有源電力濾波器改進快速重復控制方法的研究*

王素娥，王鵬萱，郝鵬飛

(陜西科技大學電氣與控制工程學院，陜西 西安710021)

隨著非線性電子元件在生產活動中的廣泛使用，使得電網要面對電子元件產生的諧波電流污染。有源電力濾波器(active power filter，APF)是目前抑制諧波有效的手段之一，由于其可以動態濾除各次諧波，且體積小、重量輕而受到廣泛的研究與應用。APF 的諧波補償控制器決定了其抑制諧波的能力[1-6]。 目前補償電流控制方法中，比例積分(proportional integral，PI)控制可以對直流分量進行無靜差控制，但是對諧波的抑制效果較差且對補償電流跟蹤精度較低[7]。 文獻[8]將比例諧振控制器作為APF 的控制，可以有效地提高補償電流跟蹤精度，但是每個頻率的交流信號都需要一個單獨的比例諧振控制器進行控制，在實際應用中較為復雜。重復控制方法是基于內模原理而形成的，可以將其視為多個諧振的并聯。 由于其對諧波的抑制能力較好，被廣泛應用在APF 中[9-10]。 但是單獨使用重復控制時系統瞬態性能較差，在負載突變時，無法快速響應而使得控制系統的動態響應速度受到影響[11]。文獻[12]提出PI+重復控制的復合控制策略，但是該控制方法的動態性能受PI 的影響，使得系統的動態性能受到約束。

本文針對快速重復控制動態響應速度慢和穩定性差的問題，以三相并聯型APF 為控制對象，采用一種比例控制與快速重復控制相結合的復合控制方法，通過前饋解耦在dq 同步旋轉坐標系下實現，用于補償2k±1 次諧波，從而可以消除所有的奇次諧波。 比例控制與快速重復控制相結合可以提高系統的穩定性，快速重復控制可以縮短固有延遲的周期。比例控制可以提高對基波信號的控制性能。

1 APF 數學模型與系統結構

1.1 APF 在旋轉坐標系下的數學模型

三相并聯型APF 系統結構圖如圖1 所示，usa、usb、usc分別為三相電網電壓；L 為APF 側濾波電感；R 為線路的等效電阻；C 為APF 的直流側電容。 由圖1 可得，APF 在三相a，b，c 靜止坐標系下的數學模型為:

式中:ua，ub，uc為APF 的輸出電壓。

APF 輸出的補償電流一般由基波分量與諧波分量構成，為了方便控制諧波分量的補償，將a，b，c靜止坐標系下的式(1)經過等幅度變換矩陣M 轉換為d，q 旋轉坐標系下的式(3)，此為APF 在旋轉坐標系下的數學模型。

圖1 三相并聯型APF 系統結構圖

將式(3)做拉普拉斯變換可以得到APF 輸出電壓到輸出電流的傳遞函數為式(5)，由此即可建立APF 在同步旋轉坐標系下的數學模型。

式(7)為APF 輸出的補償電流表達式，可以看出，APF 輸出補償電流中的2k+1 次奇次諧波在旋轉坐標系下轉化為2k 次偶次諧波。 經過該變換后可以有效地降低重復控制的延時時間。

1.2 APF 的控制系統結構

為了改善控制系統的動態響應速度，控制系統采用雙閉環控制。 電壓外環使用傳統比例控制，將電壓環的輸出信號與檢測到的負載電流iL，abc所得到的指令補償電流相疊加作為電流環的給定值，將APF 輸出的電流ic，abc作為閉環控制，從而抑制非線性負載所產生的諧波。 本文的研究工作主要是電流環的控制策略。

2 改進的快速重復控制策略

2.1 傳統重復控制性能分析

重復控制內模結構框圖如圖2 所示，可得，傳統重復控制內模部分的傳遞函數為:

式中:ω 是基波頻率；T 為參考信號的基波周期。

圖2 重復控制內模結構框圖

傳統重復控制的伯德(Bode)圖如圖3 所示，從伯德圖可知傳統重復控制對各次諧波都具有高增益，并且可以對信號進行無靜差跟蹤。 但是重復控制應用在APF 控制時，由于延遲環節的存在使重復控制在動態響應過程中有一個基波周期的延遲，當非線性負載出現突變時，動態響應性能較差并產生大幅度的波動，從而影響系統的補償效果。 為了提高控制系統的動態響應速度，本文使用比例控制與快速重復控制相并聯的復合控制作為APF 電流內環的控制策略。

圖3 重復控制的Bode 圖

2.2 快速重復控制器設計

針對負載電流的奇次諧波經過旋轉坐標變換后為偶次諧波的特性，本文提出一種快速重復控制策略，該控制策略可以消除所有奇次諧波。 從延遲環節可以看出，滯后的階次降低使數據所占內存變小，進而可以實現運算量的減少。 快速重復控制的內模結構如圖4 所示，可以得到其傳遞函數為:

圖4 快速重復控制內模結構框圖

快速重復控制的伯德圖如圖5 所示，該控制方法在(2k±1)×50 Hz，k ＝1，2…處具有無窮大增益，可以有效地抑制電網中的奇次諧波。 此外，它還具有零相移的特性，即可以零穩態誤差補償2k 次諧波，保證了快速重復控制的穩定性。

圖5 快速重復控制的Bode 圖

2.3 快速重復控制穩定性分析

快速重復控制框圖如圖6 所示，其中，iref(z)為輸入信號，ic(z)為輸出信號，id(z)為電網中的干擾信號，e(z)為系統輸入誤差，G(z)為被控對象的傳遞函數，C(z)為補償環節，Q(z)為濾波環節，z-N/6為延遲環節，N 為周期采樣點數，虛線包含的部分為重復控制器。 進而可以得到系統電流閉環的傳遞函數為:

式中:kr為重復控制增益；S(z)為濾波環節；zk為超前環節。

圖6 快速重復控制框圖

當控制系統穩定時，誤差傳遞函數為

由式(10)與(12)可得，系統穩定的充分必要條件是

即H(z)的Nyquist 曲線在單位圓內部，就證明系統是穩定的。

根據傳統快速重復策略對其控制參數取值，得到系統采用快速重復控制時H(z)的Nyquist 分布圖，如圖7 所示。 由圖可以看出，式H(z)的Nyquist曲線的一部分在臨近單位圓的地方，表明系統處于臨界穩定狀態，其穩定性相對較差。 由此可以看出單一的快速重復控制器在輸入信號Iref(z)產生突變時，延遲環節的存在使得控制器延遲一個周期輸出，導致動態響應速度較差的同時系統的穩定性也變差。

圖7 H(z)的Nyquist 曲線

2.4 基于快速重復控制的復合控制策略

針對快速重復控制動態響應性能較差的問題，本文采用一種將比例控制與快速重復控制相并聯的復合控制策略，該復合控制框圖如圖8 所示。 G1(z)為比例控制器，用作跟蹤基波信號并提高控制系統的穩定性；G2(z)為快速重復控制器，用作補償所有的(2k±1)次諧波分量并改善系統的跟蹤精度，具體形式如式(14)所示。 復合控制策略可以有效地保證控制系統的穩定性和動態響應性能。

圖8 復合控制框圖

由式(17)可知，采用比例控制與快速重復控制并聯的復合控制策略時，若使系統穩定要同時滿足:

(1)單獨采用比例控制時，H0(z)＝1+G1(z)G(z)的根全部在單位圓內。

(2)采用復合控制時，要使系統穩定應滿足式(18)，其穩定條件矢量圖如圖9 所示。

圖9 復合控制穩定條件矢量圖

2.5 補償器的設計

kr為重復控制增益，其取值與系統穩定裕度成負相關，與系統的誤差收斂速度呈正相關，在實際應用中kr取值通常小于1。

濾波環節S(z)主要對控制系統的幅值和相位進行補償，從而使系統可以在低頻段保證控制對象G(z)中低頻段的幅值特性和零相移，還可以有效地加快系統高頻衰減速度，從而改善控制系統的穩定性。由APF 的系統結構可知電流環被控對象的數學模型為1/(Ls+R)。 內模校正環節需要對傳遞函數G3(z)進行校正，可以得到其連續域的傳遞函數為:

zk為超前環節，通常用于補償被控對象G3(z)和S(z)的相位滯后問題，可以使系統在中頻段與低頻段接近零相移。

3 控制器參數選擇與仿真驗證

本文使用Simulink 仿真平臺，通過建立APF 的仿真模型，驗證本文所提控制策略的可行性。 對比傳統重復控制策略與復合快速重復控制策略的動態性能與穩態性能。 APF 主電路仿真參數如表1 所示。

表1 APF 主電路參數

3.1 控制器參數選擇

根據上文所提的控制方法結合APF 的主電路參數設計控制器參數。 由于比例控制對系統穩定性有著很大的影響，因此需要預先設計其控制參數。 比例控制kp的取值根據2.4 節所述的穩定性判據1。 繪制H0(z)隨kp變化的參數根軌跡如圖10 所示，由圖可知當0＜kp＜50 時，H0(z)的根都分布在單位圓內，滿足穩定性判據1。 在實際應用中，考慮到穩定裕度，取kp＝1。

超前環節zk的補償效果如圖11 所示，根據系統穩定條件2，為保證系統的穩定，需要保證向量H(z)的軌跡總是在單位圓內，所以Q(z)的取值小于1，本設計取Q(z)＝0.95 可以保證控制系統的穩定；重復控制增益kr取0.2。 本文的采樣頻率為20 kHz，考慮到在實際應用中APF 用來補償40 次以內基波頻率的諧波，故選取截止頻率為2 kHz 的二階低通濾波器作為補償器S(z)，可以得到其在離散域下的傳遞函數為式(20)。

圖10 H0(z)隨kp 變化的根軌跡

超前環節zk參數的選取由補償被控對象G3(z)和濾波環節S(z)共同決定，其對S(z)G3(z)的補償效果如圖11 所示。 當取k ＝3 時，可以實現對系統相位滯后的有效校正。

系統采用復合控制時H(z)的Nyquist 曲線如圖12 所示。 由圖可知該復合控制的Nyquist 曲線在單位元內，根據式(18)的穩定性判據可以看出該復合系統穩定。

圖11 超前環節zk 的補償效果圖

圖12 H(z)的Nyquist 曲線

3.2 仿真驗證

負載電流的THD 如圖13 所示，由圖可知負載電流iL中的奇次諧波含量較高，諧波的THD 為29.62%。

系統采用傳統重復控制與復合控制時電網電流THD 分別如圖14(a)和(b)所示，由圖可知，采用復合控制時電網電流isa的THD 值相比于傳統重復控制，由4.65%降為3.14%，可以精確地補償40 次以內的所有奇次諧波，從而證明了該復合控制方法的有效性。 圖15 為采用復合控制時系統處于穩態的電流仿真波形，其中isa、iLa和ica分別為電網電流、負載電流和APF 的輸出電流。

圖13 負載電流THD

圖14 電網電流THD

圖15 復合控制電流穩態波形

為驗證復合控制的動態響應速度，在0.3 s 時將負載在從半載狀態變為滿載狀態，傳統重復控制與復合控制的動態響應波形分別如圖16 與圖17 所示。

圖16 傳統重復控制動態響應波形

圖17 復合控制動態響應波形

由圖可知，當負載發生突變時，傳統重復控制的電網電流波形需要3 個周期才可以恢復正常，而復合控制在1 個周期以內就可以恢復正常。 相比于傳統重復控制，改進型復合控制瞬態響應時間更短。仿真結果表明，該復合控制策略的瞬態響應速度有了較為明顯的提高，并且延遲時間也有所減少，其可以快速地對輸入電流諧波的變化做出反應并且達到穩定狀態。

4 結論

本文針對APF 電流內環采用傳統重復控制策略時動態響應速度慢的問題，分析了電網中的電流諧波主要為奇次諧波，奇次諧波經坐標變換，在dq 同步旋轉坐標系下為偶次交流分量。 提出了針對奇次諧波的改進快速重復控制策略，即將比例控制與快速重復控制相結合的復合控制策略，并在MATLAB/Simulink仿真平臺進行仿真驗證。 可以得出以下結論:(1)與傳統重復控制策略相比該復合控制策略可以有效地提高系統對奇次諧波的補償精度；(2)該復合控制策略只有對奇次諧波有抑制效果，可以將內模延時時間減少一半，從而提高了輸入電流諧波的動態響應，有效地改善系統整體的響應速度；(3)該復合控制策略縮短了內模環節的延遲周期，數據存儲量小，可以有效地節省數據儲空間。