考慮軸向變形的諧波減速器柔輪中面位移計算*

趙 彬，范元勛

(南京理工大學 機械工程學院，江蘇 南京 210000)

0 引 言

隨著計算機科學、仿生學、人工智能等學科的進步，機器人技術(shù)如今正處于蓬勃發(fā)展的階段。作為機器人的核心部件，精密減速器占整機的三分之一以上[1]，諧波減速器因其大傳動比、高精度、小體積等優(yōu)點受到了廣泛的關(guān)注與研究。比如日本的ASIMO機器人有20多個關(guān)節(jié)采用了諧波減速器，WABIAN-2機器人的所有關(guān)節(jié)全部采用了諧波減速器進行傳動[2]。

在諧波減速器中，柔輪筒體受波發(fā)生器強迫變形后與剛輪進行嚙合傳動，隨著波發(fā)生器的旋轉(zhuǎn)，柔輪筒體上產(chǎn)生與旋轉(zhuǎn)周期相對應(yīng)的交變應(yīng)力。因此，相較于其他零件，柔輪極易遭到破壞，極大地影響到諧波減速器的性能。目前，柔輪的應(yīng)力狀況受到了研究人員的廣泛關(guān)注。根據(jù)彈性力學知識，只需求得筒體的位移，則其應(yīng)力也將迎刃而解。但由于柔輪變形的復雜性，柔輪筒體上各點的位移往往難以有較為準確的計算方法。

李秋芳[3]用一對方向相反的徑向集中力代替波發(fā)生器進行了柔輪的變形力計算，這與實際的接觸方式有較大差異，得到的徑向變形力過大；楊勇[4]根據(jù)柔輪中線不伸長假定，通過對柔輪中線變形前后的弧長積分表達式進行處理，得到了中線上各點的位移轉(zhuǎn)角；邢靜忠[5]為減小現(xiàn)有的力學小變形假定下位移疊加產(chǎn)生的偏差，對包角內(nèi)的中面曲線采用了凸輪等距曲線來確定，對包角外曲線利用曲率連續(xù)條件構(gòu)造樣條函數(shù)來表示；GRAVAGNO[6]得到了柔輪中面與波發(fā)生器輪廓的運動誤差表達式，為計算柔輪筒體中面提供了一種思路；MAHANTO B S等人[7]用有限元軟件分析了不同波發(fā)生器對柔輪的裝配應(yīng)力的影響；陽培[8]通過有限元仿真方法，對柔輪初始變形力與各個參數(shù)的關(guān)系進行了數(shù)值化分析與曲線擬合，有限元軟件雖然能較好地反映柔輪的變形的情況，但難以得出各參數(shù)對變形的解析結(jié)果，只能為每一個模型單獨進行建模分析；MA[9]設(shè)計了一種用激光位移傳感器來測量柔輪筒體徑向位移的裝置，分析了轉(zhuǎn)速對形變的影響，為柔輪變形理論提供了實驗依據(jù)。

上述的理論研究中，大多是將柔輪筒體的變形問題當作平面問題來處理，而忽略了筒體沿軸向的位移變化；因此，這種研究結(jié)果和柔輪的實際變形必然有著較大的差別。

通過查閱文獻和多次的有限元研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，波發(fā)生器與柔輪筒體的接觸是一圈很窄的環(huán)形范圍，相較于一對集中力，一圈徑向線載荷能更加適合地來體現(xiàn)波發(fā)生器對柔輪筒體的作用力。因此，本文用一圈徑向線載模擬波發(fā)生器對柔輪的作用，對柔輪中面的位移進行計算，并通過有限元來驗證理論計算結(jié)果的正確性。

1 柔輪變形模型的建立

由于柔輪齒圈的存在使得直接建立柔輪模型特別復雜，考慮到柔輪筒體壁厚遠小于筒體半徑，筆者將柔輪筒體簡化為一個薄壁圓柱殼，用一圈線載荷來模擬波發(fā)生器對柔輪筒體的作用，進行接下來的分析。

柔輪受力模型簡化圖如圖1所示。

圖1 柔輪受力模型簡化圖

筆者摒棄了以往研究中令中面各向應(yīng)變?yōu)?的小變形設(shè)想，做出如下假設(shè)：

(1)不考慮加工工藝對柔輪材料的影響，將柔輪視為各向同性體；

(2)波發(fā)生器與柔輪的接觸視為一圈線接觸，邊界位于波發(fā)生器最深入柔輪的一側(cè)；

(3)柔輪筒體在變形過程中其壁厚不發(fā)生改變。

筆者將圓柱殼放在曲線坐標系αβγ中，把α坐標放在柱面母線方向；β坐標放在準線方向，γ坐標放在徑向。中面沿α方向曲率k1=0；中面沿β方向曲率k2=1/R，其中，R為柔輪筒體中面半徑。

將α為常量的橫截面記作α面，將β為常量的橫截面記作β面，中面橫截面上的內(nèi)力如圖2所示。

圖2 筒體中面橫截面內(nèi)力圖FT1—α面上單位長度拉壓力；FT2—β面上單位長度拉壓力；FT12—α面上單位長度平錯力；FT21—β面上單位長度平錯力；M1—α面上單位長度彎矩；M2—β面上單位長度彎矩；M12—α面上單位長度扭矩；M21—β面上單位長度扭矩；FS1—α面上單位長度橫向剪力；FS2—β面上單位長度橫向剪力

根據(jù)彈性力學知識，不難得到柱殼中面的平衡微分方程和彈性方程[10]。

其中，微分方程為：

(1)

式中：u，v，w—彈性體內(nèi)任意一點分別沿α、β、γ的位移分量；μ—柔輪材料的泊松比；E—柔輪材料的彈性模量；b—柔輪筒體壁厚；q1，q2，q3—柱殼分別沿α(縱向)、β(環(huán)向)、γ(徑向)所受的載荷分量。

彈性方程為：

(2)

式中：D—薄殼的彎曲剛度，D=Eb3/12(1-μ2)。

對于柔輪變形問題，柔輪所受的載荷主要是徑向載荷，在式中令q1=q2=0；同時，為方便計算，引入位移函數(shù)F=F(α,β)，把中面位移表示成為：

(3)

則式中的前兩個方程總能滿足，第3個方程則變?yōu)椋?/p>

(4)

再將該式代入彈性方程中，得到用位移函數(shù)F表示的內(nèi)力表達式：

(5)

因為柔輪筒底變形量很小，將其視為圓形薄板小撓度進行分析；將筒底放置在同一曲線坐標系αβγ中。筒底的各個內(nèi)力如圖3所示。

圖3 柔輪筒底中面內(nèi)力圖

(6)

式中：U—柔輪筒底上各點沿α方向的位移函數(shù)；D′—柔輪筒底的彎曲剛度，計算方法和筒體的相同，只需要將厚度b替換成筒底厚度即可。

同樣，有筒底的彈性曲面微分方程為：

(7)

2 位移函數(shù)的求解

當圓柱殼受線載荷作用時，徑向載荷q3僅作用在α=α0處，而不再是普通問題中的連續(xù)函數(shù)，所以在式中引入Dirac函數(shù)δ(α-α0)：

(8)

對于方程不容易求得通解，故筆者通過構(gòu)造Green函數(shù)G(α)來求解。

考慮到柔輪的變形是軸對稱的，所以此處位移函數(shù)F是一個偶函數(shù)。設(shè)方程的解為：

(9)

式中：α1—筒體和筒底相交的邊界；α2—筒體外口邊界。

式(9)可以表示為：

(10)

Green函數(shù)的定義為：

(2)Gn(α,α0)在α1≤α≤α2中，使F(α,β)滿足所有的邊界條件；

柔輪與橢圓波發(fā)生器的接觸線載荷分布規(guī)律近似余弦分布[11]，所以此處假設(shè)徑向線載荷q3=qcos(2β/R)，其中，q為載荷峰值。

由于位移函數(shù)F(α,β)是級數(shù)形式，此處把上式右側(cè)也展開為級數(shù)形式，可得到：

(11)

將其代入到式左側(cè)，可得到：

(12)

通過觀察式，分析其解應(yīng)具有的形式后，設(shè)G1n為α<α0的Green函數(shù)，G2n為α>α0的Green函數(shù)，其表達式如下：

(13)

由此得到了與G1n、G2n相對應(yīng)的位移函數(shù)F1和F2。根據(jù)Green函數(shù)的定義(3)和邊界條件可以得到：

(14)

再考慮α1和α2兩處的邊界條件，筆者將柔輪筒體的兩端視為自由端，則在邊界上有：

(15)

式(14，15)一共16個方程，用計算機編程聯(lián)立求解出16個系數(shù)關(guān)于q的代數(shù)表達式，再利用α=α0,β=0處的徑向位移w等于理論設(shè)計的最大徑向變形量這一條件，計算出q的值，將16個系數(shù)和q代入式(13)和式(10)，就得到了位移函數(shù)F1(α,β)和F2(α,β)的初步結(jié)果。

從結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當n≠2時，式(12)左邊恒為0，此時無論16個系數(shù)如何取值等式恒成立，所以僅當n=2時該計算有意義，可以用n=2時的位移函數(shù)代替整個級數(shù)，即F1(α,β)=G12(α)cos(2β/R)，F(xiàn)2(α,β)=G22(α)cos(2β/R)。

因為α=α1的邊界處殼體并不是完全自由的，該結(jié)果是初步結(jié)果，還需要進一步對它進行修正。

為保證柔輪筒底和筒體之間的位移協(xié)調(diào)，有u(α,β)|α=α1=U(γ,β)|γ=γ2，其中：γ2—筒底與筒體重合邊所在位置的γ值。所以此處假設(shè)：

(16)

式中：g(γ)—關(guān)于γ的未知函數(shù)。

將式(16)代入式(7)得到一個關(guān)于γ的4階微分方程，再根據(jù)4個邊界條件U|γ=γ1≡0，?U/?γ|γ=γ1≡0，U|γ=γ2=u|α=α1，?U/?γ|γ=γ2=?u/?α|α=α1就能計算出U(γ,β)的表達式。

3 實例計算

為驗證本文提出的計算模型的準確性，筆者在ABAQUS中以波數(shù)為2的諧波減速器柔輪進行變形的有限元仿真分析。

柔輪的結(jié)構(gòu)及相關(guān)參數(shù)如圖4所示。

圖4 柔輪結(jié)構(gòu)及參數(shù)圖R0—筒體內(nèi)徑，為36 mm；B—波發(fā)生器寬度，為13 mm；b—壁厚，為0.65 mm；d1—筒底法蘭外徑，為46mm；l—筒長，為72 mm。

柔輪材料彈性模量E取209 000 MPa；泊松比μ取0.3；波發(fā)生器設(shè)置為剛體，網(wǎng)格類型為C3D20。

令柔輪筒體中面半徑R=R0+b/2，將上述相關(guān)參數(shù)代入式中，得到假設(shè)的Green函數(shù)G1n與G2n；然后將其代入式(14，15)中進行待定系數(shù)的求解。其中，為方便計算，將一圈徑向線載荷作用位置α0放置在α=0處，根據(jù)筒體總長度l=72 mm，波發(fā)生器寬度B=13 mm，則相應(yīng)地得到α方向的邊界分別為α1=-59和α2=13。

在后續(xù)的迭代過程中，杯底的邊界分別為γ1=d1/2，γ2=R。由此可得到理論計算的位移函數(shù)為：

(17)

將柔輪筒體的u、v、w3個方向位移的理論結(jié)果和有限元結(jié)果分別進行比較，分別如圖(5～7)所示。

圖5 柔輪筒體α向位移

圖6 柔輪筒體β向位移

圖7 柔輪筒體γ向位移

通過觀察圖(5～7)可以發(fā)現(xiàn)：理論計算出的各方向位移和有限元結(jié)果的分布基本完全一致；其中，理論計算的α、β、γ3個方向的中面位移，最大值分別為0.076 mm，0.30 mm，0.60 mm，有限元得到的最大值分別為0.072 mm，0.28 mm，0.58 mm。

由此可以說明本文的計算方法能夠有效、準確地計算出柔輪筒體上各位點的位移。

4 結(jié)束語

本文對柔輪的受力模型情況進行了簡化，用一圈徑向線載荷等效波發(fā)生器對柔輪筒體的作用力；在此基礎(chǔ)上提出了一種考慮軸向變形的柔輪中面各點位移的計算方法。

由該方法得到的理論值與有限元值的最大誤差為6.7%，且很好地體現(xiàn)了柔輪軸向變形帶來的影響，更加符合實際變形結(jié)果。

本文的計算模型適用于各種邊界條件下的諧波減速器柔輪；同時，利用本文的結(jié)果，可以進一步算出柔輪筒體上各點的總位移及其各向應(yīng)力大小，從而更加高效、準確地進行柔輪筒體的強度校核與優(yōu)化設(shè)計。