2021年高考數學北京卷的特點及教學建議

摘? 要：2021年高考數學北京卷的試題有五個特點：試題素材突出熱點，實現了數學與現實的結合;試題難度突出層次，實現了試題的選拔功能;試題求解突出通法，實現了對數學學科核心素養的考查;試題設問突出創新，實現了高考積極引導教學的功能;試題考點突出綜合，實現了全面考查與重點考查的結合. 基于此，提出相應的三點教學建議：突出應用與實踐，幫助學生樹立良好的價值觀;突出過程與方法，提升核心素養;突出綜合與創新，培養關鍵能力.

關鍵詞：熱點;層次;創新;通法;綜合

一、數學試題的新特點

與2020年相比，2021年高考數學北京卷的難度略有上升，試題素材貼近社會熱點，試題難度具有一定的層次性，試題求解思路突出通性、通法，試題設問比較靈活，試題考點突出綜合，從而較好地區分了各個層次的學生. 既為高校招生提供了較好的參考依據，又對中學數學教學起到了良好的導向作用，充分體現了《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）的要求.

1. 試題素材突出熱點，實現了數學與現實的結合

數學與社會現實有密切的關系，《標準》要求引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界，2021年高考數學北京卷的試題對此有較好的體現. 精心設計試題素材，緊抓社會熱點——建黨100周年與新冠肺炎疫情，實現了數學與現實的結合.

該題以黨旗、黨徽為背景，重點考查了等差數列、等式與方程等知識，2021年是中國共產黨誕辰100周年，這是政治生活中的一件大事，該題的素材就取材于這個社會熱點，展現了數學與社會生活之間的密切關系，是德育與數學的結合點，滲透了立德樹人的育人目標.

試卷第8題以研究降雨等級為背景重點考查了圓錐、圓柱及其體積計算、相似等知識，以及空間平面化、體積變換等重要方法. 引導學生用數學眼光觀察自然現象，實現了數學與自然現象的結合. 試卷第18題以“[k]合1”核酸檢測診斷新冠肺炎為背景考查了概率分布的相關知識，通過計算“[k]合1”檢測方式中的檢測次數，讓學生深深地體驗到“[k]合1”檢測可以節省人力和財力. 新冠肺炎疫情是每個人所關注的熱點，數學試題將其作為背景，實現了數學與社會現實的結合，突出了問題的現實情境，有利于考查數學學科核心素養.

2. 試題考點突出綜合，實現了全面考查與重點考查的結合

追求試題的基礎性和綜合性是全面考查高中數學的基礎知識和通性、通法的需要，也是重點考查核心數學概念、定理、方法、思想的需要，有利于積極引導教學，對高中數學教學突出主干數學知識與方法有良好的導向作用. 整個試卷共21道題，覆蓋了大部分高中數學知識. 其中，綜合性較強的試題有第7題、第9題、第10題、第15題、第16題、第17題、第18題、第19題、第20題、第21題. 這給我們的教學提供了啟示，在學習新課和復習備考中，一定要按《標準》的要求，對整個高中數學的知識內容做到全覆蓋，不能有任何盲點，不能出現忽略高考冷點的教學，也不能出現只重視高考熱點的教學. 在追求知識覆蓋面的同時，突出了重點知識與方法重點考查的目標. 例如，最值在第3題、第7題、第9題、第10題、第19題、第21題等題目中重復出現. 第3題考查的是函數的最值與單調性的關系;第7題考查的是二次函數與余弦函數組成的復合函數的最值問題;第9題考查的是與幾何背景相關的弦長的最值問題;第10題考查的是數列背景的最值問題;第19題考查的是與導數相關的最值問題，第21題考查的是與創新相關的最值問題，從不同的角度綜合考查了最值概念，這充分顯示了對重點概念的考查力度. 從數學思想方法角度看，多處出現了數形結合的考點，涉及數形結合思想的試題有第3題、第7題、第9題、第12題、第13題、第14題、第15題、第16題、第19題、第20題等，這又體現了重點方法重點考查的目標.

上述特點告訴我們，在教學與復習中，在追求全覆蓋的同時，還要突出重點知識與思想方法的教學. 對于《標準》要求的核心概念、主干知識、主干思想方法要重點突破，這樣才能適應全面考查與重點考查的需要.

該題涉及橢圓的標準方程、橢圓的性質、直線方程、直線與橢圓的位置關系、一元二次方程根與系數的關系、絕對值不等式等考點，不但范圍較廣，而且均是解析幾何的重要知識點. 該題涉及的數學思想方法主要有數形結合思想、方程思想、轉化與化歸思想、坐標法、消元法、待定系數法等，體現了綜合性與基礎性，實現了對解析幾何全面考查與重點考查的結合.

3. 試題難度突出層次，實現了試題的選拔功能

高考的功能在于兩個方面：一是考查學生的知識掌握水平，二是為各高校招生提供數據支持. 這決定了高考試題需要具備選拔功能. 因此，試題要突出層次性和區分度. 2021年高考數學北京卷從以下幾個方面突出了層次性.

（1）選擇題的層次性.

第1題到第5題是基礎題，大多數學生有較好的表現;第6題與第7題有一定的綜合性，可以區分學困生與中等生;第8題到第10題具有一定的難度，特別是第8題，學生需要較強的閱讀能力和數學建模能力，以及體積變換、空間平面化等數學方法，該題優等生的表現較好.

（2）填空題的層次性.

第11題到第13題是基礎題;第14題是中檔題，考查三角函數的定義，具有較大難度;第15題是拔高題，整體難度較大，由于采取分層賦分（按選對結論個數分別記分，錯選記0分），顯示出了更好的區分度.

（3）解答題的層次性.

第16題到第21題的題號順序與難度順序基本一致，每道題又由2道小題或3道小題組成，每道小題難度不同. 例如，第18題第（1）小題第一問較基礎，只需讀懂試題即可計算檢測次數，第二問是對第一問的深化;第（2）小題具有較高的難度. 第20題在運算的環節上顯示出一定的層次性，沒有計算判別式或缺少數學運算能力都無法得出結果，較好地區分了不同層次的學生. 第21題的三個設問對于選拔學優生起到了積極的作用.

整套試卷形成了“入口容易、循序漸進、螺旋上升、出口較難”的試題風格，實現了多題把關的局面，讓試題的層次性全方位地滲透到各種題型之中，從而取得了較好的區分度，較好地實現了試題的選拔功能.

4. 試題設問突出創新，實現了高考積極引導教學的目標

《標準》要求命題要充分考慮對教學的積極引導作用. 該套試題在設問方面具有一定的創新，對教學起到良好的引導作用. 例如，第9題是逆向設問，已知最小值求參數，重點考查學生的應變能力和運算能力. 第14題是一個開放性問題，答案不唯一，給學生提供了一個構造、選擇和實驗的空間. 第16題是結構不良型問題，學生通過分析解三角形所需的條件，在所給的三個條件中選出一個，使之能唯一確定三角形，其間需要學生分析條件之間是否矛盾或者利用解三角形的三個條件中至少已知一個邊的基本事實（選①缺少邊的條件），在此基礎上做選擇才能唯一確定三角形，設問也較靈活，未直接求三角形的邊與角，而是求三角形一邊上的中線長. 這樣的設問提高了對學生分析問題能力的考查力度. 第17題第（1）小題本質上是證明線線平行，在日常的練習中所遇到的習題均是直接設問，但是在本次高考中不直接設問，而是證明中點，考查了學生的應變能力，是否能理解問題的本質是解決該問題的關鍵. 第（2）小題是逆向設問，日常學生練習較多的相關題型均是順向問題，直接求二面角的余弦值，現在采取逆向設問. 第21題是整體上的創新問題，沒有固定的解題模式，重點考查了學生的抽象思維能力和推理論證能力，依靠“題海戰術”無法應對該題. 通過試題設問的創新給教學發出一個信號：通過大量的題型訓練未必能取得好的成績，只有讓學生真正掌握了高中數學主干知識與核心方法，才能在高考中取勝.

5. 試題求解突出通法，實現了對數學學科核心素養的考查

“注重通性、通法，淡化解題技巧”一直是北京卷的優良傳統. 該套試題重點考查學生的數學學科核心素養，沒有偏、難、怪問題，所涉及的數學知識均是高中數學的主干知識和后續學習必備的基礎知識，所涉及的方法都是高中數學方法的核心方法，實現了對數學學科六大核心素養的考查.

綜觀整套試題，所涉及的主干知識有集合運算、復數運算、解不等式、二次函數、函數單調性、函數的最值與極值、函數圖象、函數零點、導數的運算及其應用、曲線的切線方程、充要條件與必要條件、基本立體圖形、空間直線與平面平行、二面角計算、等差數列、遞增數列、三角恒等變換、解三角形、直線、圓、雙曲線、拋物線、橢圓、概率分布、二項式定理、平面向量的運算、創新問題;所涉及的核心數學思想有數形結合、轉化與化歸、函數與方程、或然與必然、邏輯推理、運動變化等;所涉及的數學方法有待定系數法、配方法、換元法、體積法、放縮法、基本量法、數學實驗法、圖形法、坐標法、消元法、構造法等. 以這些數學知識和數學思想方法為載體，全方位、多層次考查了數學學科核心素養. 詳見下表.

【評析】該思路重點考查數學運算素養，同時考查邏輯推理素養.

解法3：（數學實驗法）依次驗證選項，將[m]的值代入題干進行驗證，淘汰錯解，發現正解.

【評析】該思路重點考查了邏輯推理、數學運算和直觀想象等素養. 對數學實驗法的運用，應該引起足夠重視，試卷第5題、第6題、第7題、第10題、第14題、第21題（實驗[+]證明）均可以用數學實驗法求解. 數學實驗是發現數學結論和方法的重要手段. 值得一提的是，用數學實驗發現的結論，需要經過嚴格證明，才能成為真命題.

通過例3可以看出，一道試題可能考查多個數學素養. 不同的求解角度，重點考查的核心素養也可能不同.

二、教學建議

1. 突出應用與實踐，幫助學生樹立良好的數學價值觀

《標準》強調數學與生活及其他學科的聯系，提升學生應用數學解決實際問題的能力. 在2021年高考數學北京卷中，有實際生活應用情境的試題有第6題、第8題、第18題，有數學情境的試題有第9題、第10題、第14題、第15題、第16題、第19題、第21題等. 因此，在高中數學教學中，結合數學知識體系的要求，將數學應用與實踐貫穿全程，包括實際生活應用情境與數學情境的應用，讓學生切身體會到數學是非常有用的科學，是學習其他科學的基礎. 教師引導學生參加數學建模活動，使學生體驗數學建模的全過程，并結合知識特點，滲透傳統文化與現實熱點，實現數學與現實的結合，有利于幫助學生樹立良好的數學價值觀.

2. 突出過程與方法，提升學科素養

學生在日常學習數學基礎知識的過程中所掌握的數學思想方法是培養數學能力與數學學科核心素養的基礎與關鍵. 數學思想方法的運用和積累達到一定程度后，形成數學能力，并在學生內在品質的積極影響下，形成數學素養. 因此，要培養學生的數學素養，關鍵在于讓他們學好數學基礎知識，掌握基本思想方法. 在日常教學中滲透數學思想方法是高中數學教學中極其重要的環節. 數學思想方法貫穿高中數學教學的全程，在數學知識的形成和數學問題解決的過程中，讓學生逐步體會和領悟思想方法的本質，而不是空洞的理論傳輸. 在講數學知識和數學方法的過程中，要充分暴露其思維過程，特別是數學實驗的過程，讓學生在數學實驗中感受結論與方法形成的自然背景，可以更有效地領會結論和方法的本質. 例如，試卷第15題，函數零點問題就是用數形結合的思想方法解決的. 在解決過程中，不僅讓學生領會到使用數形結合方法的條件，而且讓學生領會其本質：由代數式構造圖形，由圖形抽象數量特征，即由數思形，由形想數，數形結合. 不能片面強調單方面的重要性，只有當兩方面形成合力時，才能完美解決問題. 在知識學習與解題過程中可以使學生掌握數學思想方法，所以要在基本活動經驗中培養學生的數學能力與數學素養.

3. 突出綜合與創新，培養關鍵能力

在數學概念教學中，教師要將概念的多種形式的教學目標分散在教學的各個階段中. 例如，在上述例子中，等效形式2放在等差數列通項公式的教學中完成，等效形式3放在等差數列求和的教學中完成，否定形式放在數列復習課中進行. 這些形式的概括要在單元復習課中完成. 總之，在教學的各個階段中逐步實現數學概念多種形式的教學目標. 綜合不局限于知識本身的綜合，更重要的是各知識與方法之間的綜合，貫穿于新課教學、復習教學、解題教學的全程，形成主線.

創新是培養關鍵能力的重要途徑. 針對該試卷第10題、第15題、第21題的創新特點，求解過程中沒有固定模式可以模仿，需要創造能力、抽象能力、分析問題和解決問題能力的綜合參與. 這些能力的養成是一個長期的系統工程，不是短期行為，應將培養解決創新問題的能力目標落實在日常教學過程中.

參考文獻：

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[3]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.