度很難進一步提高。

為此，本文提出了一種單電機驅動間歇式微量進給的3D打印平臺(如圖2所示)，主動不完全齒輪的一端同軸連接驅動電機，另一端的花鍵軸與打印平臺同軸的花鍵孔配合連接，實現打印平臺相對于驅動電機及其不完全齒輪之間的相對移動。驅動電機同時帶動打印平臺和兩對不完全齒輪組轉動。兩對不完全齒輪組中的兩個主動不完全齒輪軸向疊加、對稱布置，分別與兩個軸向錯開的完整齒輪嚙合。兩個完整齒輪分別帶動一組絲杠螺桿副間歇轉動，轉動的絲杠帶動與螺母固連的打印平臺間歇微量平動進給。

在驅動電機和打印平臺移動之間通過不完全齒輪傳動組和絲杠螺母副的組合傳動，利用電機直驅控制打印平臺的連續旋轉，不完全齒輪組的間歇運動和絲杠螺母副的傳動帶動打印平臺的軸向間歇微距平動進給，實現打印平臺打印完一層的平面任務之后微量進給至下一打印層，最終得到單一電機驅動的平面打印和逐層累積的3D打印效果。

2 3D打印平臺的傳動系統設計

在圖2所示的單電機驅動的間歇式微距進給3D打印平臺中，傳動機構分為兩組：一是由不完全齒輪與完整齒輪組成的齒輪組實現間歇傳動；二是絲杠螺母副實現運動轉換和微距平動進給。

兩種傳動的設計中，絲杠螺母副重點解決絲杠旋轉與螺母微距進給之間的關系，而不完全齒輪傳動組需要解決主從動齒輪的嚙合、齒數配比和傳動比之外，必須避免因傳動誤差累積而造成干涉的隱性難題，這也是本文擬解決的主要問題。本文初步設計的3D打印平臺傳動系統參數如表1所示。

表1 3D打印平臺傳動系統參數表

2.1 不完全齒輪傳動的設計

不完全齒輪傳動屬于間歇機構，參與不完全齒輪傳動的一對齒輪中一個是完整齒輪，另一個是不完全齒輪，而不完全齒輪是單齒或者連續多齒的非完整齒輪。不完全齒輪的傳動關系如圖3所示，為了實現無限次的間歇傳動，通常將不完全齒輪作為主動齒輪，而完整齒輪作為從動齒輪。圖3中，從動完整齒輪的齒頂圓半徑ra2、分度圓半徑r2和齒根圓半徑rb2；主動不完全齒輪的齒頂圓半徑ra1、分度圓半徑r1和齒根圓半徑rb1，不完全齒輪傳動的中心距a。

(1)不完全齒輪為單齒齒輪

(2)不完全齒輪為連續多齒齒輪

因此，不完全齒輪的傳動關系可表示為：

(1)

2.2 不完全齒輪的傳動比計算

不完全齒輪傳動的傳動比不能表示為主、從動齒輪的實際齒數的比例關系，只能用主、從動齒輪的轉角表示。

(1)單齒不完全齒輪的傳動比

在圖5的坐標系xO2y中，

(2)

ra2cosγ2≤x≤ra2cos(γ2-β24)

(3)

式中：β24為完整齒輪的單齒分度角。

根據余弦定理可得：

(4)

主動不完全齒輪轉動一周，從動完整齒輪轉過的角度β2m為

(5)

式中：Z1為主動不完全齒輪作為完整齒輪的理論齒數；Z2為從動完整齒輪的齒數。

在單次嚙合過程中，主動不完全齒輪的轉角β1m為

(6)

單齒不完全齒輪的傳動比為

(7)

(2)連續雙齒不完全齒輪的傳動比

將連續雙齒不完全齒輪的傳動關系簡化放大后如圖6所示。

在圖6中，存在如下關系：

(8)

(9)

(10)

連續雙齒不完全齒輪的傳動比中包括了第一齒為單齒的傳動比和第二連續齒的附加傳動，第二連續齒的附加傳動轉角θ2m為

θ2m=∠N2O2B1-∠N2O2B2

(11)

則連續雙齒不完全齒輪的傳動中，從動完整齒輪的轉角θ為：

θ=β2m+θ2m

(12)

因此，連續雙齒不完全齒輪的單次傳動中，主、從動齒的嚙入和嚙出關系分別表示為圖7和圖8。

從圖7和圖8的連續雙齒不完全齒輪嚙合傳動關系可見，主動不完全齒輪的轉角θ1為：

θ1=β1m+β14

(13)

式中：β14為不完全齒輪的單齒分度角，β1m同式(6)。

因此，連續雙齒不完全齒輪的傳動比ip2為：

(14)

同理，連續多齒不完全齒輪的傳動比ipN為

(15)

其中，從動完整齒輪的轉角θ為：

θ=β2m+(Z1r-1)θ2m

2.3 不完全齒輪連續傳動的條件

在不完全齒輪傳動中，首次傳動或者多次傳動之后會出現如圖9所示的干涉，其中首次傳動出現的干涉可以通過裝配調整解決，而多次嚙合之后因誤差累積出現的干涉將無法保持運動連續。

從動完整齒輪的單次傳動轉角θ與完整齒輪的單齒分度角β24的比值記為

(16)

當k不等于正整數時，則必然存在轉角誤差σ，則：

σ=β24(k-int[k])

(17)

式中：int[k]是k的取整函數；σ為第二次嚙合點相對于首次嚙合點的偏離角度。

在MATLAB軟件中，將齒輪齒數小于100的不完全齒輪進行配對，按照偏離最小齒數差和最小角度差進行尋優，得到的比較理想的配對結果如表2所示。

表2 二次偏離最小誤差及齒輪齒數匹配關系

表2中給出了不完全齒輪傳動中相鄰兩次嚙合產生的誤差較小齒數配對，其中所涉及的相鄰兩次嚙合的誤差值較小，但是在多次嚙合之后的誤差值nσ會存在關系：

nσ+β21≤β24

(18)

式中：n為主動不完全齒輪轉動的圈數。

式(18)是產生干涉的判斷條件，對于不完全齒輪傳動中產生干涉或卡死現象的調整方法有兩種：一是采用逐次誤差歸零；二是在多次傳動后的累積誤差歸零，具體的改進方法本文暫不探討。

2.4 不完全齒輪連續傳動的傳動關系

本文所設計的兩個連續雙齒不完全齒與上下對稱布置的完整齒輪的嚙合關系如圖10所示。

電機帶動不完全齒輪組運動一個周期時，不完全齒輪組通過絲杠螺母副帶動3D打印平臺的軸向平動位移s1為

(19)

式中：p為絲杠的螺距， mm。

利用MATLAB軟件對x的取值范圍劃分為10萬等分進行求解得到最小誤差值σ=1.568 3×10-8rad時，所對應的x取值為20.270 7 mm，根據表1給出的設計參數，代入式(5)中計算出當主動不完全齒輪旋轉一周，從動完整齒輪轉過1.256 6 rad，代入式(19)得到當打印平臺轉動一周時，沿軸向平動的位移僅為0.2 mm。

3 結語

本文針對現有噴涂式3D打印機的運動缺陷，提出了一種單電機驅動的3D打印平臺，引入了不完全齒輪傳動機構，研究了不完全齒輪連續傳動的嚙合關系及其連續傳動的判斷條件，得到如下結論：

(1)提出了單電機驅動的3D打印平臺的傳動原理，推導了驅動電機與打印平臺轉動和平動之間的運動關系，驗證了單電機驅動的3D打印平臺連續旋轉與間歇平動升降的特殊運動組合。

(2)通過對不同齒數的不完全齒輪的傳動情況分析，推導出單次傳動誤差的計算公式和誤差累積的修正公式，得到了不完全齒輪傳動時避免干涉或卡死現象的判斷條件，使3D打印平臺能夠連續穩定工作。

(3)在MATLAB中進行數值精確計算，得到了不完全齒輪在不同實際齒數情況下的最小誤差值和主、從動齒輪的齒數配對關系，為后期的不完全齒輪組的齒數配對選型提供參考。