一種超級梁單元桁架式臂架結構強度荷載計算

徐 金 帥， 齊 朝 暉*， 高 凌 翀， 卓 英 鵬， 李 強

(1.大連理工大學 工業裝備結構分析國家重點實驗室，遼寧 大連 116024；2.慕尼黑工業大學 物流搬運與起重研究所，德國 加爾興 85748；3.太原重工股份有限公司，山西 太原 030021)

0 引 言

以桁架式臂節組裝臂架作為主承載結構的臂架型起重機主要有履帶式起重機、桅桿式起重機、塔式起重機等.臂架結構的承載能力是起重機的關鍵指標之一，主要由臂架結構強度、臂架穩定性兩方面確定[1].臂架長度不斷增加，在承載后有明顯的變形，體現出幾何非線性效應[2]，文獻[3-5]在臂架穩定性計算方面做了大量研究.桁架式臂架具有組合規則、計算工況多的特點，工程技術人員通常依據現有國家規范的解析計算以及采用商用有限元軟件建立相應的計算模型進行計算[6].隨著起重機噸位的不斷增加，臂架長度加長，采用這類計算方式存在明顯的不足：(1)基于國家規范的結構應力解析計算方法[7]，在具有幾何非線性效應的臂架計算中，通常采用帶有經驗特點的放大系數法對線性結構應力進行放大，雖然計算效率高，但所得到的結果往往偏于危險.(2)應用商用有限元軟件計算時，由于臂架計算工況多以及結構自由度大，在長臂架的幾何非線性計算中，計算效率低，同時還需要通過試算方式結合人為判斷確定結構強度承載能力.如何滿足桁架式臂架在工程中使用安全的前提下提高設計計算效率，成為一個非常實際的問題.

工程中的桁架式臂架，雖然承載后整體上存在較大變形，但在每個臂節結構中，仍屬于小變形情況，因此，可根據臂架組合將其劃分為多個子結構.子結構法能夠大幅度削減所要求解的平衡方程的維數[8]，提高計算效率，在大量工程中一直被廣泛應用[9-11].工程中針對以梁桿單元組成的空間框架結構的幾何非線性計算，構造一種新的非線性單元也是很多研究人員專注的一個研究方向[12-14]，并且在一些框架結構中得到了應用.而應用共旋坐標法[15]解決這類工程問題相對于應用全量拉格朗日方法、增量拉格朗日方法以及二者混用的混合法體現出簡單、高效的特點，同時并不需要構造新的非線性單元[16]，可以充分利用線性有限元所積累的大量成果.在考慮結構幾何非線性效應的前提下，對于結構強度決定的承載能力進行快速搜索也是提高計算效率的途徑之一，采用一維搜索中的黃金分割法[17]雖然能夠進行其承載能力的搜索，但由于搜索區間的長度縮短比率為常數，其收斂速度較慢[18].

因此針對組合規則多、長度多變的桁架式臂架，本文在考慮臂節重力影響的基礎上，基于靜力凝聚法，針對每個臂節建立可參數化的兩節點超級梁單元，以實現臂架參數化的快速建模.基于共旋坐標法考慮臂架的幾何非線性效應，在得到單元的節點力之后，快速計算臂架的結構應力，同時提出一種臂架結構強度承載能力快速搜索方法，對于提高桁架式臂架起重機的計算效率以及結構安全性研究提供參考.

1 桁架式臂架的特點

桁架式臂架結構均為格構式，由于安裝、運輸等參數尺寸要符合相關國家運輸標準要求，需拆分為多個獨立的臂節，其臂節的組合可根據相應臂架的設計參數進行合理組裝，形成不同長度參數的臂架，如圖1所示.

圖1 桁架式臂架起重機

臂架主結構由多根型材組成，稱之為弦桿，弦桿之間通過銷軸或者焊接形式的綴條連接，綴條稱之為腹桿.這種結構形式在一定的空間尺寸上具有更好的抗彎與抗扭能力，能夠承載更大的荷載.臂節一般可以分為底節、不同長度的中間節、變截面節、臂頭等部件，如圖2所示.

圖2 臂節的基本形式

在確定臂節種類之后，不同長度的臂架組合通過配置不同臂節實現.因此，桁架式臂架組合只需要建立少量參數化的臂節，就可以快速實現不同臂節參數與臂架長度的組合.底節局部與臂頭為剛度大的板梁組合結構，計算中作為剛體考慮.很多桁架式臂架起重機的臂架具有較大范圍的工作角度，以單主臂為例，一般具有與水平面30°到85°夾角的連續工作范圍，如圖3所示.以帶有超起桅桿結構的履帶起重機為例，超起桅桿有3種工作角度，主臂以2°為離散間隔計算點，需要計算的離散點的數量接近900個，表1為太原重工750 t履帶起重機主臂的組合表，也體現出需要計算大量臂架工況，因而一種快速的建模與計算方法對于桁架式臂架的計算有重要意義.

圖3 履帶起重機超起型主臂

表1 臂架組合參數

2 臂節子結構坐標系

建立每個臂節的臂節子結構坐標系(后文均稱為臂節坐標系)，如圖4所示，可以清晰地描述單個臂節內部單元在臂節坐標系的節點位移與截面轉角，同時方便表達臂節坐標系相對于總體坐標系的大轉動.單個臂節左右端面形心在總體坐標系的矢徑分別為r1、r2.

圖4 臂節子結構坐標系

在臂節子結構左端面，選擇臂節一側變幅平面內的兩個點中心作為輔助參考點p，臂節坐標系可以按照如下原則建立：

(1)

臂節坐標系相對于總體坐標系的參數轉換矩陣(坐標系基矢量為列向量)為

(2)

(3)

臂節右端面形心位移在臂節坐標系中的速度：

(4)

(5)

輔助參考點在臂節坐標系下的速度：

(6)

式中：ω1為左端面在總體坐標系上轉動角速度；p=r3-r1，為點p在總體坐標系中的矢徑.

結合臂節坐標系的定義，r2-r1在b2與b3軸上分量為0，矢徑p在b2軸上分量為0，那么位移協調條件為

(7)

由式(7)可以得到速度協調方程：

(8)

根據臂節坐標系建立原則：

(9)

其中k1、k2、k2為常數，將式(9)代入式(8)，可以得到

(10)

根據式(10)可以得到臂節坐標系的角速度ωgs：

(11)

其中

(12)

3 考慮重力離散的臂節超級梁單元

桁架式臂架中的大量臂節內部節點除重力作用外，不承受外部荷載，而且重力加速度方向在總體坐標系中的方向保持不變，從而可采用靜力凝聚的方法[8]，未知量為臂節兩端節點自由度，內部自由度由兩端節點自由度表達，從而實現自由度的凝聚，達到降低計算自由度數量的目的.

3.1 考慮重力離散的臂節內部自由度凝聚

采用文獻[8]中對于子結構自由度凝聚的方法，可以總結為

(1)在重力影響不能忽略的情況下，可以將重力離散到所有節點上，得到每個單元的重力離散系數矩陣，針對整個結構進行重力離散系數組裝；

(2)對于子結構的邊界節點、內部自由節點的受力，在進行整體分析之前，雖然3種外力是未知的，但是可以確定其處于平衡狀態，建立子結構的平衡方程；

(3)在消除結構剛體位移的前提下，內部節點自由度總可以用邊界節點自由度表達.

圖5為桁架式臂節的節點分類圖，單個臂節的等效剛度矩陣為

圖5 臂節子結構節點分類

(13)

等效剛度陣中的子矩陣

(14)

重力離散系數矩陣

(15)

其中，單個臂節剛度陣

(16)

單個臂節重力離散系數矩陣

(17)

3.2 臂節的超級梁單元

臂節連接端部均有加強直腹桿等局部加強結構進行連接，剛度較大.為提高求解的效率，假設臂節端面為剛性截面，進行第二次凝聚，將子結構端面節點的自由度用端面中心點的自由度表示，形成臂節兩節點超級梁單元，如圖6所示.

圖6 臂節超級梁單元示意圖

對于在臂節子結構左右端面上任意一節點，其位移與轉角可以表達為

(18)

節點參數轉換矩陣

(19)

根據式(19)以及臂節兩端面邊界節點數，可以組裝得到邊界節點參數與端面形心節點參數轉換矩陣T，通過邊界節點虛功率方程可以推導出超級梁單元等效剛度陣K與等效重力離散系數矩陣V.

(20)

這樣每個臂節作為一個子結構，通過對其自由度的凝聚，形成了具有兩個節點的超級梁單元，但是卻完整保留了整個臂節的幾何與力學信息.

4 參數化的臂節建模

4.1 臂節的參數化模型

產品設計計算是一個不斷反復迭代修正的過程，建立可參數化的計算模型，實現對模型參數的修改，快速生成新的計算模型，對工程起重機設計計算有著重要意義.表2中以桁架式臂架的一個中間節為例，通過對表中臂節特征參數進行參數化設計，可以快速建立起對應的具有超級梁單元特征的臂節結構.參數化臂節模型見圖7.

表2 中間節參數

圖7 參數化臂節模型

4.2 參數化臂節的組裝

如圖8，每個臂節轉換為具有兩個節點的超級梁單元，單元的節點包括3個平動自由度和3個轉動自由度，將所有臂節進行組裝形成整體臂架，這樣就從很大程度上減少了整個臂架計算過程中求解非線性方程的個數，提高了計算效率.

圖8 臂架組合

5 臂節子結構節點力平衡方程

超級梁單元內的任意一點位移為u，在總體坐標系中速度為

(21)

總體坐標系中，超級梁單元的重力虛功率：

(22)

將式(21)代入式(22)：

(23)

由臂節子結構端面形心自由度所表達的子結構變形虛功率方程為

(24)

根據角速度的疊加原理[19]，超級梁單元左右端面在臂節坐標系中的轉動角速度可以由臂節坐標系的轉動角速度和梁單元端面在總體坐標系下的轉動角速度表達：

(25)

在臂節坐標系中，臂節端面的轉動均是小轉動[20]，相應轉動角速度與轉動矢量變化率之間存在下面的關系：

(26)

式中

在臂節坐標系下，可以建立節點速度與端面角速度之間的關系：

(27)

式中Tθ為轉動矢量的轉換矩陣：

(28)

將式(11)代入式(25)，并結合式(4)，得到臂節坐標系與總體坐標系下節點速度與端面角速度之間的關系：

(29)

Ts為兩者的轉換矩陣：

(30)

綜合式(27)、(29)可以得到：

(31)

式中

(32)

(33)

將式(11)代入重力虛功率式(23)前兩項得

(34)

式中

式(23)第3項：

(35)

臂節子結構內力虛功率與重力產生的虛功率之差：

(36)

其中臂節坐標系下結構的廣義節點力

(37)

式(36)給出了臂節結構由內力與重力在總體坐標系下產生的廣義力，那么臂節子結構的平衡方程可以表達為

(38)

式中TQ來源于臂架所承受的外部荷載.

6 單元應力計算與強度荷載搜索

6.1 重力均布的梁單元應力計算

對于梁單元應力的計算，通常的處理方式是單元自重以等效節點力的方式作用到單元節點上，單元內部不受重力，而準確的描述應該是重力以均布荷載作用于整個單元，從而相對準確地計算單元的最大應力位置，并且可以得到應力在整個單元的分布情況.

(39)

式中梁單元重力的等效節點力為

(40)

重力加速度在梁單元坐標系下：

(41)

梁單元中距梁單元坐標系原點長度為L的截面上節點力：

(42)

式中：ρ為梁單元材料密度，A為截面面積，(F1xF1yF1zM1xM1yM1z)為梁單元坐標系下節點的節點力.

單元截面軸向拉壓應力和彎曲應力合成單元的正應力，圖9所示為軸向應力與彎曲應力的組合示意圖.

圖9 組合應力

軸向力在梁單元截面上正應力

(43)

彎矩在梁單元截面上的彎曲應力

(44)

式中：Wy、Wz為梁單元的抗彎模量.

剪切應力在各截面上是相等的，在中性軸處剪切應力最大：

(45)

扭轉剪切應力在梁單元各截面相等，其最大值為

(46)

式中：Wt為梁單元的抗扭模量.

分別對合成正應力與剪切應力求導，可得到最大應力對應的長度參數Lmax.

(47)

梁單元Lmax截面處最大正應力與剪切應力為

(48)

6.2 強度荷載搜索

使桁架式臂架結構達到材料許用應力的荷載稱之為強度荷載，強度荷載搜索為一試算過程，而搜索次數很大程度上影響計算效率.本文采用一種基于兩點線性插值與三點二次插值的快速搜索強度荷載方法.首先確定一個相對精度較低的荷載區間，通過線性插值方式得到一個更接近結構強度應力的荷載，從而得到了3個荷載點.利用三點插值得到一個新的荷載，在此荷載基礎上比較計算應力與結構許用應力之間的精度，在未滿足精度要求的情況下，重新選擇合適的兩點進行再次計算，從而最終搜索到滿足精度要求的臂架強度荷載，計算流程如圖10所示.

圖10 強度荷載搜索流程圖

對于確定型號的臂架式起重機而言，明確臂架類型的最大起重量是確定的，以此數據可以確定一個合理的荷載區間[Q0，Q1，…，Qn].初始計算區間假設為[Qn-1，Qn]，在P0=Qn-1和P1=Qn作用下，計算臂架中單元的最大應力σ0和σ1，利用線性插值原理選取荷載：

(49)

σ2為荷載P2作用下的單元最大應力，對比σ2與結構許用應力σn=[σ]的數值差是否滿足精度要求.未滿足要求情況下，針對P0、P1、P2，采用二次插值方式得到更為接近σn的荷載：

(50)

σ3為荷載P3作用下的單元最大應力，計算σ3與[σ]的差，對比精度要求，實現一次搜索.

(51)

如不滿足精度要求，繼續搜索強度荷載.

7 數值算例

7.1 空間懸臂桁架結構

建立桁架式結構(參數見表3)組成的具有明顯幾何非線性效應空間結構，采用本文的計算方法計算，與有限元軟件ANSYS在開啟大變形條件下的計算結果進行數值對比.

桁架式結構左端面約束所有自由度；右端為自由端，承受豎直方向荷載.桁架式結構如圖11所示，本文與ANSYS位移見圖12.

圖11 桁架式結構示意圖

圖12 荷載150 kN下的位移

分析數據是基于單肢弦桿單元數量為2的前提下進行的對比.從表4中可見：本文位移計算與ANSYS誤差在0.3%左右，最大應力誤差在5%以內，并且隨著計算應力接近本結構材料許用應力，誤差不斷減小，能夠滿足工程要求.

表4 桁架式結構位移與應力

單元數量對于計算精度以及計算規模都有著影響，可根據所需要計算對象的實際需求進行綜合考慮.以本算例中ANSYS計算模型進行網格密度改變，對其最大位移以及最大應力進行對比，可以發現隨著網格密度增加，最大位移變化在0.6%以內，對于網格密度的變化并不敏感.單元最大應力隨著網格密度的增加而呈現收斂趨勢，最大應力變化在10%以內，如圖13所示.

圖13 不同網格密度下應力收斂曲線

7.2 桁架式起重機臂架

以太原重工750 t履帶起重機超起84 m主臂為例，具體參數如下：臂架工作角度為30°～85°；側向荷載與吊重荷載比為1.5%；弦桿屈服強度、抗拉強度、許用應力分別為890、960、583 MPa；腹桿屈服強度、抗拉強度、許用應力分別為770、820、501 MPa；超起桅桿長度為31.5 m；超起桅桿工作角度為120°；單側拉板截面面積為0.004 68 m2.在考慮結構幾何非線性的情況下，得到相應荷載下的節點力，實現了對臂架強度荷載的快速搜索，得到臂架強度決定的起重性能曲線，如圖14所示.圖15、16為3個工況計算結果.圖17為72 m作業幅度工況下臂架頭部側向位移隨著荷載增加的曲線，可以看出，隨著荷載不斷增加，臂架的幾何非線性效應更加明顯.

圖14 84 m主臂結構強度荷載曲線

圖15 84 m主臂正應力云圖

圖16 72 m作業幅度變形圖(5倍)

圖17 72 m作業幅度臂頭側向位移曲線

從計算時間上，本文方法與ANSYS軟件計算對比，在考慮最小增量荷載為2 kN的前提下，本文單個工況的計算時間約為10 s，ANSYS軟件采用幾何非線性計算的時間約為300 s，本文方法計算效率有著很大提高.

8 結 語

針對桁架式起重機臂架，基于子結構方法，在考慮重力離散的前提下，通過兩次結構自由度凝聚，形成一種可用于快速參數化建模與計算的超級梁單元，可快速組裝參數化的臂架模型.采用共旋坐標法計算結構的幾何非線性效應，建立臂節子結構的節點力平衡方程，進而計算臂架強度.提出一種基于插值方式的強度荷載搜索方法，能夠實現對桁架式臂架強度荷載的快速搜索，在滿足計算精度的前提下實現高效率的計算.通過數值算例驗證了本方法的正確性與合理性.