無刷直流電機RBF 神經網絡滑模控制器設計

王 浩，白國振，劉世交

（上海理工大學機械工程學院，上海 200093）

0 引言

無刷直流電機是現代控制理論和現代電子技術融合的產物。作為由半導體技術衍生而出的機電一體化產品，無刷直流電機具有調速性能好、功率密度高、可靠性好且易于控制等優點［1-2］，因此在家用電器、汽車等諸多行業有廣泛的應用。在多數應用場合中，傳統控制方法能夠滿足系統性能要求，但是考慮到BLDCM 具有時變、多變量耦合等復雜特性，當系統受到外部干擾或系統參數發生變化時，傳統控制方法難以對BLDCM 實現精確控制、滿足高性能要求。

滑模控制（Sliding model control，SMC）對系統參數變化及外部干擾具有良好的魯棒性和完全的自適應性，因此針對無刷直流電機的滑模控制策略研究較為豐富［3-7］。但是在實際應用中，由于控制作用來回切換、系統慣性和延遲及測量誤差等影響因素，使結構控制在滑動模態下出現高頻抖振，嚴重影響系統控制性能［8］。為了削弱系統抖振，研究者們提出滑模控制算法，如準滑動模態法［9］、干擾觀測器法、濾波法、高階滑模控制方法與分數階滑模控制方法等［10］。上述控制方法在改善系統品質的同時依舊存在不足，如準滑動模態和干擾觀測器使系統存在靜態誤差，高階滑模控制算法實現較為復雜。

RBF 神經網絡是一種先進的智能控制算法，具有較強的自學習、自適應、自組織功能，在處理控制系統非線性、不確定問題上有很好的應用前景［11-12］。RBF 神經網絡具有良好的逼近能力、簡單的網絡結構和較快的學習能力［13-14］。文獻［15］將RBF 神經網絡應用于無刷直流電機無位置傳感器控制；文獻［16］構造了一個RBF 網絡對無刷直流電機系統進行在線參數辨識、建立在線參考模型，由單神經元控制器完成控制器參數的自學習。

因此，本文將RBF 網絡自適應算法與滑模變結構結合，設計RBF 神經網絡自適應滑模位置控制算法，并優化控制系統中的趨近律和學習率，利用李雅普諾夫理論分析系統穩定性，最后通過系統仿真驗證該算法對內外擾動均具有較強的抗干擾能力，且響應速度、位置精度和系統穩定性均有明顯提升。

1 無刷直流電機數學模型構建

BLCDM 作為非線性機電元件，對其內部參數建立準確的數學模型難度較大。在建立數學模型前，需對電機模型作理想假設：BLDCM 為理想型，電機氣隙磁感應強度呈方波分布，且忽略電機磁滯和渦流損耗、定子齒槽影響，以及電樞反應造成氣隙磁場的影響，BLDCM 數學模型［17］構建包括：

（1）電壓方程。其三相繞組電壓平衡方程如式（1）所示。

其中，P為微分算子，即；Ua、Ub、Uc分別為三相定子電壓；Ra、Rb、Rc分別為三相電機繞組電阻；ia、ib、ic分別為三相電機定子繞組電流；La、Lb、Lc分別為三相電機繞組自感；Lab、Lac、Lba、Lbc、Lca、Lcb分別為電機兩相繞組間互感；ea、eb、ec分別為三相電機反電動勢。

式（1）中，由于電機轉子為永磁體，磁場強度恒定，且三相繞組相互對稱，則認為電機兩相繞組間互感為定常，BLDCM 三相繞組之間采用Y 型連接，根據基爾霍夫電流定律可知：

由式（1）、式（2）可得電壓平衡方程為：

式（3）中L為定子繞組自感，M為定子繞組間互感。

（2）轉矩方程。忽略電機功率損耗，所有電能均轉化為動能，則電機電磁功率可表示為：

其中，Pe表示為電磁功率。

若忽略電機機械損耗以及電磁損耗，電機電磁功率可完全轉化為電機轉子動能［18］，則功率可表示為：

其中，ω表示轉子角速度，Te表示為電機轉矩。

根據式（4）、式（5）可推導出BLDCM 定子繞組的電磁轉矩方程為：

BLDCM 通過Y 型連接，在任意時刻僅有兩相導通，另一相閉合，導通兩相繞組的電流與反電動勢幅值相同，方向相反。式（6）可改寫為：

其中，KT為轉矩系數，i為電機繞組電流幅值。

BLDCM 反電動勢幅值與電機轉子角速度成正比例關系，電機繞組動態方程可表示為：

BLDCM 運動方程可表示為：

其中，TL為負載轉矩，J為電機轉動慣量，B為粘滯阻尼系數。

（3）傳遞函數。根據上述BLDCM 數學模型公式，可推導出傳遞函數方程。具體方程如式（10）所示。

其中，Kw為系統增益，Ud為兩相間平均電壓，其中Kw、T1、T2可表示為：

2 控制器原理與設計

2.1 RBF 神經網絡

徑向基函數（Radical Basis Function，RBF）神經網絡是一種具有單層神經元結構的神經網絡，由Moody&Darken 提出，使用RBF 神經網絡處理較隱性的規律時效率較高［19］。其結構可分為3 部分：①輸入層，用于感知輸入信號單元、實現輸入信號到隱含層節點非線性映射；②隱含層，用于處理輸入層信號；③輸出層，用于處理隱含層信號，實現信號線性映射。其結構如圖1 所示。

Fig.1 RBF network structure圖1 RBF 網絡結構

2.2 RBF 神經網絡學習算法

其中，Xi為RBF 網絡輸入，σi表示為隱含層神經元寬度，輸出層與隱含層之間為線性關系，通過加權參數調整，具體關系可表示為：

為了檢測RBF 網絡性能優劣，設目標函數為：

通過梯度尋優算法調節參數，式（13）和式（15）中節點基寬參數調整量Δδj和節點中心調整量Δcj的迭代算法如式（16）所示。

其中，η對應學習速率，α對應動量因子，二者取值范圍為（0，1）。

2.3 RBF 網絡自適應滑模控制器設計

滑模控制抖振是困擾學者已久的難題，造成抖振的主要因素之一是滑模控制器中控制策略的選擇問題，在滑模控制策略的趨近律選擇中，所用符號函數（sign）在趨向滑模面的過程中，使符號函數值在1 和-1 之間切換，控制器在趨近滑模附近出現抖振。

RBF 神經網絡自適應滑模控制是將神經網絡和滑模控制相結合、優勢互補的方法。本文將神經網絡替換滑模控制切換控制部分，由于神經網絡具有自適應學習的能力，能夠對負載和外界干擾進行自動補償，所以RBF 神經網絡自適應滑模控制能夠鎖定外界變化而自動調整，減小滑模控制中的抖振。

為提高無刷直流電機位置控制精度，考慮內部參數變化和外部負載變化情況，轉矩平衡方程可表示為：

其中a=B/J，b=KT/J，c=TL/J，Δa、Δb和Δz為系統內部參數擾動與外部負載擾動造成的干擾變化量。

為使位置控制器相應角度θ較快跟蹤設定角度θd，控制器位置跟蹤誤差可表示為e(t)=x1=θd-θ，根據式（17）可知：

根據式（18）可知，當e→0 時，可得→0，因此位置控制器滿足設計要求。設滑模面切換函數為：

RBF 網絡自適應滑模控制器系統結構可分為3 部分：滑模變結構控制器、RBF 網絡和自適應律，控制系統結構，如圖2 所示。

Fig.2 The structure of control system圖2 控制系統結構

RBF 網絡輸入為x=[x1,x2]T，通過神經網絡學習之后，不斷改變權值大小，使輸出函數逼近理想情況下的非線性函數f(x)。RBF 網絡輸出(x)分別為：

hf(x)為RBF 網絡高斯函數，為加權向量。

為了進一步改善RBF 網絡自適應滑模的抖振問題，對趨近律進行優化，優化后趨近律為：

式（22）中趨近律可以分為冪次部分和指數部分，控制系統運動點與滑模面之間的距離較大時，s 值較大，此時指數部分和冪次部分同時起作用，因此趨近速度較快；當運動點靠近滑模面s→0 時，冪次部分趨近于零，僅指數部分起作用，此時符號函數sgns造成抖動的影響也隨著冪次部分減小而消減。因此本文設計趨近律在保證收斂速度的同時，也使控制系統動態響應更加平穩。

根據式（18）、（21）和（22）可得控制律為：

2.4 自適應學習速率

RBF 神經網絡在學習的過程中，采用梯度下降法，在權值w的更新過程中，學習速率η設定為固定值，會造成學習效率低和收斂速度慢等問題。為了提高學習效率和收斂速度，采用自適應學習速率在線調整學習速率，在保證系統穩定和學習過程穩定的條件下，以盡可能高的學習速率進行學習。本文根據遞推誤差(k-1)2的大小調整學習速率，具體調整規則為：

其中γ1,γ2,γ3為比例常量。

2.5 穩定性分析

設計Lyapunov 函數為：

εf為RBF 逼近誤差。

將式（23）控制律代入到切換面導數可得：

將式（27）帶入式（25）可得：

設神經網絡自適應律為：

將式（29）帶入式（28）中可得：

根據式（30）可知，由于εf是一個非常小的實數，因此對于任意范圍的s，均有≤0，滿足了Lyapunov 穩定條件，因此控制系統是穩定且收斂的。

3 仿真實驗

3.1 仿真實驗設計

為驗證RBF 神經網絡自適應控制器RBF 位置控制算法有效性和優越性，在MATLA/SIMULINK 實驗平臺中搭建BLDCM 仿真模型，并與傳統PID 控制和SMC 控制進行對比分析。BLDCM 主要參數如表1 所示。

Table 1 Parameters of brushless DC motor表1 無刷直流電機參數

在MATLAB/Simulink 平臺中，搭建基于RBF 神經網絡的BLDCM 模型，電流環為內環，采用PI 控制，外環為位置環，RBF 網絡自適應滑模位置控制器如圖3 所示。

3.2 仿真結果與分析

為驗證本文控制算法優越性，將RBF 網絡自適應滑模位置控制算法與分數階滑模控制（FOSMC）、傳統滑模控制（SMC）以及傳統PID 控制進行仿真對比。為保證對比仿真有效性，將這4 種控制方法運用于雙閉環控制系統速度環，且電流環均使用PI 控制器，電機參數相同保持不變。

對于連續變化的位置指令跟隨性，設定位置正弦曲線周期為1.6s，幅值為10°，仿真時長為5s。分別對比PID 控制、滑模控制和改進的RBF 神經網絡自適應控制算法，仿真結果如圖4 所示。

從圖4（a）、（b）兩種控制的跟隨曲線分析中，SMC 控制算法在外干擾的影響下，最大誤差為0.020 1°，穩定誤差區間為-0.006 7°～0.006 6°，RBF 網絡自適應滑模位置控制算法依然可以很好地跟隨設定的正弦曲線，跟隨性較好。

對于一個階躍的控制信號，設定位置指令于0.1s 處，幅值從0°變化至10°，仿真時長取0.5s。分別再用PID 控制、SMC 控制、FOSMC 控制及RBF 網絡自適應滑模控制進行仿真，仿真對比分析如圖5（彩圖掃OSID 碼可見）所示。

Fig.3 Simulation structure of BLDCM system圖3 BLDCM 系統仿真結構

Fig.4 Comparison of position following圖4 位置跟隨對比

從圖4 仿真對比分析可知，PID 控制算法控制效果較差，PID 控制于0.24s 處進入0.26s 的振蕩期，振蕩幅度由1.245%衰減到0，而超調量為13.2%。SMC 控制器在外干擾的作用下，也產生衰減振蕩，于0.18s 進入0.27s 的振蕩期，振蕩幅值由0.9%衰減至0，超調量為6.2%。FOSMC 控制于0.15s 進入0.18s 的振蕩期，振蕩幅值從1%衰減至0，超調量為0。RBF 網絡自適應滑模位置控制算法0.155s 處開始收斂，然后進入0.085s 的振蕩期，最后進入穩定收斂階段，在收斂過程中無超調量。相比于PID 控制、SMC 控制和FOSMC 控制算法，RBF 神經網絡自適應滑模位置控制算法魯棒性高，收斂速度也較快（見圖5）。

Fig.5 Simulation comparison of control algorithms圖5 控制算法仿真對比

4 結語

本文在分析神經網絡和滑模控制算法優缺點的基礎上，提出了一種無刷直流電機的RBF 網絡自適應滑模控制策略，將RBF 神經網絡引入到直流電機控制系統中，能夠提高系統穩定性與抗干擾性，同時還具有非線性能力和自學習能力；與滑模控制算法相結合，削弱了滑模控制算法存在抖振的缺點，使系統具有良好的魯棒性和自適應性。通過仿真實驗驗證了RBF 神經網絡自適應滑模控制性能更佳，其響應速度、位置精度和系統穩定性均得到相應提升。但在神經網絡控制系統設計中，其網絡結構設計和學習方法的選擇還有待于進一步研究。