例談復(fù)雜函數(shù)的化簡(jiǎn)求導(dǎo)

陳以能

【摘要】對(duì)于某些復(fù)雜函數(shù)，直接用求導(dǎo)法則去求導(dǎo)是較困難的，如果把函數(shù)化簡(jiǎn)再求導(dǎo)，則可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程關(guān)鍵詞：函數(shù)求導(dǎo) 復(fù)雜函數(shù) 化簡(jiǎn)

導(dǎo)數(shù)作為初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要銜接點(diǎn)，在這些年高考中有著重要的體現(xiàn)。熟練掌握函數(shù)的求導(dǎo)方法不單可以提升解題速度和正確率，提高高考成績(jī)，還可以為高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ)。初等函數(shù)的求導(dǎo)一般是直接利用函數(shù)的四則求導(dǎo)法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則去求導(dǎo)。但對(duì)于某些比較復(fù)雜的函數(shù)，如果直接套用求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，會(huì)使求導(dǎo)過(guò)程繁瑣冗長(zhǎng)且易出錯(cuò)。所以在對(duì)復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，如果可以將原函數(shù)進(jìn)行合理變形化簡(jiǎn)，則應(yīng)該先轉(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式再求導(dǎo)數(shù)，這樣則可以大大的減少運(yùn)算步驟。下面我通過(guò)具體的例子來(lái)介紹幾種常見函數(shù)形式的先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)方法。

一、原函數(shù)是連乘形式，可展開再求導(dǎo)

例1：求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)

分析：常規(guī)解法是利用積的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，但由于是連乘，要運(yùn)用兩次積的求導(dǎo)法則運(yùn)算，這樣操作計(jì)算量大容易出錯(cuò)。而先根據(jù)多項(xiàng)式乘法展開，再進(jìn)行求導(dǎo)，就顯得簡(jiǎn)單多了。

解：

小結(jié)：一般地，如果函數(shù)的解析式為連乘形式，可以考慮將解析式展開多個(gè)代數(shù)式的和差形式后再來(lái)求導(dǎo)，這樣就可以將應(yīng)用多次積的求導(dǎo)法則求導(dǎo)變成簡(jiǎn)單的和差求導(dǎo)法則求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，而且還不容易運(yùn)算出錯(cuò)。

二、原函數(shù)是分式形式，可去分母再求導(dǎo)

（一）分子每項(xiàng)都與分母有公因子的，可以裂項(xiàng)再求導(dǎo)

例2：求函數(shù) ?的導(dǎo)數(shù)

分析：常規(guī)解法是利用商的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，但由于商的求導(dǎo)公式比較長(zhǎng)，會(huì)使求導(dǎo)過(guò)程繁瑣冗長(zhǎng)而且易出錯(cuò)。仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，可發(fā)現(xiàn)原函數(shù)是一個(gè)分式形函數(shù)。將解析式進(jìn)行裂項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)形式，這樣就可以簡(jiǎn)化求導(dǎo)運(yùn)算過(guò)程。

解：

（二）、原函數(shù)是根式形式，可有理化再求導(dǎo)

例3：求函數(shù) ?的導(dǎo)數(shù)

分析：常規(guī)解法是利用商的求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)，但若觀察該解析式分母含有根式，可先通過(guò)分母有理化加以化簡(jiǎn)，進(jìn)而再求導(dǎo)，就可以大大簡(jiǎn)化求解過(guò)程

解：

小結(jié)：一般地，如果函數(shù)的解析式整體為分式，可以考慮將解析式去分母再求導(dǎo)，這樣就可以將商的求導(dǎo)法則求導(dǎo)變成簡(jiǎn)單的和差求導(dǎo)法則求導(dǎo)，這樣可以減少計(jì)算量，優(yōu)化運(yùn)算過(guò)程。

三、原函數(shù)是三角形式，可恒等變化再求導(dǎo)

例4：求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)

分析：如果直接求導(dǎo)，則需要利用積的求導(dǎo)法則、三角函數(shù)求導(dǎo)公式以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)來(lái)處理，計(jì)算量非常大并且容易出錯(cuò)。先恒等變形再求導(dǎo)就容易多了。

解：

小結(jié)：由于三角函數(shù)恒等變形比較方便，而且學(xué)生也對(duì)三角恒等變換比較熟悉，所以如果見到比較復(fù)雜的三角函數(shù)類型的函數(shù)求導(dǎo)，在求導(dǎo)前利用三角恒等式將函數(shù)先化簡(jiǎn)，然后進(jìn)行求導(dǎo)，可以減少運(yùn)算量。

原函數(shù)是對(duì)數(shù)形式，可拆開或者合并再求導(dǎo)

例5：求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)

分析：如果直接求導(dǎo)，要用到對(duì)數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，相當(dāng)復(fù)雜。而先根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則將真數(shù)相乘后再求導(dǎo)，就很簡(jiǎn)單了。

解：

例6：求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)

分析：如果直接求導(dǎo)，要用到對(duì)數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和商的求導(dǎo)法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。而先根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則將真數(shù)除化為對(duì)數(shù)相減再求導(dǎo)，就很簡(jiǎn)單了。

解：

小結(jié)：由于對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則可以將真數(shù)拆分或化為相乘形式，在求導(dǎo)前可以考慮將函數(shù)先變形處理，減少運(yùn)算量。

總之，在復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo)的時(shí)候，一定要養(yǎng)成分析函數(shù)解析式結(jié)構(gòu)特征的習(xí)慣，主要可不可以可以將原函數(shù)進(jìn)行合理變形化簡(jiǎn)，切忌盲目計(jì)算，以免計(jì)算量加大的同時(shí)出錯(cuò)的機(jī)率也增大。

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