關于洛必達法則的幾點思考

孫巧閣

（武警士官學校 浙江杭州 311400）

極限思想是高等數(shù)學的靈魂，而求極限是高等數(shù)學的基礎部分。求解函數(shù)極限的方法眾多。例如四則運算法，兩個重要極限、等價無窮小、除零因子法等，但對于無窮小比無窮小，以及無窮大比無窮大這樣極限不確定的未定式極限，洛必達法則是其最佳解決方法。

一、洛必達法則的內(nèi)容

定理1[1]設

（1）當x→a時，函數(shù)f′（x）及F′（x）都是趨于零；

（2）在點a的某個去心鄰域內(nèi)，f′（x）及F′（x）都存在且F′（x）≠0；

通常教科書上利用柯西中值定理、可導與連續(xù)的概念加以證明，這對于高職院校的學生理解起來是很困難的，為了學生能更好地理解洛必達法則邢星在洛必達法則的教學反思一論文中提出這樣的證明過程，以一個實例展開證明[2]。

利用析零因子法，將分子、分母同時除以x-1得：

由該例子我們會發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)商的極限在一定的條件下確實可以轉(zhuǎn)化為導函數(shù)商的極限，這就是法則內(nèi)容，并且這個一定條件是法則中的三個條件，這三個條件必須同時滿足缺一不可。

定理2[1]設

（1）當x→a時，函數(shù)f（x）及F（x）都是趨于無窮大；

（2）在點a的某個去心鄰域內(nèi)，f′（x）及F′（x）都存在且F′（x）≠0；

二、洛必達法則所解決的問題

（一）基本型未定式0型，∞型

（二）拓展型未定式0·∞型，∞-∞型，00 型，∞0 型，1∞型

1.0·∞型

2.∞-∞型

利用無窮大與無窮小的倒數(shù)關系以及有限個無窮小的代數(shù)和，乘積也是無窮小得：

3.00型，∞0型，1∞型

三、使用洛必達法則時應注意的幾點問題

（一）洛必達法則使用誤區(qū)

1.不是未定式不能使用洛必達法則。

2.注意洛必達則是對分子分母分別求導，切勿與商的求導法則相混淆。

3.在滿足洛必達法則定理的條件下可以重復的使用。

4.數(shù)列極限不可以直接使用洛必達法則求解必須轉(zhuǎn)換函數(shù)進行求解。

（二）洛必達法則失效的情況

1.使用洛必達法則后極限不存在（非∞）振蕩。該情形主要是不滿足洛必達法則的第三條。

（三）法則的使用要注意與其他方法的結(jié)合使用

常用有等價代換（恒等變形）、等價無窮小代換等。

四、總結(jié)

洛必達法則是求解未定式極限的重要方法，其核心內(nèi)容是兩個函數(shù)商的極限在一定條件下可轉(zhuǎn)化為導函數(shù)商的極限，工具就是導數(shù)。并且從洛必達法則定理中我們可以悟出一個道理有時候輸?shù)牟皇瞧鹋芫€，而是過程中的速度。