關(guān)于洛必達(dá)法則的幾點(diǎn)思考

孫巧閣

（武警士官學(xué)校 浙江杭州 311400）

極限思想是高等數(shù)學(xué)的靈魂，而求極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)部分。求解函數(shù)極限的方法眾多。例如四則運(yùn)算法，兩個(gè)重要極限、等價(jià)無(wú)窮小、除零因子法等，但對(duì)于無(wú)窮小比無(wú)窮小，以及無(wú)窮大比無(wú)窮大這樣極限不確定的未定式極限，洛必達(dá)法則是其最佳解決方法。

一、洛必達(dá)法則的內(nèi)容

定理1[1]設(shè)

（1）當(dāng)x→a時(shí)，函數(shù)f′（x）及F′（x）都是趨于零；

（2）在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域內(nèi)，f′（x）及F′（x）都存在且F′（x）≠0；

通常教科書(shū)上利用柯西中值定理、可導(dǎo)與連續(xù)的概念加以證明，這對(duì)于高職院校的學(xué)生理解起來(lái)是很困難的，為了學(xué)生能更好地理解洛必達(dá)法則邢星在洛必達(dá)法則的教學(xué)反思一論文中提出這樣的證明過(guò)程，以一個(gè)實(shí)例展開(kāi)證明[2]。

利用析零因子法，將分子、分母同時(shí)除以x-1得：

由該例子我們會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)商的極限在一定的條件下確實(shí)可以轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)商的極限，這就是法則內(nèi)容，并且這個(gè)一定條件是法則中的三個(gè)條件，這三個(gè)條件必須同時(shí)滿(mǎn)足缺一不可。

定理2[1]設(shè)

（1）當(dāng)x→a時(shí)，函數(shù)f（x）及F（x）都是趨于無(wú)窮大；

（2）在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域內(nèi)，f′（x）及F′（x）都存在且F′（x）≠0；

二、洛必達(dá)法則所解決的問(wèn)題

（一）基本型未定式0型，∞型

（二）拓展型未定式0·∞型，∞-∞型，00 型，∞0 型，1∞型

1.0·∞型

2.∞-∞型

利用無(wú)窮大與無(wú)窮小的倒數(shù)關(guān)系以及有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和，乘積也是無(wú)窮小得：

3.00型，∞0型，1∞型

三、使用洛必達(dá)法則時(shí)應(yīng)注意的幾點(diǎn)問(wèn)題

（一）洛必達(dá)法則使用誤區(qū)

1.不是未定式不能使用洛必達(dá)法則。

2.注意洛必達(dá)則是對(duì)分子分母分別求導(dǎo)，切勿與商的求導(dǎo)法則相混淆。

3.在滿(mǎn)足洛必達(dá)法則定理的條件下可以重復(fù)的使用。

4.數(shù)列極限不可以直接使用洛必達(dá)法則求解必須轉(zhuǎn)換函數(shù)進(jìn)行求解。

（二）洛必達(dá)法則失效的情況

1.使用洛必達(dá)法則后極限不存在（非∞）振蕩。該情形主要是不滿(mǎn)足洛必達(dá)法則的第三條。

（三）法則的使用要注意與其他方法的結(jié)合使用

常用有等價(jià)代換（恒等變形）、等價(jià)無(wú)窮小代換等。

四、總結(jié)

洛必達(dá)法則是求解未定式極限的重要方法，其核心內(nèi)容是兩個(gè)函數(shù)商的極限在一定條件下可轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)商的極限，工具就是導(dǎo)數(shù)。并且從洛必達(dá)法則定理中我們可以悟出一個(gè)道理有時(shí)候輸?shù)牟皇瞧鹋芫€(xiàn)，而是過(guò)程中的速度。