邏輯推理素養視角下中考數學試題的分析與拓展

陳紀韋華 蔡德清

[摘 ?要] 文章通過對一道福建省2020年中考數學幾何壓軸題的剖析，進一步討論了邏輯推理素養視角下的幾何教學應重視試題方法、內容本質，把握一類試題的結構與體系，以期實現數學邏輯推理素養的育人價值.

[關鍵詞] 邏輯推理;一題多解;試題拓展;結構體系

推理是數學基本思想之一，并被列為數學學科核心素養之一，在數學教學中不能簡單關注知識技能的傳授，而應該發展邏輯推理素養，啟發學生思考，把握數學內容的本質，培養學生的理性思維. 在初中數學教育中，圖形與幾何是一個活躍的領域，其內容以發展學生的空間觀念、幾何直觀、推理能力為核心. 學習圖形與幾何有助于培養和發展邏輯推理素養，有助于培養更有序、更嚴謹的思維習慣，有助于形成科學世界觀和理性精神. 鑒于此，福建省近4年中考的第24題，一以貫之地以幾何圖形及其變換為載體，重點考查學生數學邏輯推理素養的達成水平. 下面，文章以2020年福建省中考數學第24題為例，闡述通過幾何試題培養邏輯推理素養的研究與實踐.

基于邏輯推理素養的幾何探究課要教什么

邏輯推理素養是指表現在人身上的東西，不僅表明這個人具有邏輯推理能力，而且表明這個人具有較好的思維品質. 基于邏輯推理素養的教學，要讓學生理解“來龍去脈”，要讓學生會分析自己思考的脈絡，要讓學生能自如地運用數學知識解決問題. 因此在幾何探究課上，教授顯性知識的同時，應關注內在的隱性知識.

（1）教思想. 數學核心素養與傳統的數學教育、與“四基”一脈相承，幾何探究課要傳承傳統教學中的數學思想和方法. 試題層出不窮，解題技巧千變萬化，教學中不去領悟方法中蘊含的數學思想和方法無異于買櫝還珠，需要“點破眼前的一層膜”. 解決本題的整個過程包含著很多數學思想和方法：將“DP平分∠EDC”“∠CDF=∠DAC”之間的關系（角的關系）轉化為“EP，PF，PC，CF ”之間的關系（線的關系）——化歸與轉化思想;將“∠EDC=90°”推廣到“∠EDC為任意角度”，結論仍然成立——從特殊到一般的歸納思想;（思考1中）由∠ACB不同的取值得到不同的圖形——分類討論思想;將“DP平分∠EDC”的內角平分線推廣到“DP平分∠KDC”的外角平分線，仍有相關線段成比例——類比思想;設元表示相關線段后計算相關結論——數形結合思想;通過對角平分線成比例定理及“子母型”等相似模型的提煉，歸納成阿氏圓——數學建模思想. 等等.

數學思想和方法的教學不僅在于宏觀感知，也在于具體方法的微觀抽象，多解歸一，提煉不同方法的規律性——不變量和化歸與轉化：以上的10種解法將角相等、邊相等作為不變量，或通過模型的疊加組合，或通過“出入相補法”構造相似三角形，建立相關線段成比例. 在這些解法中，都體現了化歸與轉化思想.

（2）教本質. 數學問題的結論，特別是幾何題的結論呈現的是“簡潔的、冰冷的、形式化的美麗”. 因此在幾何探究課中，教師應善加引導，通過對問題的再設計、再拓展，啟發學生思考，示之以思維之道，不僅應讓學生掌握方法的程序與演繹推理的步驟，還應讓學生掌握方法的本質，以此讓“冰冷的美麗”煥發學生“火熱的思考”. 由此我們不得不思考：如何讓學生掌握方法的本質？為什么可以這樣去做（原試題）？邏輯思考的起點和中途點在哪里？不同的觸發點有何不同的思考方向？還要進一步思考：不同方法的內涵是否相同？不同的方法在相似的條件表征下是否具有推廣性？使用的范圍是什么？這些方法與原試題具有怎樣的關聯性？等等.例如，全面審視本題的所有解法，其寓于“如何證明線段成比例”這一結構體系. 原試題的條件從特殊角度到一般角度（思考1），從內角到外角（思考2），進一步推廣和拓展，深入分析其中的思想和方法，凸顯條件之間的內在關聯，挖掘原試題的背景（阿氏圓），揭示條件（∠CDF =∠DAC）和結論的合理性、必然性，讓學生認識到試題的本源所在、本質所在.

（3）教結構與體系. 邏輯推理是數學最顯著的特征之一，是數學自身發展的需求. 邏輯推理素養的育人價值在于能夠讓學生把握事物之間的關聯，把握事物發展的脈絡. 因此，在幾何探究課中，要引導學生把握一類試題的結構，求通求聯，形成對體系的整體性認識，這樣才是對數學真正的理解. 例如，本題中“如何證明線段成比例”可變為圖2中有序化、程序化的方法結構;又如，從原試題推廣到思考1、思考2——從特殊到一般的、歸納類比的問題研究結構;再如，將復雜的圖形分解為幾個基本模型，從基本模型開始研究，疊加組合后形成新的方法用來證明這一類試題的結構——研究幾何性質的方法結構.

結束語

數學家華羅庚常說：“既要能把書讀厚，又要能把書讀薄.”對于一個“好”問題的探究，何嘗不是如此. 讀厚，就是要把問題逐步分解，挖掘不同條件表征下的解法，弄清不同解法之間的共性及其蘊含的數學思想和方法，理順不同問題表征下的共性. 讀薄，就是能抓住這一系列問題的主線和基本脈絡，抓住這一系列問題的內在聯系，形成數學結構和體系，避免“只見樹木不見森林”. 這樣才能發揮幾何問題內在的思維價值，將學生的邏輯思維貫穿于發現問題、提出問題、分析問題與解決問題的全過程，養成重論據、有條理、有順序、有邏輯的思維品質和理性精神，實現數學邏輯推理素養的育人價值.