帶有記憶項非線性Berger型方程的長時間動力學行為分析

劉琳琳，李正波，范小明

（西南交通大學 數學學院，成都 611756）

飛機在高空高速飛行過程中，機身表面常常會遇到不穩定氣流從而產生非線性振動。Berger型方程就是描述這類問題的偏微分方程。對于Berger型方程的研究，之前的探索主要關注于帶有強阻尼g（ut）項的Berger型方程［1-7］，而對帶有弱阻尼的Berger型方程則涉及較少［8-14］。Jorge等［14］研究了r階延展項并且帶有強阻尼g（ut）的Berger型方程，證明了全局吸引子的存在性。Potomkin［8］研究了帶有記憶項并且延展項為2階的Berger型方程的長時間動力學行為，在此基礎上［8，14］，提出了帶有弱阻尼記憶項以及r階延展項的Berger型方程：

其中延展項T（·），非線性源項f（u）分別為

式中：Ω是R3中邊界充分光滑的有界領域，函數u（x，t）表示金屬板在x位置、t時刻的擾度。函數T（·）用于描述板面的伸縮程度，其中α與板平面上的壓力值成正比，函數g（s）表示記憶內核。同時這里的邊界條件意味著板的邊緣是絞接的。

利用文獻［13］中的方法引入新變量將非自治動力系統轉化為自治動力系統，通過令v=ut將方程變成一階的微分方程，再運用半群方法證明了帶記憶項的Berger型方程的解是適定的，可以生成一個動力系統。將改進能量函數定義為Φ函數，證明了Φ函數是一個嚴格的Lyapunov函數，從而得到Berger型動力系統是一個梯度系統。不再沿用傳統方法只關注單個軌道，而是借助研究2個軌道差的方法，證明了帶有記憶項的Berger型動力系統在每個正向不變有界集上是擬穩定的，也就得到了動力系統是漸近光滑的。再根據文獻［15］中定理7.5.9，證明了所研究的帶記憶項的Berger型動力系統具有緊的全局吸引子A。在此基礎上進一步證明了Berger系統的全局吸引子的分形維數是有限的。同時，應用插值理論還證明了在拓展相空間中動力系統具有有限維的廣義指數吸引子。

1 預備知識

1.1 基本概念、引理

定義1［15］如果X上的有界閉集A滿足：

1）對于任意t≥0，A為不變集（任意的t≥0，StA=A成立）。

2）A具有一致吸引性；對于X上全部有界集E滿足

定義2［15］令Z?X是動力系統（X，St）上的正向不變集：

1）若Φ（z）是Z一個的連續函數，如果任意的z∈Z，t→Φ（Stz）為非增函數。

2）任意t＞0，若某些z∈Z，滿足Φ（Stz）=Φ（z）能推出Stz=z，并且z為（X，St）的平衡解，則Φ（z）為嚴格的Lyapunov函數。

3）若在全空間X上動力系統（X，St）具有嚴格的Lyapunov函數，則動力系統（X，St）為一個梯度系統。

定義3［15］若nA（·）滿足：

則nA（·）是空間A上的一個半范數。如果對于所有的aj?A，若成立，有則nA（·）是一個緊的半范數。

定義4［15］nA（·）是A中緊的半范數，以及非負函數i（t），j（t），k（t）使得以下條件成立：

1）函數i（t），j（t），k（t）在［0，∞）區間局部有界。

2）j（t）∈L1（R+）并且limt→∞j（t）=0。

3）對于任意Z1，Z2∈B，滿足

那么（F，St）在集合B（B?F）上具有擬穩定性。

引理1［12］若F為Banach空間，算子L為m-增生算子，對于任意的z0∈D（A）方程：

存在唯一的經典解z使得：z∈C（［0，+∞），D（L））∩C1（［0，∞），F）成立。

引理2［15］若F為一個Banach空間，若動力系統（F，St）在F上的任意正向不變有界集中具有擬穩定性質，那么（F，St）為一個漸近光滑動力系統。

引理3［15］若動力系統（F，St）為Banach空間F上漸近光滑的梯度系統，Φ（z）是定義在F上的Lyapunov函數。若有以下條件成立：

1）Φ（z）在F中的任意有界子集上有界。

2）對于任何的R＞0，ΦR（z：Φ（z）≤R）有界。

3）動力系統（F，St）的不動點集N有界。則（F，St）有緊的全局吸引子。

1.2 基本假設與工作空間

因為方程中帶有記憶項，所以動力系統是非自治的。因此需要通過引入新變量［8，13］把非自治的系統變成自治的系統。令

其中θt（x，0）=0，x∈Ω，t＞0初值為θ0（s）=θ0（s）且θ0（x，s）=u0（0）-u0（s）。

記憶項u滿足：ut=θt+θs。設有：

為計算方便取：l0=1-k，得到如下自治動力系統：

其中：

初值條件為

邊值條件為

下面給出方程中各項的假設。

（A1）非線性源項f（u）的定義與假設f（0）=0，當n≥3時

并且存在一個常數Cf＞0，使得

其中若λ∈［2，3］，Cf=1；λ＞3，。令是一個R→R的非負C2函數，滿足

（A2）可伸縮項T（s2）定義與假設：令

（A3）記憶內核g（s）的定義與假設：令g（s）是C1（R+）中的非負函數，滿足

并且存在一個正常數ρ＞0，滿足：

下面給出工作空間的定義：

其中H=H2（Ω）∩H10（Ω），L=L2（Ω），關于變量θ的加權空間M為

1.3 能量不等式

為了證明方程解的適定性問題以及動力系統具有的梯度性質，給出方程組（2）～（4）的能量函數及其估計。能量函數的定義如下：

修正能量函數為

注：這個修正的能量函數就是后面證明中定義的Φ函數。

引理4對于任意的t＞0，存在一個正常數K＞0，使得下面能量不等式成立：

證明：令

由于H10（Ω）緊嵌入到Lλ（Ω）有

所以

其中c（Ω）是Sobolev嵌入常數。

蓋碗茶具的出現與飲茶習俗的變化發展密不可分，是在中國古代茶具積淀之上形成的，符合中國茶事美學與實用的茶具。如今，仍以其獨特的人文屬性及靈活可變的功能形制，在現代茶事活動中成為不可或缺的一類茶具。在茶文化大發展的時代背景下進行概念厘清及發展梳理，具有非常重要的現實意義。

因此有：

由式（14）

下面分兩種情況討論能量不等式：

2 Berger系統解的適定性

運用半群理論證明方程（2）～（4）的解是適定的，下面借助算子表達記憶項。令Gθ=-θs，θ∈D（G），因此θt=Gθ+ut，θ（0）=0。對于任意的θ∈D（G），可知：

在平移半群中，D（G）=｛θ∈M|θs∈M｝為無窮小生成元。下面通過做變換將方程（2）～（4）變為抽象的柯西問題。引入新變量：v=ut將方程變換成1階演化方程：

U（t）=（u（t），v（t），θ）∈E是方程（20）的解。其中：

并且

引理5L為m增生算子。

證明：由可知算子L是一個單調算子。下面證明算子L是極大算子：給定p*=（u*，v*，θ*）∈E，存在z∈D（L），使得z-Lz=p*成立。那么有

在式（23）中對s積分，同時θ（0）=0，有

把式（24）代入式（22）并加上式（21）繼續進行變換則可以寫成：

其中：

由式（25）給出雙線性形式B∶（H20（Ω））×L2（Ω）→R的定義：

因此雙線性B具有連續性和強制性。由Lax-Milgram定理可證明方程（25）存在唯一的弱解v∈H20（Ω）。下面證明θ∈M，θs∈M：由式23）并結合θ（x，0）=0，有

根據記憶內核的假設以及young不等式可知

θ∈M得證。根據式（23）有

可以證明θs∈M。綜上z∈D（L）為z-Lz=p*的解，引理5得證。

引理6算子F于E中具有局部Lipschitz連續性。

證明：令D?E，且D是一個有界集.Ui=（ui，vi，θi）∈D（i=1，2）。

其中

由拉格朗日中值定理：

結合式（26）（27）有：

由非線性源項的假設式（5）可知：

定理1若（A1）～（A3）成立，對任何z0∈E，問題（2）～（4）具有唯一的柔和解z∈C（0，T；E），z（0）=z0，T＞0，使得：

并且解對初值具有連續依賴性，若z0∈D（L），能得到強解。

證明：（反證法）假設問題（2）～（4）的解不是整體存在的。根據引理1、引理5和引理6可知方程，具有唯一的柔和解。由引理6，方程（20）在［0，T］中存在唯一的局部柔和解。假設tmax＜∞，有

不妨令z（t）是關于初值z0∈D（L）的柔和解。又因為z（t）為強解，根據能量不等式，對于任意的t≥0有：

根據稠密性定理，柔和解也滿足式（30），這與式（29）產生矛盾，所以假設不成立。當tmax=∞時，z（t）為1個整體解。下面證明柔和解對初值具有連續依賴：

對于任意的T≥0，任意的t∈［0，T］，假設z1（t）和z2（t）分別為關于初值z1（0）和z2（0）的柔和解。因此滿足：

由能量不等式以及引理6有：

由Gronwall不等式有：CT是與初值有關的常數，解對初值的連續依賴性得證。即證D（L）中的柔和解Z0為一個強解，因此證明了方程（20）解的適定性。

定義算子族：{S }tt≥0：E→E。根據定理1，假設z（t）為方程（20）的解有：

這樣得到1個在E中具有局部Lipschitz性質的C0半群，那么研究動力系統（E，St）的相關性質，即可得到方程（20）的相關動力學性質。

3 Berger系統的全局吸引子

3.1 梯度性質

定義：

引理7Φ為E上的嚴格Lyapunov函數，動力系統（E，St）具有梯度性質。

證明：假設Y?E是動力系統上（E，St）一個正向不變集。任意y=（u0，0，0）∈Y，Sty=（u（t），v（t），θt），根據式（6）有：

所以對于任意的y∈E，t→Φ（Sty）是不增的。令y=（u0，0，0）∈E，若對于所有Φ（Sty）=Φ（y）都成立，則：由式（31）可知：

對于任意的x∈Ω，θt（x，s）=0又由于θt=Gθ+ut，有ut（x，t）=0因此對于所有的t≥0，有：u（t）=u0則Sty=y=（u0，0，0）是動力系統的平衡解。

引理8方程（2）～（4）的平衡集N為有界集。

證明：令U=（u，0，0）是（E，St）上的一個平衡解，滿足：

將式（32）與u在Ω上做內積得到：

其中C（Ω）為嵌入常數，因此：

則

引理9動力系統（E，St）的Lyapunov函數Φ（x）在E的任意有界子集上為有界的；對于任何R＞0，集合ΦR={ x：Φ（x）≤R} 為有界集。

證明：因為Φ（U（t））=ε（t），所以Φ在E上任意有界子集為有界的。由能量不等式可知：

3.2 漸近光滑與擬穩定

引理10若（A1）～（A3）成立，給定集合B?E是正向有界不變集。在問題（2）～（4）中：令z1=（u1（t），v1（t），θ1t）為關于初值z10的弱解，z2=（u2（t），v2（t），θ2t）為關于z20的弱解，則有常數γ，b0＞0，和取決于B的常數CB＞0，有：

其中ω（t）=u1（t）-u2（t）。

證明：令θ～=θ1t-θ2t，則（ω，ωt，）是下面問題的一個弱解。

其中F（u）=f（u1）-f（u2），引理10主要分5步來證明。

步驟1令

將式（36）乘以ωt在Ω上積分得到：

做變形

由Young不等式及H?lder不等式有：

由Gagliardo-Nirenberg插值不等式有：

由H?lder不等式以及拉格朗日中值定理：

因此得到關于E′ω（t）的估計：

步驟2令φ1（t）=（ω，ωt）Ω

由H?lder不等式以及Poincare不等式有

由H?lder不等式以及拉格朗日中值定理有

因此有

步驟3令

對φ2（t）求導，由式（36）中的第2個方程有：

其中

由Young不等式可知：

步驟4令J（t）=E（t）+ε1φ1（t）+ε2φ2（t）

其中0＜ε1，ε2＜1，則J（t）是想要的Lyapunov函數。并且存在σ＞0，對于任意t≥0有下面的估計成立：

其中σ1=1-σ，σ2=1+σ。

證明：由Young不等式以及Poincare不等式有：

那么存在一個常數σ0＞0，使得

令σ1=1-σ0，σ2=1+σ0，σ1，σ2＞0，便得到不等式（45）。

步驟5 證明有非常小的ε＞0，以及與B相關的正常數cλ＞0，滿足

證明：根據步驟4中J（t）的定義知：

根據式（42）～（44）的估計有：

結合式（48），不等式（46）得證。由式（45）以及Gronwall不等式可知：

又因為σ1E（t）≤J（t）≤σ2E（t）可得：

定理2動力系統（E，St）在E上的任何正向不變有界集B都具有擬穩定性。

證明：令X=H2∩H10（Ω），Y=L2（Ω），Z=L2g（R+，H20），則X能夠緊嵌入到Y中，根據解對初值的連續依賴性，有

有j（t）∈L1（R+），且成立。又因為B是E上的有界集，所以k（t）在［0，∞）區間內具有局部有界性。由式（35）可知：

由定義4可知：（E，St）在E上任意一個正向不變有界集B中都具有擬穩定性，從而證明了動力系統（E，St）是漸近光滑的動力系統。

定理3（A1）～（A3）成立，動力系統（E，S（t））具有緊的全局吸引子，Mu（N）為N傳出的不穩定流形。

證明：由引理7能夠證得（E，St）是一個梯度系統，定理2證得（E，St）是漸近光滑的，根據引理8可得Φ（x）在E上任意有界子集上具有有界性，同時ΦR也具有有界性，結合引理9得到動力系統平衡解集N也具有有界性。根據引理3可知動力系統（E，St）存在緊的全局吸引子。

3.3 有限分形維數、正則性及廣義指數吸引子

定義5［15］若X是度量空間，E為X上的一緊集。E的分形維數定義如下：

其中n（E，r）是能夠覆蓋集合E的閉球的最小個數，閉球的直徑為2r。

定義6［15］若A是一個具有有限分形維數的正向不變集，并且對于X上每一個有界集K，都存在正常數tK，CK，rK，對于任意t≥tK滿足：

則X上的緊集Aexp是動力系統（E，St）的慣性流形（分形指數吸引子）。

定理4 動力系統（E，St）全局吸引子A的分形維數是有限的。任意屬于A的全軌道{u（t），ut（t），θ（t）：t∈R} 存在如下正則性：

并且對于R＞0，有：

證明：根據家理2、定理3可知，吸引子A的分形維數有限同時能得到全軌道關于時間的正則性。

定義7令A=-Δ是定義在L2（Ω）上的拉普拉斯算子，D（A）=H2（Ω）∩H10（Ω）

刻度空間：

定義空間：

當t≤s時：Fs可以嵌入到Ft中。

定理5若（A1）～（A3）成立，那么動力系統（E，St）在空間E上存在廣義指數吸引子。對于任何γ∈（0，1］，空間E上的廣義指數吸引子于拓展空間E-γ內分形維數有限。拓展空間定義如下：

證明：令B={ y|Φ（y）≤R}，Φ（·）為引理7所定義的嚴格的Lyapunov函數。對于足夠大的R，集合B為正向有界不變吸收集，這樣便可得到（E，St）在B內具有擬穩定性。

下面分2種情況討論拓展空間中廣義指數吸引子的存在性。

1）當γ=1時

B是正向不變有界吸收集，關于初值φ0=（u0，v0，θt0）的一個解φ（t），由式（20）知存在一個CB＞0對于任意T＞0，有：

所以對于任意0≤t1＜t2＜T有：

那么t→Sty于E-1中具有H?lder連續性。動力系統（E，St）存在分形維數有限的廣義指數吸引子。

2）當0＜γ＜1時

由插值不等式，對于任意的g∈Fm都存在一個正常數Cm＞0，（m=0，1，2），滿足

B是半徑為r0的球中的一個正向不變有界集，φ（t）=（u（t），ut（t），θt）∈B。因此有：

結合式（55）～（57）有：

因此對于任意的φ∈B，映射t→Sty于擴展空間E-γ內具有H?lder連續性。動力系統（E，St）在E-γ中存在廣義指數吸引子同時其分形維數有限。