NEPE推進劑低高應變率下改進的黏-超彈本構模型*

孫政偉，許進升，周長省，陳 雄，杜紅英

（1.南京理工大學機械工程學院，江蘇 南京 210094；2.晉西工業集團有限責任公司技術中心，山西 太原030027）

固體推進劑在生產、運輸、存儲和發射過程中常受高應變率載荷作用，因此研究不同應變率對推進劑力學特性的影響在推進劑裝藥結構完整性分析中具有重要意義。硝酸酯增塑的聚醚聚氨酯推進劑（NEPE 推進劑）是一種由黏彈性基體和鋁粉組成的高填充固體黏彈性復合材料[1]。作為一種新型推進劑，NEPE推進劑綜合了雙基推進劑和復合推進劑的優點，具有高能量的特點和優異的力學性能，近年來得到了廣泛的應用。NEPE推進劑具有復雜的非線性黏彈性力學性能，因此必須要考慮有限變形下的加載歷史、溫度和應變率對材料力學性能的影響。

目前，在宏觀研究領域常采用唯象學的方法來建立固體推進劑的本構模型。由于固體推進劑具有的超彈性和黏彈性力學特性，其本構模型通常包括多項式形式、Mooney-Rivlin 模型[2-3]、Ogden 模型[4]、Yeoh 模型[5]的超彈部分，以及Maxwell模型、Duncan 模型[6]、Schapery 模型[7]、朱王唐模型[8]的黏彈部分。常新龍等[9]在Burke 模型的基礎上，考慮了溫度和應變率效應，采用Mooney-Rivlin 應變能函數來描述穩態超彈響應部分，采用一個Maxwell 單元來描述動態黏彈響應部分，同時引入溫度效應關系式，建立了一個黏超彈本構模型，該模型可以較好地描述HTPB推進劑在低中應變率下的壓縮力學響應，但在應變率較高時誤差會隨著應變增大。楊龍等[10]通過低中應變率實驗發現1 s?1為應力和應變率雙線性關系的轉折點，他在Mohotti 模型的基礎上，將應變能函數與應變率對數線性聯系起來，再結合應變依賴性建立了應變率相關的超彈本構模型。Wang 等[11]發現隨著溫度的不斷降低和應變速率的增大，HTPB推進劑的應力-應變曲線和損傷特征更加復雜；考慮到溫度對材料超彈性、黏彈性和損傷的影響，他基于HTPB推進劑的壓縮行為和非線性黏彈性本構理論，提出了一種新的含損傷熱黏超彈本構模型。Guo等[12]基于Lubliner 等提出的變形梯度的乘法分解和自由能的加法分裂，采用Attard 應變能函數，得到了有限變形下聚脲的非線性黏超彈本構模型，能夠較好地描述寬泛應變率下聚脲的拉伸和壓縮力學行為。

為了研究推進劑在受載時導致宏觀變化的內在因素，近年來，許多學者使用細觀方法，根據推進劑外部的受載情況，基于計算機顆粒堆積算法，構建出滿足所需條件的細觀數值模型，通過數值模擬得到細觀結構對宏觀力學行為的影響。韓龍等[13]將宏觀研究方法與細觀研究方法結合起來，基于黏彈性脫濕準則將獲得的細觀數值代入到宏觀本構模型中，提出了一個考慮NEPE推進劑細觀顆粒脫濕因素的非線性黏彈性本構模型。

分離式Hopkinson 桿（SHB）技術是目前對復合材料進行高應變率測試的主要方法。Davies[14]和Kolsky[15]首先提出了用兩個Hopkinson 桿夾住試樣來測量材料的動態響應的方法，后來經過眾多學者的改進，分離式Hopkinson 桿技術已經可以用來對材料進行壓縮、拉伸和扭轉等多種加載形式的測試。

本文通過使用分離式Hopkinson 壓桿（SHPB）和電子萬能試驗機，對NEPE 推進劑進行高低應變率單軸壓縮實驗，在Yang 等[16]提出的NLHV 模型的基礎上，把松弛時間與應變率聯系起來，構建一個非線性黏超彈本構模型。

1 本構模型

考慮到NEPE推進劑不僅具有卸載后應變可以基本恢復的超彈特性，同時還具有率相關性、加載歷史相關性和松弛等黏彈特性，本文在Yang 等[16]提出的NLHV 模型基礎上，采用Rivlin 應變能函數，并根據松弛時間和應變率之間的關系，將松弛時間替換成應變率相關的函數，建立了一個寬泛應變率非線性黏超彈本構模型，模型表達式如下：

1.1 超彈性本構方程

1.2 黏彈性本構模型

由于NEPE推進劑具有率相關性和加載歷史相關性，在準靜態和動態加載條件下都表現出明顯的非線性黏彈特性，因此采用Truesdell 等[19]證明的非線性黏彈性本構方程：

目前，不同應變率范圍內的加載過程通常使用不同階數的Prony 級數來描述。從微觀結構的角度看，彈性體在變形過程中，由于化學鍵的可逆斷裂和交換發生了分子間滑移，從而產生了松弛現象。從宏觀的角度來看，不同的應變水平下都存在一個整體的松弛時間（θ），Khajehsaeid 等[20]提出該松弛時間最終取決于變形率，通過如下關系將材料的整體松弛時間和變形速率聯系起來：

將式(18)和式(19)代入式(17)可得

2 實 驗

2.1 實驗材料

由于NEPE推進劑是一種多組分的復合材料，不同批次的NEPE推進劑的力學性能也存在偏差，因此本文選擇同一批次的NEPE 推進劑來進行實驗，并將澆筑成型的管狀藥切割為兩種尺寸。準靜態實驗使用公稱尺寸為?10 mm×10 mm 的試件，動態實驗使用公稱尺寸為? 10 mm×5 mm 的試件。

2.2 低應變率壓縮實驗

2.3 高應變率壓縮實驗

2.3.1試件尺寸設計

2.3.2實驗方法及過程

高應變率動態壓縮實驗在分離式Hopkinson 實驗臺上進行。由于NEPE推進劑較軟，波阻抗較低，為了獲得較為準確的透射信號，選擇LC4鋁制作了本實驗的子彈、入射桿、透射桿和吸收桿。在實驗過程中，為了減少試驗桿與試件之間摩擦帶來的影響，在試件端部涂上適量的潤滑脂。為了保證實驗數據的可靠性，試件內必須滿足恒應變率變形和應力均勻條件，使用脈沖整形技術，將厚紙片置于入射桿端部，提升入射脈沖上升沿時間，達到恒應變率變形。在室溫下分別進行5種不同應變率下的實驗，每個應變率下重復5組實驗以獲得較為準確的數據。

使用二波法對數據采集系統獲得的信號進行處理，獲得試件的應力應變曲線和應變率：

式中：c0為桿中的彈性波波速；l0為試件的初始長度； E0為桿的楊氏模量； S0為桿的橫截面積； Ss為試件的初始橫截面積，εR和εT分別為反射應變和透射應變。

2.4 實驗結果分析

2.4.1高應變率實驗可靠性分析

為保證實驗結果具有有效性和可信性，需要對每次的實驗數據進行應力均勻性和恒應變率加載校核。圖1為0.12 MPa 炮壓下的SHPB實驗波形。圖1(a)為應變片測得的原始波形，由式(25)可知試件的應變率與反射波強度成正比，圖中可以看出反射波呈平臺狀，因此滿足恒應變率加載要求。圖1(b)為實驗透射波和計算透射波的對比波形，通過將入射波和反射波進行平移相加獲得計算透射波，對比發現實驗透射波和計算透射波基本重合，說明實驗滿足應力均勻性假設。

圖1 SHPB實驗波形圖Fig.1 Waveprofilesby SHPB experiment

2.4.2應力應變曲線分析

通過對萬能試驗機上采集到的數據進行處理，可以獲得室溫下試件不同應變率的應力應變曲線，如圖2所示。由圖2可知，隨著應變率的增加，NEPE 推進劑的彈性模量明顯增大，硬度增加；在曲線中并未找到明顯的屈服點；在應變率較低時，曲線接近于直線，當應變率達到8.333×10?1s?1時，表現出明顯的非線性且存在應力強化段。

對滿足恒應變率變形和應力均勻性的高應變率實驗數據進行處理，可以得到高應變率下試件的應力應變曲線，如圖3所示。通過觀察可以發現，在加載過程中，試件經歷了初始彈性上升段、屈服階段和屈服后應力下降階段，應力達到峰值后的下降段可能是由于子彈長度有限，產生的應力波作用時間有限，導致了試件內應力被卸載，并不一定是材料結構破壞造成的；材料的性質具有明顯的率相關性，隨著應變率的增加，材料的強度、屈服應力和彈性模量顯著增加，與低應變率相比，材料的應變率敏感性更高；由于高速沖擊下材料內部瞬間產生大量熱量無法及時散發出去，使得材料內部溫度升高，導致了材料出現軟化效應，力學性能降低，同時在高速沖擊下材料內部結構遭到破壞，顆粒發生了破碎，因此材料在屈服后出現了短暫的應變軟化段，然后出現了應力下降段。

圖2 低應變率下的應力應變曲線Fig.2 Stress-strain curves at low strain rates

準靜態實驗后獲得的恢復試件如圖4和圖5所示，通過觀察試件可以發現，對試件進行70%應變的壓縮后卸載，卸載后與初始長度相差0.81 mm，靜置24 h 后試件幾乎可以恢復初始長度，與初始長度相差0.47 mm，基體未產生裂痕和發生斷裂；當應變提升至95%時，卸載后與初始長度相差2.1 mm，靜置24 h 試件長度與初始長度相差1.3 mm，基體仍未產生裂痕和發生斷裂，試件呈現出鼓狀，說明材料較軟且具有較好的彈性和延展性。在準靜態壓縮實驗中，試件內部顆粒與基體的黏合處會產生應力集中，顆粒脫濕形成橫向的孔洞并產生微裂紋，隨著應變增大，微裂紋增多，但并未進一步發展成斷裂破壞。高應變率實驗獲得的試件則不同，如圖6所示，試件主要分為3種形態，當應變率較低時呈鼓狀，此時顆粒受到沖擊發生破碎，試件側面出現裂痕，但試件基體還未發生完全斷裂；當應變率升高時，此時裂痕由試件邊緣向內擴展，造成基體內部發生破壞，試件斷裂；隨著應變率繼續升高，試件被完全打散，顆粒破碎程度增加，基體被壓成片狀，試件內部被完全破壞，產生了大量裂痕和空隙，基體發生解體現象。在沖擊實驗中，由于顆粒的模量遠大于基體的模量，大部分的沖擊載荷會作用在顆粒上，導致部分顆粒還未脫濕就發生破碎，微裂紋從顆粒內部產生并向基體延伸，推進劑發生穿晶斷裂，隨著應變率增加，顆粒破碎程度增大，基體解體現象更加明顯。

圖4 準靜態實驗后獲得的恢復試件（應變為70%）Fig.4 Recovered specimens after quasi-static compression at the strain of 70%

圖5 準靜態實驗后獲得的恢復試件（95%應變）Fig.5 Recovered specimensafter quasi-static compression at the strain of 95%

圖6 動態試件Fig.6 Specimens after dynamic compression

3 模型擬合與預測

采用最小二乘法對準靜態實驗中速率為0.1 mm/min 的數據與Rivlin 超彈模型進行擬合，獲得的Rivlin 超彈模型參數和相關系數見表1。圖7是應變率為1.667×10?4s?1時的實驗曲線和擬合曲線，可以看出擬合曲線與實驗數據基本重合，超彈參數能較好地反映材料的非線性彈性響應。

對于恒應變率變形，伸長率為關于時間的函數

表1 Rivlin超彈模型參數Table 1 Rivlin fitted parameters

圖7 Rivlin 超彈模型準靜態實驗擬合曲線Fig.7 Rivlin model fit to quasi-static experimental data

松弛函數G (t)可以化為

當進行寬泛應變率擬合時，式(23)可化為

分別對準靜態壓縮實驗和分離式Hopkinson 桿實驗獲得的數據進行處理，獲得應力應變曲線，轉化成應力和伸長比代入式(30)，采用最小二乘法進行擬合，獲得黏彈參數如表2所示。圖8是包含了準靜態壓縮實驗和分離式Hopkinson 桿實驗的實驗曲線和擬合曲線。由圖中可以看出，在低/高應變率范圍內，擬合曲線與實驗數據具有較好的重合度，能夠較為準確地描述低/高應變率下NEPE推進劑的應力應變關系。

利用本文建立的黏超彈本構模型對單軸壓縮速率為500 mm/min 的準靜態實驗和應變率為4 500 s?1的動態壓縮實驗進行預測，預測曲線和實驗曲線如圖9所示。從圖9中可以看出，實驗曲線與預測曲線具有較好的一致性，可以較為準確地描述NEPE推進劑在低高應變率下的力學響應；在高應變率情況下，當應變大于0.45時實驗曲線逐漸偏離預測曲線，出現應變軟化現象，這是由于在沖擊實驗中響應時間十分短暫，實驗過程中的產熱速率遠大于熱擴散速率，此時材料內部的溫度急劇升高造成了材料的軟化。本文沒有考慮在高速沖擊下材料內部溫升對材料的軟化效應，因此造成了高應變率下當應變大于0.45時，預測曲線高于實驗曲線的現象。

表2黏彈參數Table 2 Viscoelastic parameters

圖8 低高應變率下實驗曲線與擬合曲線Fig.8 Comparison between fitted resultsand experiment data at low and high rates

圖9 低/高應變率下實驗曲線與預測曲線Fig.9 Comparison between prediction curves and experiment data at low and high rates

4 結 論

本文建立的黏超彈本構方程由超彈部分和黏彈部分組成，首先用極慢速壓縮實驗數據擬合出超彈參數，然后使用準靜態和動態實驗結果擬合出其他參數。通過預測曲線和實驗曲線對比可以看出，本文提出的本構模型能夠較為準確地描述NEPE 推進劑在低應變率和高應變率下的力學行為。

考慮到松弛時間是具有率相關性的，本文采用了一個率相關松弛函數來替代傳統的Prony 級數形式。與Prony 級數形式相比，該函數減少了材料黏彈參數的數量，同時說明了松弛時間與應變水平有關聯。

與準靜態實驗相比，材料在沖擊實驗中具有更高的應變率敏感性。在高速沖擊下材料內部瞬間產生大量熱量無法及時散發出去，使得材料內部溫度升高，導致了材料出現軟化效應，力學性能降低，同時在高速沖擊下部分顆粒還未脫濕就發生破碎，微裂紋從顆粒內部產生并向基體延伸，推進劑發生穿晶斷裂，隨著應變率增加顆粒破碎程度增大，基體解體現象更加明顯，破壞形式通常表現為鼓形變形、試件斷裂和完全破壞三種。