關于角平分線與高的夾角模型的深入探討

高德文

[摘 ?要] 三角形的角平分線與高的夾角模型有著極高的研究價值，總結模型、解析方法，生成模型突破策略，可提升學生的解題能力. 文章以常見問題為例，引出幾何模型并立足基本性質，論證模型結論，同時在考查視角下進行綜合探究，開展教學探討.

[關鍵詞] 角平分線;高線;模型;結論;性質;拓展

問題引出

問題 ?如圖1所示，在△ABC中，AD和AE分別是△ABC的高和角平分線. 已知∠B=50°，∠C=60°，則∠DAE=____°.

解析 ?問題中給定了三角形的高和角平分線，以及部分角的度數，求其所構成的角的度數，可充分利用三角形內角和定理及角平分線定理進行推導.

在△ABC中，已知∠B=50°，∠C=60°，則∠BAC=70°. 又知AE是△ABC的角平分線，則∠EAC=∠BAC=35°;AD是△ABC的高，則∠ADC=90°，所以在△ADC中，可得∠DAC=30°. 所以∠DAE=∠EAC-∠DAC=35°-30°=5°.

思考 ?上述問題中，角平分線定理、三角形內角和定理是問題突破的關鍵，對于∠DAE，可將其視為角平分線（AE）與高（AD）的夾角;關注另外的兩角（∠B=50°，∠C=60°），顯然它們之間有如下角度關系：∠DAE=. 由該角度關系猜想如下：三角形一個頂角的平分線與底邊上的高的夾角，與另外兩角之間存在著一個恒定的數量關系.

教學探究

三角形的角平分線（在此指線段）和高是其重要的線段，對應的性質定理在幾何中也有著廣泛的應用. 實際上，兩條線段之間的夾角與三角形另外兩角之間存在著一定的規律，具體內容如下.

定理 ?三角形同一頂點引出的角平分線與高的夾角等于三角形另外兩角之差的絕對值的一半. 以圖1為例，可表述為∠DAE=.

實際教學中，建議采用信息描述、角度分析、過程探究的方式，引導學生充分思考，逐步剖析，具體如下.

信息描述：已知△ABC中，AD是底邊BC上的高，AE是∠BAC的平分線.

角度分析：∠DAE是三角形角平分線與高的夾角，思考該角可用哪些角來表示，主要有如下幾種表示方法.

①∠DAE=

∠BAD-∠BAE

（角的和、差關系）;

②∠DAE=90°-∠AED（直角三角形兩銳角互余或外角性質）;

③∠DAE=

∠AEC-∠ADE

（三角形的外角性質）.

過程探究：探究過程應立足已知條件，充分結合幾何定理進行角度代換、關系推導.

AE平分∠BAC→∠BAE=∠BAC（角平分線的定義）;AD是底邊BC上的高→∠ADB=90°（三角形高的定義）→∠BAD=90°-∠B（直角三角形兩銳角互余）.

因為∠BAC=180°-∠B-∠C（三角形內角和定理），則∠BAE=（180°-∠B-∠C）（等量代換）.

綜上，∠DAE=

∠BAE-∠BAD

=

（180°-∠B-∠C）-（90°-∠B）=.

總結 ?三角形的角平分線與高之間的性質定理是對角度關系的探究總結，其本質是關于三角形角平分線性質和三角形內角和定理的綜合構建. 圖形特征也較為明顯，以三角形的同一頂點出發引出角平分線和高，提煉圖形特征可形成相應的幾何模型，有利于后續的應用探究. 而在實際應用時建議分步突破：①審題，建模型;②引定理，理思路;③代換，推關系.

角平分線與高的夾角模型在幾何中十分常見，充分利用其結論可簡化解題過程，高效構建思路. 而幾何中的問題類型也較為多樣，包括常見的角度關系題，以及其他以探究形式呈現的幾何題，下面對其進行綜合探究.

1. 角度關系題

例1 ?在圖2所示的△ABC中，已知AD是∠BAC的平分線，點G是AD上的動點，且GH⊥AD，與BC的延長線相交于點H，試回答下列問題.

（1）若∠B=30°，∠BAC=40°，求∠H的度數;

（2）當點G在AD上運動時，探究∠H，∠B，∠ACB之間的數量關系，并說明理由.

解析 ?（1）利用三角形的外角性質和角平分線的定義可得∠ADH的度數，再結合直角三角形兩銳角互余的性質即可求∠H的度數.

已知AD是∠BAC的平分線，則∠BAD=∠BAC=×40°=20°，所以∠ADH= ∠B+∠BAD=50°. 又GH⊥AD，所以∠H=90°-∠ADH=40°.

（2）該問針對的是點G位置的一般化，但解析思路與第（1）問是相同的，即從已知出發，結合定理推導即可.

已知AD是∠BAC的平分線，則∠BAD=∠BAC，所以∠ADH=∠B+∠BAD= ∠B+∠BAC. 又GH⊥AD，所以∠H=90°-∠ADH=90°-（∠B+∠BAC）. 由三角形內角和定理可得∠B+∠BAC+∠ACB=180°，所以∠B+∠BAC+∠ACB=90°，故∠H=∠B+∠BAC+∠ACB-（∠B+∠BAC），即∠H=（∠ACB-∠B）.

評析 ?本題基于特殊到一般思想命制，首先探究特殊情形中角平分線與高的夾角的大小，然后引入動點，探究一般情形中角度關系的規律. 整個問題充分圍繞模型及角度關系而構建，雖然解法思路較為簡潔，但具有一定的代表性.

2. 幾何探究題

例2 ?角平分線與高的夾角模型在幾何中十分常用，模型中存在一些角度關系，下面深度探究.

感知 ?如圖3所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B=40°，∠C=70°，求∠DAE的度數.

探究 ?如圖4所示，在△ABC中，若將“感知”中的“AE⊥BC”變為“點F在DA的延長線上，FE⊥BC”，其他條件不變，試求∠DFE的度數.

拓展 ?如圖5所示，若將“感知”中的△ABC變為四邊形ABEF，再將“AE⊥BC”變為“EA平分∠BEC”，其他條件不變，猜想∠DAE的度數是否會發生變化，請證明你的結論.

解析 ?在“感知”環節，問題基于三角形角平分線與高的夾角模型命制，利用角平分線性質和內角和定理即可直接推知∠DAE=15°.

在“探究”環節，將點F設定于DA的延長線上，探究過程與“感知”環節的問題相似，直接推知∠ADE=75°，又知FE⊥BC，則∠FEB=90°，從而∠DFE=90°-∠ADE=15°.

在“拓展”環節，問題將三角形變更為四邊形，并將垂直關系變為角平分關系，實際上，其探究思路同樣可參考上述兩問. 已知EA平分∠BEC，則∠AEB=∠AEC，所以∠C+∠CAE=∠B+∠BAE. 結合角度關系可得∠C+∠CAD-∠DAE=∠B+∠BAD+∠DAE. 因為AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，進而可得2∠DAE=∠C-∠B=30°，所以∠DAE=15°. ∠DAE的度數依然不變.

評析 ?本綜合題屬于角平分線與高的夾角模型的變式拓展題，實則依然是對三角形內角和定理和角平分線性質的綜合運用. “感知”環節的問題是對模型的深入感知，旨在總結解析思路;“探究”環節的問題破除了傳統模型，但依然存在角平分關系和垂直關系，難點在于串聯兩個三角形的角度關系;“拓展”環節的問題構建了一般的四邊形，問題解析可采用圖形割補策略，將角度關系放置在三角形中，依托三角形開展關系推導.

教學思考

上述基于三角形的角平分線和高的夾角模型開展了教學探討，論證了角度關系，并結合實例探討了命題思路. 在實際教學中，建議參考上述探究過程，幫助學生總結模型，構建解題思路，全面提升學生的解題能力. 下面對此提出幾點建議：

（1）關注模型特征，挖掘核心知識. 角平分線與高的夾角模型是初中幾何的重點模型，深入探究模型對于后續幾何問題的突破有一定幫助. 而在模型探究中，需要注重兩點：一是關注模型的特征，二是挖掘模型的核心知識. 其中角平分線與高的夾角模型是構建其他模型的基礎，對應的角平分線性質和三角形內角和定理是探究的核心. 教學中要引導學生充分理解問題，掌握幾何與文字語言的對照關系，提升學生的模型提取、圖像閱讀能力.

（2）注重探究體驗，充分驗證定理.模型教學應注重學生的探究體驗，強化學習知識定理的重要性，培養學生的邏輯思維. 建議探究時采用設問引導、互動交流的方式，結合具體問題引導學生思考. 在定理歸納環節倡導“從定理中來，到問題中去”，即充分利用教材中的定理來證明問題、論證結論，幫助學生形成“論證有理，推理有據”的意識.

（3）模型綜合拓展，提升綜合素養.幾何模型在解題中有廣泛的應用，實際考查側重兩個方向：一是依托模型開展應用探究，二是基于模型進行拓展探究. 尤其對于拓展性極強的幾何模型，中考常以其為基礎開展綜合幾何探究題的構建，通過知識融合、關系設定綜合考查學生的知識應用和拓展探究能力. 通常拓展性問題的突破思路是一致的，教學中要引導學生總結解決問題的知識與方法，形成模型問題的突破策略. 同時合理滲透數學思想或方法，尤其是模型思想、數形結合思想、類比思想等，利用模型教學提升學生的核心素養.

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