基于曲率連續(xù)的混合曲線插補方法研究

馮倩倩，張立強，孔 森，劉 鋼

（上海工程技術(shù)大學機械與汽車工程學院，上海 201620）

0 引言

在CNC 系統(tǒng)中，對復(fù)雜零件的輪廓加工通常使用線性（G01）或圓形（G02，G03）指令。因此，系統(tǒng)會生成具有數(shù)量大、長度短等特點的小線段，這些小線段彼此之間不連續(xù)，破壞了零件輪廓的光順性。同時，大量的數(shù)據(jù)也為系統(tǒng)計算處理增加了負擔。在滿足精度要求的情況下，可能會遇到以下問題：①直線段很短的數(shù)控代碼無法實現(xiàn)高速加工；②相鄰段連接處，進給速度的波動和不連續(xù)現(xiàn)象嚴重；③高加減速可能會引起系統(tǒng)振動，降低加工表面質(zhì)量。

針對這些問題，國內(nèi)外學者進行了大量研究。其涉及的主要技術(shù)有脈沖響應(yīng)技術(shù)和樣條曲線插補技術(shù)等，脈沖響應(yīng)技術(shù)通過濾波器生成平滑的進給輪廓。Altintas 等［1-2］提出一種基于FIR 濾波器的在線插值技術(shù)，其應(yīng)用僅限于簡單的軌跡點對點；Liu 等［3］提出一種綜合運動學方法，采用FIR 濾波器約束具有有界運動的GO1 指令，并產(chǎn)生時間最優(yōu)和躍度限制的線性段。樣條曲線插補方法主要依靠高階樣條曲線［4-6］，實現(xiàn)加工路徑的平滑轉(zhuǎn)接并提高加工效率，然后對路徑進行速度規(guī)劃以達到平滑速度和加速度，緩解由于機床驟停引起的振動；王斌銳等［7］在拐角過渡時利用圓弧轉(zhuǎn)接，并結(jié)合非對稱S 加減速規(guī)劃，實現(xiàn)全局的自適應(yīng)前瞻加工，但在加工過程中沒有考慮拐角誤差的約束條件；唐清春等［8］為了得到C3連續(xù)的最優(yōu)刀具位置點曲線，在相鄰刀尖點利用B 樣條曲線使拐角圓滑過渡；Wang 等［9］提出一種基于Akima 曲線擬合的實時前瞻性插值算法，但計算量大，且無法得到Akima 曲線的斜率向量；Nien 等［10］提出一種高速加工實時前瞻插補方法，在零件輪廓位置連續(xù)的基礎(chǔ)上，建立連續(xù)樣條曲線交點處的斜率和曲率的連續(xù)條件，通過設(shè)定曲率閾值識別拐角，并對不同類型拐角處的輪廓誤差和加速度進行限制；李方等［11］提出一種基于直線和NURBS 曲線混合的實時插補算法，通過擬合準則對合適的點集進行分段擬合，但只消除了局部擬合曲線的振動，并沒有處理混合段之間的過渡平滑問題，在加工過程中依舊有沖擊振動問題存在；Lee 等［12］提出一種G3插值和運動規(guī)劃相結(jié)合的實時插補算法，刀具路徑由線段和4 次曲線段混合組成，并能達到G3連續(xù)，但研究沒有考慮刀具軌跡相交情況；Ye 等［13］提出一種拐角光順誤差約束優(yōu)化算法，將刀具半徑補償與拐角平滑結(jié)合起來，采用多約束規(guī)劃策略對誤差約束進行優(yōu)化，能夠保證切削精度并提高加工效率；Fan 等［14］提出一種基于G4軌跡連續(xù)和跳度平滑的實時加工方法，能降低加工過程中的振動；Liu 等［15］提出一種線段實時插補策略，在保證刀具軌跡C2&G2連續(xù)和刀具運動跳度連續(xù)的同時，具有插值計算效率高的優(yōu)點；Shi 等［16］提出一種基于曲率連續(xù)的5 次PH 曲線過渡的刀具軌跡實時前瞻插補方法，但是只約束了逼近誤差，沒有對弓高誤差作出約束；Wang 等［17］提出一種具有非對稱過渡輪廓和有限跳度的角軌跡平滑方法，該方法無需對稱的過渡輪廓，因此可以充分利用驅(qū)動器的性能，但是限制條件較多，需在拐角軌跡不重疊且轉(zhuǎn)彎過程抖動恒定的情況下作深入研究。

本文提出一種基于曲率連續(xù)的混合曲線插補算法。首先根據(jù)小線段的長度與線段之間的夾角等約束，確定符合擬合條件的小線段并使用非均勻B 樣條曲線進行擬合，然后對相鄰不同類型線段之間的拐角使用5 次PH 曲線進行C2Hermite 插值插補，得到一條曲率連續(xù)的輪廓路徑，并在弓高和加速度的限制下對速度進行約束，完成整個輪廓加工。

1 非均勻B 樣條擬合實現(xiàn)

本文使用非均勻B 樣條曲線進行輪廓擬合，曲線變化比B 樣條更靈活，也不會產(chǎn)生扭結(jié)現(xiàn)象。曲率連續(xù)，也稱為G2連續(xù)，是指兩個連續(xù)的線段在函數(shù)處具有相同的切線單位和曲率向量，可以避免法向加速度的不連續(xù)性。由于三階曲線是實現(xiàn)G2連續(xù)的最低階次，因此本文采用3 次非均勻B 樣條曲線，定義如式（1）所示。

其中，pi是曲線控制點，Ni,k(u) 是基函數(shù)。令實數(shù)序列為U={u0,u1,…,um}，且滿足ui≤ui+1,i=0,1,…,m-1。

Ni,k(u) 是B 樣條曲線空間中具有最小支撐的一組基，因此被稱為基本樣條，定義如式（2）所示。

2 PH 曲線拐角過渡實現(xiàn)

2.1 PH 曲線

PH 曲線不僅具有曲率連續(xù)變化的性質(zhì)，而且PH 曲線能建立精確的“弧長—參數(shù)”信息。由于偶次PH 曲線為非正則曲線，具有奇異點；3 次PH 曲線無法靈活處理拐點，5次及以上的PH 曲線能保證G2連續(xù)，6 次以上的PH 曲線又過于復(fù)雜。因此，本文選擇5 次PH 曲線進行拐角處的過渡。定義一條滿足控制點為Pi，(i=0,1,2,3,4,5) 的平面5次PH 曲線如式（3）所示。

則5 次PH 曲線曲率如式（4）所示。

其中，實項多項式u(t)=，v(t)=。

2.2 PH 曲線C2Hermite 插值

由PH 曲線的定理可知［18］，已知PH 曲線的首末端點、其切矢以及端點處的二階導，就能得到PH 曲線的C2Her?mite 插值。首先根據(jù)不同的連接情況，計算拐角點處兩個切矢，然后計算PH 曲線拐角過渡的首末端點Ps(xs,ys)和Pe(xe,ye)，最后帶入曲線方程得到首末端點處的切矢和二階導，就能完成由PH 曲線進行擬合的拐角過渡。

2.2.1 拐點處切矢計算

拐點處會出現(xiàn)3 種情況，分別為直線與直線相連接、直線與曲線相連接以及曲線與曲線相連接。因此，拐點處可能出現(xiàn)兩種切矢，分別為直線端的切矢和曲線端的切矢。

直線端的切矢可由直線的斜率k 表示，為了方便計算，令常數(shù)n 為向量的模的倒數(shù)，求單位切矢如式（5）所示。

其中，α為直線與x 軸正方向的夾角。

設(shè)β為曲線切矢與x 軸正方向的夾角，則曲線P(t)={x(t),y(t)}端點處的單位切矢量如式（6）所示。

2.2.2 拐角處PH 曲線首末端點計算

由圖1 所示，已知A(xa,ya)、B(xb,yb)、C(xc,yc)3 點，以拐角B 點為例，由夾角公式可求得∠ABC 的角平分線lB的斜率k0，則首末端點所在的直線L 垂直于角平分線lB。由于首末端點的位置會影響拐角的輪廓誤差，因此在計算時要考慮誤差限制，由于加工的多樣性，設(shè)直線L 與拐點B 的最大誤差容限為εe，r 為小于1 的常數(shù)。r 越小，表示加工精度越高。由拐點B 點到直線L 的距離以及角平分線lB能得到坐標P0(x0,y0)，如式（7）所示。

因此，直線L 與線段AB 的交點Ps為PH 曲線的首端點，坐標如式（8）所示。

同理可得拐點B 處的PH 曲線末端點Pe。

Fig.1 Corner transition diagram圖1 拐角過渡示意圖

3 輪廓擬合插補實現(xiàn)

在進行高速加工時，連續(xù)性差的小線段會導致刀具進行頻繁加減速，機床受到的沖擊會影響零件加工質(zhì)量和效率。為了使加工過程更加平穩(wěn)，需要對連續(xù)小線段進行預(yù)處理。因此，整個輪廓的擬合分為預(yù)處理和插補兩個過程。擬合曲線本身是G2連續(xù)，經(jīng)過PH 曲線在拐角處的C2Hermite 插值，整個平滑路徑是G2連續(xù)。

3.1 預(yù)處理

為了保證擬合后輪廓的精度，需要利用CAM 系統(tǒng)對零件輪廓進行劃分處理。在對處理后得到的連續(xù)小線段進行擬合前，需要分析NC 代碼中小線段的幾何特性，劃分區(qū)域并篩選出符合條件的小線段在區(qū)域內(nèi)進行小線段組連接，以提高擬合效率，縮短加工時間。

當然，不是所有的線段組都可以直接擬合。例如，高曲率點就不適合直接進行擬合，可能會導致擬合曲線的紐結(jié)和變形，需要分區(qū)擬合后再通過拐角插補轉(zhuǎn)接光順；相鄰兩個拐角之間的距離過小時，會導致刀具在轉(zhuǎn)接過程中的過渡輪廓發(fā)生重疊，從而破壞了過渡路徑。如果插補后的拐角輪廓重疊，為了使該重疊部分的運動不超出系統(tǒng)的運動學限制，同時減少控制系統(tǒng)由于重疊部分的插補而造成的進給顫動，拐角處進給運動的轉(zhuǎn)接速度會降低，或者會減少最大輪廓誤差［19］。因此，為了能夠合理地進行擬合，需要考慮幾何上的約束。

（1）直線段間拐角。相鄰小線段之間的拐角大小反映出小線段之間的連接關(guān)系，影響擬合曲線的形狀和精度，因此，為了保證擬合誤差，夾角需要滿足一定條件。

如圖 2 所示，連續(xù)小線段組上的 3 個交點Pi-1(xi-1,yi-1)、Pi(xi,yi)和Pi+1(xi+1,yi+1)，在擬合半徑為R的圓弧段上，線段Pi-1Pi和線段PiPi+1之間的夾角φ可由直線間的夾角公式得到，如式（9）所示。

其中，k1為線段PiPi+1的斜率，k2為線段Pi-1Pi的斜率。

線段PiPi+1和線段Pi-1Pi的拐角為θ，δ1和δ2分別為線段PiPi+1和線段Pi-1Pi處的弓高，則θ計算如式（10）所示。

若δmax為給定所允許的最大弓高，在δ1=δ2=δmax時，θ取得最小值θmin，則連續(xù)小線段間能進行擬合所允許的最大拐角如式（11）所示。

當φ＞φm時，Pi為斷點，不能進行擬合。

Fig.2 Schematic diagram of line segment fitting圖2 直線段擬合示意圖

（2）直線長度。直線段的長度對擬合過程也起到重要影響，線段長度過長，擬合誤差也過大，長度較大的線段可以直接由直線插補。直線L 在最大弓高的情況下，最大長度計算如式（12）所示。

因此，當L＜Lmax時，直線段能進行擬合。

（3）擬合誤差評價。以Hausdorff 距離作為評價曲線擬合標準［20］，Hausdorff 距離定義如式（13）所示。

其中，Hm(c,p) 是Hausdorff 距離；c(u) 為擬合曲線方程，p(t) ‖為直線段的集合。設(shè)定最大擬合誤差為em，則可以通過與Hm(c,p)的比較判定擬合結(jié)果是否符合要求。

綜上，同時滿足連續(xù)小線段在交點處的拐角和長度以及擬合誤差這3 個約束條件，就能篩選出符合條件的線段組，從而完成本文算法的預(yù)處理部分。

3.2 插補

連續(xù)小線段經(jīng)過預(yù)處理后，滿足約束條件的被擬合成非均勻B 樣條曲線，不滿足擬合條件的直線段被保留等待插補。因此，插補的內(nèi)容為相鄰擬合曲線之間的過渡和不滿足擬合條件的線段。

當小線段間的拐角過小時，該拐點兩端存在擬合的直線或曲線，需要進行PH 曲線的拐角過渡；當直線長度過長時，進行直線插補；當擬合誤差過大時，選用PH 曲線進行精確擬合。整個插補算法流程如圖3 所示。

3.3 拐角轉(zhuǎn)接速度控制

在進行拐角轉(zhuǎn)接時，由于加工速度與曲率同步變化，因此加工速度也要考慮弓高和加速度的約束限制。

（1）弓高限制下的最大速度。曲線的曲率半徑為Rκ=1，Tv為插補周期，則由弓高限制下的最大速度計算如式（14）所示。

（2）加速度限制下的最大速度。設(shè)拐角處的插補速度為vc，vp為當前插補周期的速度，Δv為前后兩個周期的速度差，則拐角處的加速度ac計算如式（15）所示。

在式（15）中，at為切向加速度，an為法向加速度。若設(shè)定所允許的最大加速度為acmax，則當ac≤acmax時，拐角速度vc=vp，否則vc=vp-Δv。

即拐角處的最大速度為vcmax=min{vce,vc}。

Fig.3 Interpolation algorithm flow圖3 插補算法流程

4 模擬實驗

為了驗證本算法的有效性，將其與非均勻B 樣條算法和PH 曲線算法進行對比。對刀具路徑進行實驗分析，其整體路徑與局部路徑如圖4 所示（彩圖掃OSID 碼可見）。

Fig.4 Tool global path and local path圖4 刀具整體路徑與局部路徑

在進行預(yù)處理時，設(shè)定相同的擬合邊界條件為δmax=1μm，em=0.1mm，插補的最大速度為102mm/s，最大加速度為103mm/s2。將本文算法與PH 曲線算法進行對比，速度曲線如圖5 所示（彩圖掃OSID 碼可見），本文算法的整個加工時間為4.733s，而PH 曲線算法需要5.062s 才能完成。本文算法比PH 曲線算法加工時間減少0.329s，加工時間縮短6.5%，提高了加工效率，體現(xiàn)了本文算法的有效性。

Fig.5 Speed curve comparison圖5 速度曲線對比

圖6 為本文提出算法與非均勻B 樣條算法的拐角對比圖（彩圖掃OSID 碼可見），局部放大角度為147.23°。可以看出，兩種算法都能提高輪廓的光滑性，完成平滑轉(zhuǎn)接運動，但本文提出的算法在拐角處的輪廓誤差明顯小于非均勻B 樣條算法的過渡輪廓誤差。

Fig.6 Corner comparison圖6 拐角對比

5 結(jié)語

本文提出一種基于曲率連續(xù)的混合曲線高速插補算法，對不同類型的加工輪廓，采用對應(yīng)的插補算法，從而達到同時滿足加工效率高和輪廓平滑的要求。加工輪廓在插補之前要對其進行預(yù)處理，便于進行輪廓擬合。預(yù)處理后，針對輪廓中出現(xiàn)的不同曲線連接情況，分別采用相應(yīng)的樣條曲線實現(xiàn)插補，從而完成整個零件輪廓加工。

實驗中將本文算法與非均勻B 樣條算法和PH 曲線算法作對比分析，發(fā)現(xiàn)本文算法加工時間比PH 曲線算法減少6.5%，加工效率得以提高。采用本文算法得到的拐角與采用非均勻B 樣條算法得到的拐角相比，輪廓更精確。

本文是從幾何學和運動學出發(fā)，并未綜合考慮加工過程中的銑削力等動力學因素影響。對于零件加工規(guī)劃，可進一步考慮動力學約束。為進一步將其應(yīng)用于生產(chǎn)制造，可將研究拓展到多軸加工領(lǐng)域。