電容的分數階等效電路建模與分析*

張赟寧，秦健瑞

(1.三峽大學電氣與新能源學院，湖北 宜昌443002；2.智慧能源技術湖北省工程研究中心(三峽大學)，湖北 宜昌443002)

當前，隨著科學技術的不斷發展和環境問題的日益突出，新能源技術得到越來越多人的關注，而在新能源的開發與應用中[1]，電力電子技術及其相關電子器件在其中充當重要角色。 電容作為一種重要電力電子器件，出現在許多電力電子電路系統設計中。 目前受材料及制造工藝的影響，幾乎大部分的電容元件都是非理想的，存在各種寄生參數，例如電容的等效串聯電阻(Equivalent Series Resistance，ESR)就是一種常見的寄生參數。 電容的特性受溫度、工作頻率等外部因素的影響，在精確的電路系統設計中，會對誤差分析和穩定性分析帶來較大誤差，因此需要建立更加精確的等效電容模型。

基于上述情況，為更加準確地描述電容的特性，多種電容模型被相繼提出。 目前，電容的模型主要可以分為三大類:等效電路模型、電化學模型和分子模型。 實際工程應用中，通常采用的電容模型有經典的RC 串聯等效模型[2]；Spyker R L 等人[3]考慮電容器的漏電效應，在經典RC 串聯模型上并聯一個等效電阻，得到電容的簡單串并聯模型；考慮電容器的阻抗特性及電容復雜的電化學結構，提出了電容器的贗電容電化學等效電路模型[4]；考慮電容的等效串聯電阻和等效串聯電感，同時注意到高頻工作環境下電容的自諧振問題，RLC 串聯等效模型被提出[5]，該模型結構簡單，描述了電容的基本結構，但不能在各個頻率段都準確反映電容的實際特性；電容廠商Nichicon[6]考慮電容漏電流的影響，提出改進型的RLC 串聯等效模型，該模型在一些實際控制器電路設計中被采用；此外還有研究者認為更復雜的、含有大量電容和電阻的等效電容模型更能準確地反映電容的特性[7-8]。 可以看到的是，為了精確地反映電容的實際電氣特性，電容的等效電路模型會越來越復雜，會有更多新的電路元件和支路添加到模型中。 然而，過于復雜的模型不利于系統建模，模型參數數目過多也不便于辨識，不便應用于實際電路設計時進行可靠性、壽命評估等具體分析中。因此，有必要探索新的等效電容模型的建模方法。

近年來，分數階微積分被廣泛應用在信號處理、生物學、電化學、系統識別、人工智能和控制系統等領域當中[9-11]。 目前已有研究成果表明，實際電路中的電容等電抗元件具有分數階微積分特性并提出了電容的分數階模型[12-15]。 文獻[16]利用R、C 及運放構建出分數階電感模型。 文獻[17]應用分數階阻抗的有理逼近原理，構造出可以實現任意階次的分數階分抗電路。 運用分數階建立的模型更加符合電容的實際特性，模型精確度更高，更能準確地反映電路中電流與電壓之間的關系。

基于以上分析，本文在電容的簡單串并聯模型的基礎上，考慮電容的分數階微積分特性，借助分數階微積分理論建立電容的分數階等效電路模型；采用差分進化算法辨識出模型中各個參數的數值并將該電容模型應用于Buck 電路中進行分析，通過計算與仿真驗證了本文提出的電容分數階模型的正確性和有效性。

1 電容的等效電路模型

為提高電容模型的精確度，使其能更加準確反映實際工作中電容的電氣特性，Spyker R L 等人提出了圖1 所示的電容簡單串并聯模型，其中，C 為電容的標稱值；Rp模擬了電容的漏電流效應，對電容的長期工作性能具有重要意義；Rm代表電容的等效串聯電阻，代表電容器內部加熱時的損耗，對電容的充放電過程中尤為重要。

目前，分數階微積分理論被廣泛應用到工程領域當中，對一些復雜的、非線性的系統建模有較大裨益。 考慮電容的分數階特性，本文在圖1 所示模型的基礎上，構建圖2(a)的分數階等效電路模型，其中C 為電容的標稱值，用階次α 來表示電容的分數階特性。 其中，Cα的阻抗可表示為:

圖1 電容的簡單串并聯模型

式中:ω＝2πf 為角頻率。 由式(1)可以看到分數階電容Cα有別于傳統的整數階電容，其阻抗表達式中同時含有實部與虛部。

圖2 電容的分數階模型

由圖2(a)可得該模型的阻抗表達式為:

因此，如圖2(b)所示，可以將實際的電容分數階等效電路模型表示為等效電容與等效串聯電阻串聯的形式。 同時，由式(2)～式(4)可知，電容分數階等效電路模型中待辨識的參數向量為V＝[α，Rp，Rm]。

2 等效電路模型的參數辨識

參數辨識的方法有很多，常見的有最小二乘法、梯度校正法和極大似然法等。 通過分析前述模型可知，該模型為非線性系統，且包含分數階次α，故很難采用傳統的最小二乘法原理辨識出參數。 因此，本文采用差分進化算法來進行模型參數的辨識。

使用分數階等效電容模型的阻抗表達式去擬合實際電容的阻抗曲線得到等效模型的各個參數。 電容實測阻抗曲線可由精密阻抗分析儀測量得到。 對得到的數據進行預處理，截取頻率fs在100 Hz ～1 MHz范圍內的數據。

在進行參數辨識時，同時考慮ESR 和Ceq，構造函數ZY:

結合模型中參數的個數，選取種群規模大小為參數個數的20 倍，權重系數μ1為0.7，μ2為0.3，縮放因子取0.75，交叉概率取0.7。

選取標稱值為10 μF 的鋁電解電容，在頻率范圍100 Hz～1 MHz 以內，使電容分數階等效電路模型和電容整數階簡單串并聯模型分別同電容實測數據進行擬合，得到模型的各項參數數據如表1 表示。

表1 參數辨識結果

兩種模型分別與實測數據進行擬合的結果如圖3 所示。

圖3 擬合曲線對比情況

圖3(a)表示等效阻抗變化曲線，其中點劃線為分數階模型的擬合情況，虛線為整數階模型的擬合情況，實線為實測數據。 由圖中所示，從整體來看，兩種模型均能較好的表示出電容實際阻抗隨工作頻率的變化，在100 Hz～1 000 Hz 頻段內，分數階模型與電容實際阻抗曲線比較符合，而整數階模型與電容實際阻抗曲線稍有偏差。 此外，兩種電容等效模型的阻抗值同實測值的相對誤差(Relative Error)如圖4 所示。

圖4 阻抗曲線的相對誤差

由圖4 可以看到，電容的分數階等效模型在整個頻率段內的相對誤差均低于16%；而電容的整數階模型在100 Hz ～10 kHz 范圍內，相對誤差低于20%，但超出10 kHz 后其相對誤差較大。 由此，說明本文所提出的電容的分數階等效模型能夠較好地反映電容的等效阻抗值隨頻率的變化情況。

圖3(b)表示等效串聯電阻ESR 的擬合曲線。可以看到，在100 Hz～1 MHz 整個頻率段內，整數階模型的等效串聯電阻與電容實際的等效串聯電阻曲線有明顯偏差，擬合效果差強人意。 分數階模型在100 Hz～100 kHz 頻段內，與電容實際等效串聯電阻曲線稍有變差，在100 kHz～1 MHz 頻段內擬合準確度較好，只在1 MHz 處略有偏差。

兩種電容等效模型的ESR 曲線與實測曲線的相對誤差情況如圖5 所示，電容的分數階模型在整個頻率段100 Hz～1 MHz 范圍內，其相對誤差不超過20%，而整數階模型在低頻段和高頻段的相對誤差均較大。

由前述分析可以看到，同電容的整數階等效電路模型相比，分數階模型僅僅是多了一個參數α，在進行數據擬合時卻表現出了更高的擬合精確度，且更能體現電容的實際工作特性。

圖5 電容ESR 曲線的相對誤差

3 實例分析

如圖6(a)所示，以Buck 電路為例，采用前述電容的分數階等效電路模型，分析電容的等效串聯電阻對輸出紋波電壓的影響。 將圖6(a)中分數階電容模型等效為ESR 和等效電容Ceq的串聯形式，得到圖6(b)所示的等效電路。

圖6 分數階Buck 電路及其等效電路

當Buck 電路工作在電感電流連續模態(CCM)時，其對應的工作波形時序圖如圖7 所示。 在一個開關周期TS(t0～t2)內，電路系統有兩種工作模式，模式1 即t0～t1時間段，為開關管S 導通，D 關斷；模式2 即t1～t2時間段，為開關管S 關斷，D 導通。

在工作模式切換瞬間，電容電流iC發生突變，產生ΔiC，由圖6(b)，考慮電容的ESR，ΔiC作用于ESR 和Ceq上產生紋波電壓。

根據文獻[19]計算Buck 電路輸出紋波電壓的方法，得到圖6(b)的輸出紋波電壓UP為:

選取兩組開關頻率fS＝30 kHz 和fS＝60 kHz 進行Buck 電路的仿真分析。 其中，電路的各項參數設置為:Uin＝20 V，L ＝100 μH，RL＝10 Ω，C ＝10 μF，開關管S 驅動信號占空比為0.5。 在此參數條件下，Buck 電路工作在CCM 模式。 圖8 表示在兩組不同開關頻率下，紋波電壓UP的波形。 其中，實線為由公式(7)得到的仿真結果，點劃線為分數階仿真曲線，虛線為整數階模型仿真結果。

圖7 時序脈沖及輸出電壓波形圖

圖8 不同工作頻率下紋波電壓仿真波形

由圖8 可以看到，本文所提的電容分數階模型在Buck 電路中能夠較好地擬合理論計算狀態變量的變化情況。 而整數階模型的狀態變量的變化情況與理論計算狀態變量的變化情況存在較大誤差。

根據仿真波形的數值及式(7)，計算得到輸出紋波電壓值同仿真結果的對比如表2 所示。

表2 不同方案得到的輸出紋波電壓對比

由表2 可知，分數階模型計算的輸出紋波電壓值與實測示波器仿真結果更加接近，而整數階模型計算的輸出紋波電壓與實測示波器仿真結果有較大誤差。 因此，本文提出的分數階電容等效模型能夠較準確地預測Buck 電路的輸出紋波電壓值，該等效模型的可行性和有效性得到進一步驗證。

4 結束語

本文針對整數階等效電容模型預測電容實際特性的不準確性和復雜性，建立了電容的分數階等效電路模型，并采用差分進化算法對其進行參數辨識，得到電容分數階模型和整數階模型同電容實測數據的擬合曲線，并將分數階等效電路模型應用于Buck電路進行紋波電壓的計算。 仿真及計算結果表明，分數階等效模型能較準確反映電容的實際特性，對控制器等電子電路系統的精確設計具有重要意義。